Olympic toàn Nga dành cho học sinh

Kvant 1981, số 10 tr. 58-61 Thẻ UBER

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Toàn Nga
Thế vận hội
TRẺ EM HỌC SINH

Theo truyền thống đã được thiết lập, toàn Nga
Olympic Toán và Vật lý dành cho học sinh được tổ chức theo 4 giai đoạn: giai đoạn 1 - Olympic cấp trường; thứ hai - các huyện, thành thị; thứ ba - tài nguyên (ASSR), khu vực, khu vực; thứ tư - Olympic khu vực.

Năm nay, chặng thứ tư cuối cùng của Thế vận hội diễn ra trong kỳ nghỉ xuân ở bốn thành phố của RSFSR: Kuibyshev, Ryazan, Novosibirsk và Ordzhonikidze.

Các em đứng thứ 1-3 được trao bằng tốt nghiệp và các giải thưởng đáng nhớ, các em đứng thứ 4 được trao giấy chứng nhận. lời giải ban đầu của cá nhân bài toán được bù đắp bằng các giải thưởng đặc biệt. Bộ Giáo dục RSFSR cũng trao giấy chứng nhận cho các giáo viên đã chuẩn bị cho người chiến thắng và giải thưởng Olympic.

Dưới đây là bài toán trong toán học và vật lý của giai đoạn cuối cùng và tên các giải thưởng của Olympic toàn Nga.

Toán học

lớp 8

Chứng minh rằng số $(1+\sqrt{2})^{1981}$ có thể được biểu diễn dưới dạng $a+b\sqrt{2}$ , trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên nguyên tố cùng nhau.
Cho một hình tam giác $ABC$ . Trên phần mở rộng của các cạnh $AB, CB$ và đường trung tuyến $MB$ , các điểm $K, L, N$ lần lượt được lấy làm điểm $B$ sao cho $|BK|=3|AB|$ , $|BL|=5|CB|$ , $|BN|=4|MB|$ .

Tìm tỉ số diện tích của các hình tam giác $ABC$ và $KLN$ .

Dãy số $(a_n)$ được đưa ra theo cách tuần hoàn: $a_1=m$ , $a_{n+1}=a_n+2^{a_n}$ , $n\geqslant1$ , $m$ là một số tự nhiên cho trước. Chứng minh rằng trong dãy số đó có vô số số chia hết cho 3.
Các hệ số $a, b, c$ của phương trình $x^3+ax^2+bx+c=0$ modulo không vượt quá số 1980. Phương trình này có thể có nghiệm lớn hơn 1981 không?
Hai tam giác đều $ABC$ và $A_1B_1C_1$ (các đỉnh hướng ngược chiều kim đồng hồ) nằm trên mặt phẳng sao cho $\vec{AB}_1=2\vec{BA}_1$ . Điểm $D$ là điểm giữa của đoạn $AB_1$ . Tìm các góc của tam giác $CDC_1$ .

lớp 9

Có thể viết các số 1, - 1 và 0 vào bảng $n\times n$ ô sao cho tất cả các tổng - trong mỗi hàng và trên mỗi đường chéo - đều khác nhau?
Hai hình vuông $ABCD$ và $A_1B_1C_1D_1$ (các đỉnh được liệt kê so với các phần) nằm trên mặt phẳng sao cho $\vec{AA}_1=2\vec{BD}_1$ . Điểm $E$ là điểm giữa của đoạn $AA_1$ . Tìm các góc của tam giác $CEC_1$ .
Trong sơn lót chín bức tường, các đường gân bên và đường chéo của đế được sơn: các neoctor màu đỏ, phần còn lại màu xanh lam. Chứng minh rằng trong số các đoạn thẳng này, bạn có thể xác định được ba đoạn tạo thành một hình tam giác và được tô cùng màu*).
Hai chuỗi $(a_n)$ và $(b_n)$ được xác định theo cách lặp lại: $a_1=a>0$ , $b_1=b>0$ , $a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$ , $b_{n+1}=\sqrt{\frac{a_n^2+b_n^2}{2}}$ , $n\geqslant1$ . Chứng minh rằng với mọi $n$ bất đẳng thức sau đây đúng:

