Bài toán Thế vận hội của đảng Cộng hòa

34

Bài tập
người theo chủ nghĩa cộng hòa
Thế vận hội

Vào đêm trước môn toán
Thế vận hội sẽ được tổ chức ở hầu hết Cộng hòa Uzbekistan trong kỳ nghỉ xuân, chúng tôi mời độc giả so sánh một số nhiệm vụ được đề xuất tại Thế vận hội Cộng hòa Uzbekistan năm ngoái.

1. Một số ô của tờ giấy ca rô dài vô tận được sơn màu trắng, số còn lại có màu đỏ. Một ô là đặc biệt nếu màu của nó khác với màu của ít nhất một trong các ô xung quanh nó. Chứng minh rằng luôn có ít nhất 9 ô đặc biệt.

2. Chứng minh rằng với mọi số p và q, tổng chiều dài các đoạn của trục $Ox$ chứa bất đẳng thức
   $$|x^2 + px + q| \leq 2$$,
   sẽ không vượt quá 4.

3. Hàm f được xác định ở mọi nơi cho mọi x và y thỏa mãn mối quan hệ $f(xy) = f(x) \cdot f(y) - f(x+y) + 1$ và $f(1) = 2$. Tìm thấy:

a) $f(m)$ với số nguyên m tùy ý;

6. $f\left(\frac{m}{n}\right)$ cho một số hữu tỷ tùy ý $\frac{m}{n}$.

4. Điểm $A, B$ và $C$ được cho trên một đường thẳng và $B$ nằm giữa $A$ và $C$. Trên các đoạn $AB, BC$ và $AC$, cũng như trên đường kính, các đối tượng nằm trên một phía của đường này được thi công. Đường vuông góc với $(AC)$ vẽ qua điểm $B$, cắt hình bán nguyệt lớn tại điểm $D$.

a) Chứng minh tiếp tuyến chung của hai hình bán nguyệt nhỏ khác $(BD)$ song song với tiếp tuyến của hình bán nguyệt lớn vẽ qua điểm $D$.

6. Chứng minh rằng các điểm $B, D$ và các điểm tiếp tuyến của các hình bán nguyệt nhỏ có tiếp tuyến chung là các đỉnh của hình tròn bên phải.

5*. Giáo viên viết một đa thức bậc 3 lên bảng. Một trong những học sinh đã thêm đa thức tùy ý của mình vào đa thức này hoặc trừ nó - theo ý muốn. Anh ta viết đa thức thu được lên một tờ giấy và chuyển nó cho một học sinh khác. Học sinh đó tiếp tục với một đa thức mới - một lần nữa, theo ý mình - một trong hai phép toán trên (cộng hoặc trừ một phép tính tùy ý) và đưa tờ kết quả cho học sinh tiếp theo, v.v.

Sau một thời gian, một học sinh đã nghĩ ra được đa thức tương tự được giáo viên viết trên bảng đen. Chứng minh rằng có ít nhất một học sinh sai.

6. Dọc theo những cành cây đó - dọc theo những tia không có kế hoạch có khởi đầu chung $O$ - anh ta sẽ nhận được ba con bọ, $A, B$ và $C$. Tại mỗi thời điểm, khoảng cách từ con bọ đến điểm $\theta$ thỏa mãn hệ thức
   $$\frac{1}{|OB|} - \frac{1}{|OA|} = 1, \quad \frac{1}{|OC|} - \frac{1}{|OB|} = 1.$$
   Chứng minh rằng tồn tại đường thẳng l sao cho mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $l$ bất cứ lúc nào.

7. Trên hai vòng tròn giấy giống hệt nhau, họa sĩ đã vẽ hai con rồng hoàn toàn giống hệt nhau. Trong một bức vẽ, mắt rồng trùng với tâm của vòng tròn, nhưng ở bức thứ hai thì không. Chứng minh rằng hình tròn thứ hai có thể cắt thành nhiều mảnh để tạo thành hình tròn đó với cùng một con rồng có mắt ở giữa hình tròn.

8. Bên trong góc này có hai điểm $A$ và

B. Vẽ một hình bình hành trong đó hai đỉnh đối diện trùng với $A$ và $B$, hai đỉnh còn lại nằm trên hai cạnh của một góc cho trước.

9. Tìm độ dài các cạnh của hình vuông nhỏ nhất trong đó có thể đặt ba hình tròn có bán kính $1, \sqrt{2}, 2$ mà không chồng lên nhau.

10. Chứng minh rằng tập hợp số $1, 2, 3, \dots, 1413, 1414$ có thể chia thành các nhóm sao cho tổng các số trong mỗi nhóm bằng 1981.

11. Dọc theo những con đường song song với tốc độ không đổi $A, B, C$. Tại một thời điểm nào đó, diện tích của tam giác $ABC$ bằng $2\ m^2$ và sau 5 giây nó sẽ bằng $3\ m^2$. Khu vực này sẽ thay đổi như thế nào sau 5 giây nữa?

12. Chứng minh rằng với $n$ số tự nhiên phân biệt $a_1, a_2, \dots, a_n$ tùy ý thì bất đẳng thức
    $$\frac{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}{a_1 + a_2 + \dots + a_n} \geq \frac{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}{1 + 2 + \dots + n}.$$

13. Chứng minh rằng nếu với mọi $x \in ]-1; 1[$ bất đẳng thức
    $$|a_1 \sin b_1 x + a_2 \sin b_2 x + \dots + a_n \sin b_n x| \leq |\sin x|,$$
    Cái đó
    $$|a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n| \leq 1.$$

14. Có đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên sao cho $P(19) = P(81) = 1981$ và $P(1981)$ bằng 19 hoặc 81 không?

15. Chứng minh rằng nếu biểu thức
    $$2\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right) + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} + \frac{1}{11} - \frac{1}{12}$$
    mang về mẫu số chung thì tử số của nó sẽ chia hết cho 13.