chuyển động đường cong

47

chuyển động đường cong

Chuyển động của vật thể theo quỹ đạo cong thường thấy trong tự nhiên và công nghệ. Ví dụ, đây là chuyển động của các vệ tinh và thiên thạch trong trường hấp dẫn của Trái đất hoặc các hành tinh và sao chổi trong trường hấp dẫn của Mặt trời, chuyển động của các bộ phận tích điện trong máy gia tốc hoặc các bộ phận của các cơ chế khác nhau.

Chúng ta hãy nhớ lại các định luật cơ bản áp dụng cho chuyển động cong. Như đã biết, tốc độ của một vật luôn có phương tiếp tuyến với quỹ đạo của nó và trong quá trình chuyển động có thể thay đổi cả về độ lớn và hướng. Vectơ gia tốc của vật không trùng hướng với vận tốc mà tạo một góc nhất định với vận tốc. Sẽ thuận tiện hơn khi nói không phải về bản thân gia tốc mà về hai hình chiếu của nó. Tuy nhiên, trong số này, cái gọi là phép chiếu tiếp tuyến (hoặc tiếp tuyến) $a_T$ là phép chiếu lên hướng của vận tốc (nghĩa là hướng về hướng tiếp tuyến của quỹ đạo). Phép chiếu này đặc trưng cho sự thay đổi trong mô hình vận tốc. Một phép chiếu khác, được gọi là phép chiếu pháp tuyến (hoặc hướng tâm) $a_H$ là phép chiếu theo hướng vuông góc với vectơ vận tốc. Nó đặc trưng cho sự thay đổi hướng của tốc độ. Đặc biệt, khi một vật chuyển động đều theo một vòng tròn thì gia tốc chỉ có một hình chiếu - vuông góc với tốc độ và chỉ thay đổi hướng của nó. Mô đun của hình chiếu này bằng bình phương mô đun vận tốc chia cho bán kính hình tròn: $a_H = v^2/R$.

Một phần nhỏ của bất kỳ quỹ đạo cong nào luôn có thể được biểu diễn như một phần của một đường tròn nhất định; bán kính của đường tròn tương ứng được gọi là bán kính cong của quỹ đạo tại một vị trí nhất định. Do đó, biểu thức $a_H = v^2/R$ có thể được sử dụng để xác định bán kính cong của quỹ đạo $R$.

Cuối cùng, đối với một vật chuyển động theo một quỹ đạo cong, cũng như đối với một vật chuyển động dưới tia sét, định luật thứ hai của Newton có giá trị: tổng vectơ của tất cả các lực tác dụng lên vật đó bằng khối lượng của vật đó nhân với vectơ gia tốc của nó.

Chúng ta hãy xem xét một số bài toán cụ thể cho chuyển động cong của một vật.

Bài toán 1. Một vật được ném lên khỏi mặt đất với vận tốc ban đầu $\vec{v}_0$ một góc $\alpha_0$ so với đường chân trời. Tìm sự phụ thuộc của hình chiếu tiếp tuyến và pháp tuyến của gia tốc của vật lên độ cao nhỏ của nó. Sức cản của không khí có thể bỏ qua.

Sau khi ném, chỉ có một lực tác dụng lên cơ thể - lực hấp dẫn đối với Trái đất, do đó, tại bất kỳ điểm nào trên quỹ đạo, gia tốc $\vec{a}$ của cơ thể bằng gia tốc rơi tự do $\vec{g}$ (Hình 1). Hình chiếu gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến bằng nhau, tương ứng với

$$a_T = g \sin \alpha \text{ и } a_H = g \cos \alpha.$$

Đây $\alpha$ là góc tạo nên

48

Tốc độ $\vec{v}$ của cơ thể ở độ cao $h$ tương quan với đường chân trời.