$|b_{n+1}-a_{n+1}| \leqslant \frac{|b-a|}{2^n}.$

Tìm tất cả các số có 200 chữ số bắt đầu bằng 99 số chín là số chính phương.

lớp 10

Có thể sắp xếp các số từ 0 đến 9 thành một vòng tròn sao cho tổng của các số ở ba hàng bất kỳ không vượt quá: a) 14, b) 15?
Chuỗi $(a_n)$ được đưa ra theo cách lặp lại: $a_1=1$ , $a_2=1$ , $a_{n+2}=a_{n+1}+\frac{a_n}{2^n}$ , $n\geqslant1$ . Chứng minh rằng với mọi $n$ thì bất đẳng thức $a_n<3$ đúng.
Tìm tất cả các hệ phương trình lời giải $(x; y; z)$ :

$\begin{cases} \cos x+\cos y+\cos z=\frac{3\sqrt{3}}{2}, \\ \sin x+\sin y+\sin z=\frac{3}{2}. \end{cases}$

Trên cung thẳng của điểm $A, B$ nằm giữa $A$ và $C$ . Trên các đoạn $AB, BC$ và $AC$ , cũng như trên các đường kính, các hình bán nguyệt được dựng nằm trên một phía của đường thẳng này. Đường vuông góc với $(AC)$ vẽ qua điểm $B$ cắt hình bán nguyệt lớn tại điểm $D$ . Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của hai hình bán nguyệt nhỏ hơn $(BD)$ thì song song với

*) bài toán này đã được xuất bản trong Sách Bài tập «Kvant» dưới số M687 a).

tiếp tuyến của hình bán nguyệt lớn vẽ qua điểm D.

Cho hình khối ABCD có thể tích V. Điểm K là trọng tâm của mặt ABC. Trên phần tiếp theo của các đoạn AD, BD, CD và KD, các điểm L, M, N và P lần lượt được lấy là điểm D sao cho |DL| = 2|AD|, |DM| = 2|BD|, |DN| = 3|CD|, |DP| = |KD|. Tính thể tích của khối đa diện LMNP.

Vật lý

Chuyến tham quan lý thuyết
lớp 8

Các điểm A và B nằm trên cùng một đường ngang trên sườn núi có độ dốc α cách nhau một khoảng l (Hình 1). Một ô tô xuất phát từ A phải đến B và di chuyển theo đường thẳng AB. Tìm thời gian tối thiểu để thực hiện được điều đó. Hệ số ma sát giữa bánh xe và đất μ > tgα. Hãy xem xét rằng trọng lượng được phân bổ tự động giữa các bánh xe và tất cả các bánh xe đều được dẫn động.
Trên một nêm tạo thành một góc α với mặt phẳng nằm ngang có một vật nặng A được nối bằng một sợi dây không dãn với điểm B trên mặt phẳng thẳng đứng (Hình 2). Nêm bắt đầu di chuyển sang phải với gia tốc không đổi $\vec{a}$ . Quỹ đạo của trọng lượng là gì? Làm thế nào để anh ta di chuyển dọc theo quỹ đạo này?
Sử dụng ba điện trở có điện trở R1, R2 và R3, lắp ráp mạch như trong Hình 3. Nếu đặt điện áp U0 = 1,5 V vào đầu vào 1 - 1’ và một ampe được nối với các cực 2 - 2’ thì nó sẽ có cường độ dòng điện I = 60 mA. Nếu bạn nối một vôn kế vào các cực 2 - 2’ thì nó sẽ hiển thị điện áp U = 1 V. Nếu đặt điện áp U0 vào các cực 2 - 2’ và vôn kế được nối với các cực 1 - 1’ thì nó sẽ lại hiển thị U = 1 V. Xác định giá trị điện trở của các điện trở. Coi điện trở của ampe kế rất nhỏ, điện trở của vôn kế rất lớn so với điện trở của các điện trở.
Xem bài toán F718 trong Bài toán Kvant.

