Bài toán M726—M730; F738—F742

25

Bài toán

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số báo này có thể được gửi chậm nhất là ngày 30 tháng 4 năm 1982 đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, “Fizmatlit”, «Kvant». Trong cột “Tới”, viết: “Sự cố «Kvant» Số 2 - 82” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M726, M727” hoặc “F738”. Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) được phân bổ trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải).

Tình trạng của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản được chỉ định trong một phong bì riêng biệt, thành hai bản sao cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”).

M726—M730; F738—F742

M726. Một điểm bên trong 2n-giác đều được nối với các đỉnh. Các hình tam giác 2n thu được được tô xen kẽ ở phần đầu và màu đỏ. Chứng minh rằng tổng diện tích của các tam giác đầu bằng tổng diện tích các tam giác màu đỏ a) với n=4, 6) với n=3, c) với một số tự nhiên tùy ý n.

V. Prasolov

M727. Chứng minh bất đẳng thức
a²+b²+c²+2abc<2,
trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác có chu vi 2.

I. Zharov

M728. Gọi A, B, C là các đỉnh của hình bình hành nối với đỉnh P của nó và Q là đỉnh đối diện với P. Chứng minh rằng a) khoảng cách từ điểm A, B, C đến đường thẳng PQ có thể coi là độ dài cạnh của một tam giác nào đó; 6) diện tích S của tam giác này, thể tích V của hình bình hành và chiều dài d của đường chéo PQ của nó có liên hệ với nhau bởi hệ thức V = 2dS.

I. Sharytsin

M729. Tìm một số tự nhiên có tính chất sau: nếu bạn viết hình vuông và hình lập phương của nó cạnh nhau, sau đó sắp xếp lại các chữ số đã viết theo thứ tự ngược lại, bạn sẽ có sáu số này.

N. Vasiliev

M730*. Trình tự (aₙ) được xác định bởi các điều kiện
a₁=0, a₂n+1=a₂n=n-aₙ.
(Ví dụ: a₁₀=5-a₅=5-a₄=5-(2-a₂)=3+(1-a₁)=4.)
a) Viết 20 số hạng đầu tiên của dãy số và tìm a₁₉₂.
b) Chứng minh rằng mỗi số tự nhiên xuất hiện trong dãy 2 hoặc 4 lần. Số 2ᵉ sẽ xuất hiện bao nhiêu lần (với mỗi k=1, 2, 3,…)?

V). Chứng minh rằng hiệu aₙ−aₙ−1 bằng 1 nếu phân tích số n thành thừa số nguyên tố

26

số 2 được bao gồm trong lũy ​​thừa lẻ và 0 trong trường hợp ngược lại.
d) Chứng minh rằng $a_n = n/3$ với tập vô hạn các giá trị của $n$.
e) Có $n$ sao cho chênh lệch $|a_n - n/3|$ lớn hơn năm 1982 không?
e) Chứng minh rằng $\lim a_n/n = 1/3$.

V. Shevelev

F738. Các hạt di chuyển trong tập tin duy nhất với tốc độ không đổi. Vận tốc hạt tăng đồng đều từ giá trị $v_1$ ở đầu cột đến giá trị $v_2$ ở đuôi cột. Tại một thời điểm nào đó, các hạt chiếm một đoạn có độ dài $l_0$ và đồng thời các hạt $n_0$ có trên một đơn vị chiều dài. Có bao nhiêu hạt sau thời gian $t$ sẽ đến đuôi cột trên một đơn vị chiều dài? ở đầu cột?

I. Vorobiev

F739. Một khối nước $M$ được đổ mỗi giây vào một bình hình trụ có chiều cao $H$ với diện tích đáy $S$ từ một ống nằm ngang. Có một lỗ nhỏ ở đáy tàu. Một miếng bọt biển mỏng nhẹ nằm trên mặt nước trong bình (Hình 1). Từ một thời điểm nhất định, chiều cao của mực nước trong bình không đổi và bằng $h_0$. Xác định tốc độ nước chảy ra khỏi lỗ.

I. Omelyan

F740. Bình chứa hỗn hợp khí - heli và oxy. Ở nhiệt độ $t = -2^\circ$ C và áp suất $p = 0,9$ atm, mật độ của hỗn hợp này là $\rho = 0,44$ kg/m$^3$. Áp suất trong bình sẽ trở thành bao nhiêu nếu một nửa số phân tử oxy bị loại bỏ khỏi nó?

F741. Trong dòng điện xoay chiều có hiệu điện thế 220 V, tần số 50 Hz, hai tụ điện có công suất 1 μF được mắc nối tiếp. Một điện trở có điện trở $R = 100$ kOhm được mắc song song với một trong các tụ điện (Hình 2). Tìm nhiệt năng.

A. Zilberman

F742. Một bình thủy tinh có tiết diện hình chữ nhật được lắp giữa hai thấu kính thu có tiêu cự $F$ vuông góc với trục quang của thấu kính (Hình 3). Một nguồn sáng điểm $S$ nằm trong mặt phẳng tiêu cự của thấu kính $\varLambda_1$. Khi bình rỗng, ảnh nguồn được quan sát trên màn hình $\varDelta$, nằm trong mặt phẳng tiêu cự của thấu kính $\varLambda_2$. Bình chứa đầy một chất lỏng trong suốt, chiết suất của nó thay đổi theo độ cao tuân theo định luật $n(y) = n_0 + \alpha y$. Độ dày của lớp chất lỏng là $L$. Hình ảnh nguồn trên màn hình sẽ dịch chuyển theo chiều dọc bao nhiêu? Sự thay đổi chiết suất theo độ sâu của bình được coi là nhỏ trong đường kính của chùm sáng.

V. Mozhaev