Hãy viết định luật bảo toàn năng lượng:

$$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgh$$

và tìm biểu thức cho mô hình $v$ của vận tốc cơ thể:

$$v = (v_0^2 - 2gh)^{1/2}$$

Trong quá trình chuyển động, hình chiếu của vận tốc lên phương nằm ngang không đổi và bằng $v_0 \cos \alpha_0$. Sau đó (xem hình 1)

$$a_H = g \cos \alpha = g v_0 \cos \alpha_0 \cdot v^{-1} = g v_0 \cos \alpha_0 \cdot (v_0^2 - 2gh)^{-1/2}$$

Và

$$a_T = g \sin \alpha = g (1 - \cos^2 \alpha)^{1/2} = g (v_0^2 \sin^2 \alpha_0 - 2gh)^{1/2} (v_0^2 - 2gh)^{-1/2}$$

Các công thức thu được có thể được sử dụng để tính chiều cao nâng tối đa của cơ thể $h_{\max} = v_0^2 \sin^2 \alpha_0 / 2g$:

$$a_H = g \cos \alpha_0 \cdot h_{\max}^{1/2} (h_{\max} - h \sin^2 \alpha_0)^{-1/2}$$

$$a_T = g \sin \alpha_0 \cdot (h_{\max} - h)^{1/2} (h_{\max} - h \sin^2 \alpha_0)^{-1/2}$$

Bài toán 2. Đoạn BC cuối cùng của đồi tăng tốc khi nhảy trượt tuyết là một cung tròn có bán kính $R = 15$ m (Hình 2). Tổng chiều cao của ngọn núi là $H = 50$ m. Tìm mô hình gia tốc của người trượt tuyết tại điểm C nếu góc đó là $\alpha = 30^\circ$. Hãy xem xét rằng một vận động viên trượt tuyết đang đi xuống một ngọn núi mà không có bất kỳ tốc độ ban đầu nào; Bạn sẽ bỏ bê việc đào tạo.

Khi chuyển động dọc theo ngọn núi có gia tốc, có hai lực tác dụng lên người trượt tuyết. Đây là lực hấp dẫn $m\vec{g}$, hướng thẳng đứng xuống dưới và phản lực

$$\vec{m}\vec{g}$$

và hỗ trợ $\vec{N}$, hướng, trong trường hợp không có ma sát, dọc theo bán kính cong của quỹ đạo, trong trường hợp của chúng tôi - dọc theo bán kính $CO$. Tổng hợp của các lực này mang lại cho trung úy gia tốc ban đầu $\vec{a}$:

$$\vec{m}\vec{a} = m\vec{g} + \vec{N}$$

Theo định lý cosin cho tam giác lực ta có (xem Hình 2)

$$(ma)^2 = (mg)^2 + N^2 - 2mgN \cos \alpha.$$

Gọi $\vec{v}$ là tốc độ của người trượt tuyết tại điểm C. Phép chiếu gia tốc thông thường $a_H = v^2/R$ tạo ra các hình chiếu tương ứng của các lực $m\vec{g}$ và $\vec{N}$:

$$mv^2/R = N - mg \cos \alpha.$$

Loại bỏ $N$ khỏi hai phương trình cuối, ta được

$$a^2 = g^2 \sin^2 \alpha + (v^2/R)^2.$$

Chúng ta hãy thay thế ở đây giá trị của mô hình $v$ tốc độ của người trượt tuyết từ định luật bảo toàn năng lượng

$$mv^2/2 = mg(H - R(1 - \cos \alpha))$$

và tìm mô hình gia tốc của người trượt tuyết:

$$a = (g^2 \sin^2 \alpha + (v^2/R)^2)^{1/2} = g(\sin^2 \alpha + 4(H/R - 1 + \cos \alpha)^2)^{1/2} \approx 65 \text{ m/c}^2.$$

Giá trị tương tự có thể thu được từ một số tính toán khác. Khi di chuyển dọc theo một cung tròn, hình chiếu gia tốc thông thường là $a_H = v^2/R$ và hình chiếu tiếp tuyến, chỉ được tạo bởi hình chiếu trọng lực tương ứng, là $a_T = g \sin \alpha$. Khi đó mô hình gia tốc là

$$a = (a_H^2 + a_T^2)^{1/2} = (g^2 \sin^2 \alpha + (v^2/R)^2)^{1/2}.$$

Bài toán 3. Một vật nhỏ nằm trên một bán cầu bắt đầu trượt dọc theo bán cầu, và sau đó tách ra khỏi bán cầu đó, sẽ chuyển động giống như một vật bị ném theo một góc về phía chân trời.