lớp 9

Băng tải (Hình 4) nâng cát có độ cao đồng đều lên băng tải từ phễu với tốc độ cấp liệu μ (kg/s). Chiều dài vận chuyển là l, góc nghiêng là α, bán kính của bánh dẫn động là R. Băng tải chuyển động với mô-men xoắn tối thiểu bằng bao nhiêu để vẫn có thể vận chuyển cát đều lên trên? Tốc độ của vành đai là gì? Giả sử tốc độ ban đầu của bao cát bằng 0 và chiều dài chuyển động của chúng dọc theo dây đai đủ nhỏ để ở mép trên của quá trình vận chuyển, bao cát đứng yên so với dây đai.
Xem bài toán F719 trong Bài toán Kvant.
Một hộp chứa khí đơn nguyên tử lý tưởng được chuyển động ngay lập tức với tốc độ $\vec{v}$ . Tìm sự thay đổi nhiệt độ của khí. Khối lượng nguyên tử khí m0. Có thể đo được công suất nhiệt và độ dẫn nhiệt của hộp.
Trên mặt ngang có một vòng đệm nhỏ có khối lượng M (Hình 5).

Một quả bóng khác có khối lượng m chạm vào nó với tốc độ $\vec{v}_0$ . Do va chạm, vòng đệm m dừng lại và vòng đệm M đạt đến độ cao h1 của mặt phẳng phía trên. Trong thí nghiệm thứ hai, các vòng đệm được đặt ở những vị trí: một quả bóng M chạm vào một quả bóng m đứng yên với tốc độ $\vec{v}_0$ . Tìm tỉ số chiều cao h2/h1, trong đó h2 là độ cao mà quả bóng m bay lên trong thí nghiệm thứ hai. đòn trung tâm; không có bài tập về mặt cắt ngang và mặt phẳng nghiêng; tỷ lệ khối lượng vòng đệm M/m = 3.

lớp 10

Một loại khí lý tưởng, tính bằng v mol, là chất hoạt động của động cơ nhiệt. Khi máy hoạt động, khí thay đổi trạng thái, hoàn thành một quy trình (chu trình) tuần hoàn 1-2-3-1, được trình bày trên sơ đồ TV (Hình 6). Các quy trình 1-2 và 2-3 được mô tả trên biểu đồ bằng các đoạn thẳng (2-3 là đường đẳng cự) và quy trình 3-1 được biểu thị

Hình 6.

Hình 7.

Hình 8.

Gene $I = 0,5T_1(3-BV)BV$ , trong đó $B$ là hằng số chưa xác định và $T_1$ là nhiệt độ abscille được chỉ định và bù trên một trong các trục của sơ đồ. Tìm công mà khí thực hiện trong một chu kỳ.

Xem bài toán F720 trong Bài toán Kvant.
Hai hệ, mỗi hệ bao gồm hai vật có khối lượng $m$ giống hệt nhau, được nối với nhau bằng một lò xo có độ cứng $k$ , chuyển động hướng về nhau với tốc độ tuyệt đối và không đổi giống hệt nhau $v$ (Hình 7). Tại một số thời điểm, khoảng cách giữa các vật va chạm là $L$ . Xác định thời gian sau đó khoảng cách giữa các vật giống nhau sẽ lại bằng $L$ . Tác động là hoàn toàn đàn hồi.
Được biết, một trong những loại tự phóng điện trong chất khí - hồ quang điện - có đặc tính dòng điện-điện áp giảm. Nói cách khác, cường độ dòng điện càng lớn thì hướng giữa các điện cực của hồ quang đang cháy càng nhỏ: $U_d = a + b/i$ . Nối tiếp với đèn hồ quang, một điện trở “chấn lưu” có điện trở $R$ được bật ở mục tiêu của nguồn hiện tại có EMF $\delta = 200$ V, mục đích của nó là để ổn định quá trình đốt cháy của đèn (Hình 8). Bỏ qua điện trở trong của nguồn và điện trở của dây dẫn, tìm tất cả các giá trị của $R$ tại đó đèn hồ quang ổn định cháy, giải phóng ít nhất một nửa tổng công suất tiêu hao của nguồn. Xét các giá trị không đổi $a = 55$ V và $b = 50$ V.A.

