Криволинейное движение

47

Криволинейное движение

Движение тела по криволинейным траекторям часто встречается в природе и технике. Это, например, движение спутников и meteoritov в поле тяжесте Земли или планет и комет в поле тяжесте Солнца, движение заряженных частив вускорители или деталей различных механизмов.

Напомним основные закономерности, справедливые для криволинейного движения. Как известно, скорость тела всегда направлена по касательной к его траектории и при движении может изменяться и по модулю, и по направлению. Вектор ускорения тела не совпадает по направлению со скоростью, а составляется с ней некоторый угол. Часто бывают удобнее говорить не о самом ускорении, а о двух его проекциях. Однако из них, так называемая тангенциальная (или касательная) проекция $a_T$ — это проекция на направление скорости (то есть на направление касательной к траектории). Эта проекция характеризует изменение модели скорости. Другая, так называемая нормальная (или центростремительная) проекция $a_H$ — это проекция на направление, перpendикулярное к вектору скорости. Она характеризует изменение направления скорости. В частности, при равномерном движении тела по окружности ускорение имеет лишь одну проекцию — нормальную к скорости и изменяющую лишь ее направление. Модуль этой проекции равен квадрату модуля скорости, делению на радиус окружности: $a_H = v^2/R$.

Необольший участок любой криволинейной траектории всегда можно представить как часть некоторой окружности; радиус соответствующего окружности называют радиусом кривизны траектории в данной месте. Поэтому выражение $a_H = v^2/R$ можно использовать для определения радиуса кривизны траектории $R$.

Наконец, для тела, движущегося по криволинейной траектории, так же как и для тела, движущегося примолненной, справедливый второй закон Ньютона: векторная сумма всех действующих на тело сил равна массе тела, умноженной на вектор его ускорения.

Рассмотрим несколько конкретичных задач на кривolinейное движение тела.

Задча 1. С поверхности земли брощено тело с начальной скоростью $\vec{v}_0$ под углом $\alpha_0$ к горизонту. Найдите зависимость тангенциальной и нормальной проекции ускорения тела от его высоты подгема. Сопротивление воздуха можно не учитывать.

После броска на тело действует только одна сила — сила прятяжения к Земле, поэтому в любой точке траектории ускорение $\vec{a}$ тела равно ускорению свободного падения $\vec{g}$ (рис. 1). Тангенциальная и нормальная проекции ускорения равны, соответствующей,

$$a_T = g \sin \alpha \text{ и } a_H = g \cos \alpha.$$

Здесть $\alpha$ — угол, который составляет

48

ляет с горизонтом скорость $\vec{v}$ тела на высоте $h$.

Запишем закон сохранения энергии:

$$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgh$$

и найдем выражение для модели $v$ скорости тела:

$$v = (v_0^2 - 2gh)^{1/2}$$

Во время движения проекция скорости на горизонтальное направление остается постоянной и равной $v_0 \cos \alpha_0$. Тогда (см. рис. 1)

$$a_H = g \cos \alpha = g v_0 \cos \alpha_0 \cdot v^{-1} = g v_0 \cos \alpha_0 \cdot (v_0^2 - 2gh)^{-1/2}$$

и

$$a_T = g \sin \alpha = g (1 - \cos^2 \alpha)^{1/2} = g (v_0^2 \sin^2 \alpha_0 - 2gh)^{1/2} (v_0^2 - 2gh)^{-1/2}$$

В полученные формулы можно вывести максимальный высоту подъема тела $h_{\max} = v_0^2 \sin^2 \alpha_0 / 2g$:

$$a_H = g \cos \alpha_0 \cdot h_{\max}^{1/2} (h_{\max} - h \sin^2 \alpha_0)^{-1/2}$$

$$a_T = g \sin \alpha_0 \cdot (h_{\max} - h)^{1/2} (h_{\max} - h \sin^2 \alpha_0)^{-1/2}$$

Задача 2. Конечный участок BC горы разгона на лыжном трамплине представляет собой дугу окружности радиусом $R = 15$ м (рис. 2). Полная высота горы $H = 50$ м. Найдите модель ускорения лыжника в точке C, если угол $\alpha = 30^\circ$. Считайте, что лыжник спускается с горы без начальной скорости; тренем пребрежете.