Chúng ta hãy giới thiệu hệ tọa độ $XOY$, như trong Hình 3. Đầu tiên, chúng ta hãy tìm tọa độ $x_0$ và $y_0$ của điểm tính từ bán cầu, cũng như mô hình và hướng của tốc độ $\vec{v}_0$ trong chuyển động-

49

Hình 3.

ý chia tay. Chuyển động của vật dọc theo chất bán sắt xảy ra dưới tác dụng của hai lực - lực hấp dẫn $m\vec{g}$ và lực của phản lực pháp tuyến (vì không có ma sát) $\vec{N}$. Tại thời điểm tách ra, phản lực trở thành 0, do đó gia tốc bình thường $a_H = v_0^2/R$ chỉ được truyền tới cơ thể bằng hình chiếu tương ứng của trọng lực:

$$mv_0^2/R = mg \cos \alpha_0.$$

Giải phương trình này cùng với phương trình biểu diễn định luật bảo toàn năng lượng:

$$mv_0^2/2 = mgR(1 - \cos \alpha_0),$$

chúng ta hãy tìm:

$$\cos \alpha_0 = 2/3, \quad v_0 = (2gR/3)^{1/2}.$$

Tọa độ của điểm phân tách bằng tọa độ tương ứng

$$y_0 = R \cos \alpha_0 = 2R/3,$$
$$x_0 = (R^2 - y_0^2)^{1/2} = R(1 - \cos^2 \alpha_0)^{1/2} = \sqrt{5}R/3.$$

Bây giờ hãy viết phương trình chuyển động của vật sau khi tách khỏi nửa phà:

$$x = x_0 + v_0 \cos \alpha_0 \cdot t,$$
$$y = y_0 - v_0 \sin \alpha_0 \cdot t - gt^2/2.$$

Rõ ràng, tại thời điểm đạt đến mặt phẳng ngang, tọa độ $y$ trở thành bằng 0: $y = 0$. tọa độ $x$ sẽ được tìm thấy từ phương trình chuyển động tương ứng, thay thế vào đó các giá trị của các điều kiện ban đầu ($x_0, v_0$ và $\cos \alpha_0$), cũng như thời gian bay trước khi va chạm, thu được từ điều kiện $y = 0$:

$$x \approx 1,12R.$$

Bài 4. Một bánh xe có bán kính $R$ lăn trên mặt phẳng nằm ngang với vận tốc không đổi $\vec{v}_0$ không bị trượt. Có một điểm vật chất có khối lượng $m$ trên vành bánh xe. Xác định mô đun và hướng của phản lực tác dụng lên điểm, cũng như bán kính cong quỹ đạo của nó tùy thuộc vào vị trí của điểm trên vành.

Đặt vị trí tức thời của một điểm vật chất trên vành bánh xe được đặc trưng bởi góc $\alpha$ (Hình 4). Từ quan điểm được quan sát trong một hệ tọa độ cố định (ví dụ: liên kết với trái đất), điểm tham gia vào hai chuyển động - chuyển động tịnh tiến cùng với bánh xe với tốc độ nằm ngang không đổi $\vec{v}_0$ và chuyển động quay quanh tâm bánh xe với tốc độ góc $v_0/R$.

Chúng ta hãy lợi dụng thực tế là trong các hệ tọa độ quán tính khác nhau, gia tốc của vật là như nhau. Chúng ta hãy xem xét một hệ tọa độ chuyển động cùng với tâm của bánh xe với tốc độ $\vec{v}_0$. Trong hệ thống này, một điểm vật chất chuyển động đều quanh một vòng tròn. Gia tốc bình thường $\vec{a}_H(a_H = v_0^2/R)$ được truyền cho nó bởi hai lực - trọng lực $m\vec{g}$ và phản lực $\vec{N}$. Theo định lý cosine, từ tam giác lực ta có (xem Hình 4):

$$N^2 = (mg)^2 + (mv_0^2/R)^2 - 2(mg)(mv_0^2/R) \cos \alpha,$$

Ở đâu

$$N = ((mg)^2 + (mv_0^2/R)^2 - 2(mg)(mv_0^2/R) \cos \alpha)^{1/2}.$$

Hướng của lực $\vec{N}$, được xác định bởi góc $\alpha$, có thể tìm được từ cùng một tam giác bằng cách sử dụng định luật sin:

$$N/\sin \alpha = mg/\sin \varphi,$$

hình 4.