Chuyến tham quan thử nghiệm

lớp 8

Xác định mật độ của chồng mà lọ mayonnaise được tạo ra.

Thiết bị: lọ mayonnaise, cốc thủy tinh có thể tích $V \approx 250$ mm³, bình thủy tinh, dải kim loại mềm có kích thước $2 \times 20$ cm, bình chứa nước (vòi nước).

Xác định nhiệt dung riêng bay hơi của nước. Hãy xem xét nhiệt dung riêng của nước đã biết.

Thiết bị: bình kim loại có thành mỏng, bếp điện (lò đốt), tảng băng không rõ khối lượng, đồng hồ.

lớp 9

Xác định hệ số căng bề mặt của dung dịch xà phòng. Ước tính sai số đo lường cho các cách thực hiện công việc khác nhau.

Thiết bị: ống mao dẫn, bình chứa nước, bình chứa dung dịch xà phòng, đồng hồ đo áp suất dạng ống hình chữ U, bầu bơm không khí, ống chữ T thủy tinh, thanh có khớp nối và chân, thước kẻ.

Xác định công cần thực hiện để kéo dây cung ra sau 5 cm. Làm một chiếc nơ bằng một sợi dây dài 40 cm từ thước dây. Xác định công cần thiết để kéo dây cung này ra sau 5 cm. Thực hiện các phép đo tương tự với chiều dài chuỗi 37 cm. Giải thích kết quả của bạn.

Thiết bị: hai thước gỗ học sinh dài 40 cm, khoan lỗ ở hai đầu, một sợi chỉ dài 0,5 m, hai thước đo đường kính Bakushinsky, shatin ướt bằng chân, giấy vẽ đồ thị có kích thước $20 \times 25$ cm.

lớp 10

Xác định khối lượng riêng của thanh thủy tinh.

Dụng cụ: Đũa thủy tinh, bình đựng nước có đường kính lớn, thước kẻ.

Vẽ đồ thị công suất giải phóng ở điện trở ngoài so với giá trị của điện trở này. Giải thích kết quả của bạn.

Thiết bị: nguồn điện một chiều, hai ampe kế, vôn kế, biến trở, bộ dây dẫn, chìa khóa.

Kết quả lời giải bài toán trong môn Vật lý được cho trong bảng sau:

| Lớp học | Hiệp hội nhẫn | Số lượng trang web đã hoàn thành nhiệm vụ thành công |
| :— | :— | :— |
| | Chuyến tham quan lý thuyết | Chuyến tham quan thử nghiệm |
| 1 | 2 | 4 |
| 8 | 72 | 0 |
| 9 | 82 | 12 |
| 10 | 94 | 28 |

O. Ovchinikov,
S. Reznitsenko

Người đoạt giải
Olympic toàn Nga
TRẺ EM HỌC SINH

Toán học

Bằng cấp đầu tiên

trong 8 lớp nhận được:
Kudinov O. (Zarinsk, ssh số 2),
Nikolaev A. (Ufa, ssh. Số 114),
Orlov D. (Vladimir, ssh. Số 8),
Stakhovsky V. (Khu định cư Kapustin Yar, vùng Astrakhan, tuyến phía bắc số 231);

cho lớp 9 -
Zabegaeva U. (Tula, số 36),
Mazurov O. (Novosibirsk, Trường Vật lý số 165 tại NSU),
Matveev K. (Novosibirsk, Trường Vật lý số 165 tại NSU),
Matyushov S. (Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow),
Nikonov A. (Kirovgrad, ssh. Số 2),
Spivak A. (Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow);

cho 10 lớp -
Alekseev V. (Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow),
Ankudinov A. (Leningrad, Trường Vật lý số 45 tại Đại học bang Leningrad),
Ekshtsev Yu. (Syktyvkar, ssh. Số 1),
Kaagmanov A. (Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow),
Matveev A. (Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow),
Mukhamedshin A. (Novosibirsk, Trường Vật lý số 165 tại NSU).