При движении по горе разгона на лыжника действуют две силы. Это — сила тяжесте $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила реакции

$$\vec{m}\vec{g}$$

и опоры $\vec{N}$, направления, в отсутствие треня, по радиусу кривизны траектории, в нашем случае — по радиусу $CO$. Равнодействующая этих сил и сообщает льжнику искоче ускорение $\vec{a}$:

$$\vec{m}\vec{a} = m\vec{g} + \vec{N}$$

По теореме косинусов для треугольника сил имеем (см. рис. 2)

$$(ma)^2 = (mg)^2 + N^2 - 2mgN \cos \alpha.$$

Пусть $\vec{v}$ — скорость лыжника в точке C. Нормальная проекция ускорения $a_H = v^2/R$ создает соответствующими проекциями сил $m\vec{g}$ и $\vec{N}$:

$$mv^2/R = N - mg \cos \alpha.$$

Исключая $N$ из последних двух уравнений, получим

$$a^2 = g^2 \sin^2 \alpha + (v^2/R)^2.$$

Подставим сюда значение модели $v$ скорости лыжника из закона сохранения энергии

$$mv^2/2 = mg(H - R(1 - \cos \alpha))$$

и найдем модель ускорения лыжника:

$$a = (g^2 \sin^2 \alpha + (v^2/R)^2)^{1/2} = g(\sin^2 \alpha + 4(H/R - 1 + \cos \alpha)^2)^{1/2} \approx 65 \text{ m/c}^2.$$

Это же значение можно получить из нескольких других расчёдений. При движении по дугу окружности нормальная проекция ускорения равна $a_H = v^2/R$, а тангенциальная проекция, создаваемая только соответствующей проекцией сил тяжести, равна $a_T = g \sin \alpha$. Тогда модель ускорения равен

$$a = (a_H^2 + a_T^2)^{1/2} = (g^2 \sin^2 \alpha + (v^2/R)^2)^{1/2}.$$

Задача 3. Небольшое тело, находящемся на полусфере, начинает скользить по полусфере, а потом, оторвашись от нее, будет движаться как тело, брошенное под углом к горизонту.

Введем систему координат $XOY$, как указано на рис. 3. Сначала найдем координаты $x_0$ и $y_0$ точки от полусферы, а также модель и направление скорости $\vec{v}_0$ в мо-

49

Рис. 3.

мент отрыва. Движение тела по полуферере происходит под действием двух сил — силы тяжестии $m\vec{g}$ и силы нормальной (так как отсутствует трение) реакции $\vec{N}$. В момент отрыва сила реакции обращается в нуль, так что нормальное ускорение $a_H = v_0^2/R$ телу сообщается только соответствующей проекцией силы тяжестии:

$$mv_0^2/R = mg \cos \alpha_0.$$

Решая это уравнение совместно с уравнением, выражающим закон сохранения энергии:

$$mv_0^2/2 = mgR(1 - \cos \alpha_0),$$

найдем:

$$\cos \alpha_0 = 2/3, \quad v_0 = (2gR/3)^{1/2}.$$

Координаты точки отрыва равны, соответствующей,

$$y_0 = R \cos \alpha_0 = 2R/3,$$
$$x_0 = (R^2 - y_0^2)^{1/2} = R(1 - \cos^2 \alpha_0)^{1/2} = \sqrt{5}R/3.$$

Теперь запишем уравнение движения тела после отрыва от полуфереры:

$$x = x_0 + v_0 \cos \alpha_0 \cdot t,$$
$$y = y_0 - v_0 \sin \alpha_0 \cdot t - gt^2/2.$$

Очевидно, что в момент достижения горизонтальной плоскости координата $y$ становится равной нулю: $y = 0$. координату $x$ найдем из соответствующего уравнения движения, подставив туда значения начальных условий ($x_0, v_0$ и $\cos \alpha_0$), а также время полета до удара, полученное из условия $y = 0$:

$$x \approx 1,12R.$$

Задча 4. По горизонтальной поверхности с постоянной скоростью $\vec{v}_0$ катися без прросальывания колесо радиусом $R$. На ободе колеса находится материальная точка массой $m$. Определяйте modуль и направление силы реакции, действующей на точку, а также радус кривизны ее траектории в зависимости от положения точки на ободе.

Пусть мгновенное положение материальной точки на ободе колеса характеризуется углом $\alpha$ (рис. 4). С точки зрения наблюдается в неподвижной системе координат (например, связанной с землей) точка участвует в двух движениях — в поступательном движении вместе с колесом с постоянной горизонтальной скоростью $\vec{v}_0$ и во врашательном движении вокруг центра колеса с угловой скоростью $v_0/R$.

Воспользовемся тем, что в различных инерциальных системах координат ускорения тела одинаковы. Расмотрим систему координат, движущая вместе с центром колеса со скоростью $\vec{v}_0$. В этой системе материальная точка равномерно движется по окружности. Нормальное ускорение $\vec{a}_H(a_H = v_0^2/R)$ ей сообщают две силы — сила тяжестии $m\vec{g}$ и сила реакции $\vec{N}$. По теореме косинусов из треугольника сил имеем (см. рис. 4):

$$N^2 = (mg)^2 + (mv_0^2/R)^2 - 2(mg)(mv_0^2/R) \cos \alpha,$$

откуда

$$N = ((mg)^2 + (mv_0^2/R)^2 - 2(mg)(mv_0^2/R) \cos \alpha)^{1/2}.$$

Направление силы $\vec{N}$, определяем углом $\alpha$, можно найти из того же треугольника по теореме синусов:

$$N/\sin \alpha = mg/\sin \varphi,$$

рис. 4.