Задачи М726—М730; Ф738—Ф742

25

Задачи

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Найболее трудные задачи отмечаются звездочкой. Послед формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задачи из этого номера можно отправлять не позднее 30 апреля 1982 года по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, «Физматлит», «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 2 — 82» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «М726, М727» или «Ф738». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений).

Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте помещьте: «Задачик «Квант», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»).

М726—М730; Ф738—Ф742

М726. Точка внутри правильного 2n-угольника соединена с вершинами. Возникшие 2n треугольников раскрашены попеременно в головой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей головых треугольников равна сумме площадей красных a) для n=4, 6) для n=3, в) для произвольного натурального n.

В. Прасолов

М727. Докажите неравенство
a²+b²+c²+2abc<2,
где a, b, c — длины сторона треугольника perimeter 2.

И. Жаров

М728. Пусть A, B, C — вершины параллелепида, соединение с его вершиной P, a Q — вершина, противоположная P. Докажите, что a) расстояние от точки A, B, C до прямой PQ могут служить длинами сторона неокоторого треугольника; 6) площадь S этого треугольника, объем V параллелепида и длина d его диагонали PQ связаны соотношением V=2dS.

И. Шарыцин

М729. Найдите натуральное число, обладающее таким свойством: если записать рядом его квадрат и его куб, а затем переставить написанные цифры в обратном порядке, получится шестей этого числа.

Н. Васильев

М730*. Последовательность (aₙ) определяется условиями
a₁=0, a₂n+1=a₂n=n-aₙ.
(Например, a₁₀=5-a₅=5-a₄=5-(2-a₂)=3+(1-a₁)=4.)
a) Выпишите первые 20 членов последовательности и найти a₁₉₂.
б) Докажите, что каждое натуральное число входит в последовательность 2 или 4 раза. Сколько раз встретиется в ней число 2ᵉ (при каждом k=1, 2, 3,…)?

в). Докажите, что разность aₙ−aₙ−1 равна 1, если в разложение числа n на простые множители

26

число 2 входит в нечетной степени, и 0 — в противном случае.
г) Доказите, что $a_n = n/3$ для бесконечного множества значений $n$.
д) Найдется ли $n$ такое, что разность $|a_n - n/3|$ больше 1982?
e) Доказите, что $\lim a_n/n = 1/3$.

В. Шевелев

Ф738. Частцы движутся гуськом с постоянными скоростями. Скорости частц равномерно возрастают от значения $v_1$ в голове колонны до значения $v_2$ в хвосте колонны. В некоторых момент частцы занимают отрезок длины $l_0$ и при этом на единицу длины приходит $n_0$ частц. Сколько частц спустя время $t$ будет приходит на единицу длины в хвосте колонны? в голове колонны?

И. Воробьев

Ф739. В цилиндрический сосуд высоты $H$ с площадью основания $S$ из горизонтального расположенной трубы ежесекундно вливается масса воды $M$. В основании сосуда имеется небольшое отверстие. На поверхности воды в сосуд лежит тонкая легкая губка (рис. 1). С некоторого момента высота уровня воды в сосуд становится постоянной и равной $h_0$. Определить, с какой скорость вытекает при этом вода из отверстия.

И. Омелян

Ф740. В сосуд находится смесь газов — гелия и кислорода. При температуре $t = -2^\circ$ С и давление $p = 0,9$ атм плотность этой смеси $\rho = 0,44$ кг/м$^3$. Каким станет давление в сосуд, если из него удалить половину молекул кислорода?

Ф741. В себя переменного тока с напряжением 220 В и частотой 50 Гц подключены последовательно два конденсатора с емкостью 1 мкФ каждый. Параллельно одному из конденсаторов включен резistor с сопротивлением $R = 100$ кОм (рис. 2). Найти тепловую мощность.

А. Зильберман

Ф742. Стеклянный сосуд прямогоЛЬного сечения установлен между двумя собирающими линзами с фокусными расстояниями $F$ перpendикулярно оптической оси линз (рис. 3). Точечный источник света $S$ расположен в фокальной плоскости линзы $\varLambda_1$. Когда сосуд пустой, изобравжение источника наблюдается на экране $\varDelta$, расположенном в фокальной плоскости линзы $\varLambda_2$. Сосуд заполняется прорачной жидкостью, показатель преломления которой меняется с высотой по закону $n(y) = n_0 + \alpha y$. Толщина слоя жидкости равна $L$. На сколько сместится по вертикали изобравжение источника на экране? Изменение показателя преломления с глубиной сосуда считать малым в пределах диаметра светового пучка.

В. Можаев