bằng cấp II

trong 8 lớp nhận được:
Averin A. (Chelyabinsk, s.sh. Số 127),
Burchenko V. (Novokuznetsk, s.sh. Số 49),
Romanov V. (Tula, ssh số 36),
Semenov A. (Saratov, s.sh. Số 13);

cho lớp 9 -
Galkin I. (Gorky, ssh. Số 36),
Zakirov A. (Biysk, ssh. Số 25),
Korotkin D. (Leningrad, Trường Vật lý số 45 tại Đại học bang Leningrad),
Samborsky S. (Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow);

cho 10 lớp -
Gaponova M. (Gorky, s.sh. Số 40),
Kolpkov I. (Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow),
Ovchinnikov P. (Vyazniki, s.sh. Số 11),
Fomin D. (Leningrad, Trường Vật lý số 45 tại Đại học bang Leningrad),
Khomich S. (Angarsk, ssh. Số 10),
Chanyshev A. (Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow).

bằng tốt nghiệp cấp III

trong 8 lớp nhận được:
Viktorov V. (Ryazan, ssh. Số 45),
Shebzukhov Z. (Nalchik, s.sh. Số 2),
Shlyakhtov A. (Ulyanovsk, ssh. Số 51),
Shmelev E. (Khu định cư Nadezhny, Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết tự trị Yakut, s.sh. Số 19)

cho lớp 9 -
Belostsky V. (Leningrad, Trường Vật lý số 45 tại Đại học bang Leningrad),
Bravy E. (Perm, ssh số 102),
Zubova M. (Tomsk, ssh. Số 55),
Savkin A. (Leningrad, Trường Vật lý số 45 tại Đại học bang Leningrad),
Khodorovsky V. (khu định cư Novovoronezhsky, vùng Voronezh, tuyến đường số 1 phía bắc);

cho 10 lớp -
Arakin A. (Novokuznetsk, s.sh. Số 11),
Gorshkova E. (Perm, ssh số 25),
Grinchuk M. (Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow),
Prosorov Yu. (Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow),
Rabinovich V. (Tula, ssh. Số 36),
Frolov A. (Yaroslavl, s.sh. Số 33).

Vật lý

Bằng cấp đầu tiên

trong 8 lớp nhận được:
Kudya A. (khu định cư Talovaya, vùng Voronezh, tuyến phía bắc số 51),
Maltsev V. (Irkutsk, ssh. Số 21),
Khromushin S. (Arzamas, s.sh. Số 2),
Shmkov M. (khu định cư Mendeleevo, khu vực Moscow, đường cao tốc phía bắc số 2);

cho lớp 9 -
Batalov S. (Arzamas, s.sh. Số 2),
Kachaev I. (Krasnoirsk, s.sh. Số 10),
Maltsev V. (Volgograd, số 131),
Poznykov P. (Leningrad, Trường Vật lý số 45 tại Đại học bang Leningrad),
Ukhov V. (Leningrad, Trường Vật lý số 45, Đại học bang Leningrad);

cho 10 lớp -
Gabdulin R. (Moscow, Trường Vật lý số 18 tại Đại học quốc gia Moscow),
Smirnov A. (Kurgan, số 28),
Temirdalev T. (Novosibirsk, Trường Vật lý số 165 tại NSU),
Frolov A. (Tula, ssh. Số 36).

bằng cấp II

trong 8 lớp nhận được:
Grebnev I. (Leningrad, Trường Vật lý số 45 tại Đại học bang Leningrad),
Ivoilov I. (Kazan, s.sh. Số 131),
Makev I. (Angarsk, ssh. Số 10),
Chekanov S. (Saratov, ssh. Số 13);

cho lớp 9 -
Ivlev V. (Novosibirsk, Trường Vật lý số 165 tại NSU),
Pronin D. (Gorky, ssh. Số 36),
Sultanov A. (Moscow, Trường Vật lý số 18 tại Đại học quốc gia Moscow),
Tsvetkov P. (Podolsk, ssh. Số 6);

cho 10 lớp -
Kozelov A. (Apatity, ssh. Số 2),
Osodoev A. (Novosibirsk, Trường Vật lý số 165 tại NSU),
Putin A. (Klintsy, ssh. Số 2),
Sedyshkin V. (Sverdlovsk, ssh. Số 9).