Пособие по математике для поступающих в вузы

58

Пособие по математике для поступающих вузы

Так называется книга, которую в этом году большим тиражом выпустило издательство «Наука».
При подготовке к вступительным экзаменам перед абитурентом возникнет нелегкая задача: нужно повторить 103 пункта программы для поступающих вузы и прорешать еще большие количество задач. Можно было бы снова просмотреть все школьные учебники от 5-го до 10-го классов и вспомнить решения содержащихся в них задач. Однако, на наш взгляд, такой путь по многим принципам (в том числе, и чисто психологическим) является далеко не самым лучшим. Гораддо эфективнее и естественное другой путь — использовать при подготовке к коэффициентом прекрасную возможность почини по этому второму пути.
Книга состоит из 17 глав. Каждый глав содержит теоретический материал и задачи. Изложение теории сопроводяется разбору управления и задач различных решений задач I самостоятельно. Если это неудается, можно изучить приведение в книге решения, а затем на анализчных задач раздела II проконтроллеровать свою способность решать задачи данного типа. Книга содержит более 2000 упражнений и задач. Конечно, это не означает, что для успешной подготовки к экзаменам все их необходимо просчитать.

Помимо стандартных задач различных трудностей в книге разбияются и такие, в которых решаются должны продемонстрировать элементы логических навыки. Приведем два примера.

Задача 1. Даны две точки A (0; 9), B (3; 6) и система неравенств
$$\begin{cases} 2x - y + a \leq 0, \\ 6x + 3y + 5a \geq 0. \end{cases}$$

При каких значениях параметра а решением системы будет координаты
a) хотя бы одной точки отрезка AB?
b) как до точки отрезка AB?
Задача 2. Ученики десятою «В» класса хвостались тем, что они выше ростом учеников десятою «А». На вопрос учетеля математики «Что, собственно, означает, что вы выше ростом?» ученики десятою «В» должны следующее:

1. Любоий из нас выше любою из них.
2. Самый высокий из нас выше самого высокого из них.
3. Для любого ученика нашего класса найдется ученик класса «А» меньше роста.
4. Каждый ученик класса «А» ниже хотя одного ученика нашего класса.
5. Средний рост учеников нашего класса больше среднего роста учеников класса «А».
   Есть ли среди этих ответов равносильные? Если есть, то какие?

Известно, что обучение проходит тем успешнее, чем больший интерес проявляет учащийся к изучаемому предмету. Следующие две задачи показывают, что авторы стремились включить в книгу материал, который былзаимателовым для школьника.

Задача 3. «Вернутьись домой, Меерз позвонил на набережную Орфевр.
— Говорит Меерз. Есть новости?
— Да, шеф. Поступили сообщения от инструкторов. Торранс установил, что если Франсуа был пьян, то любо Эттен — убийца, либо Франсуа лжет. Жуссье считает, что любо Эттен — убийца, или Франсуа не был пьян и убийцей.

СТВО ПРОИЗОЩЛО ПОСЛЕ ПОЛУНОЧИ. Инспектор Люка просил передать Вам, что если убийство произойдет после получения, то любо Эттен — убийца, либо Франсуа лжет. Затем звонили…
— Все. Спасибо. Это достаюно.— Комиссар положил трудку. Он знал, что тревовый Франсуа никогда не лжет. Тенерь он знал все».
Какой вывод сделал комиссар Меерз?
Задача 4. Известно, что крокодил имеет не более 68 зубов. Доказать, что среди 16^{17} крокодил может не оказаться двух крокодилов с одним и тем же набором зубов.
Но, конечно, таких задачи в книге немного: Большинство задачи — это общные задачи, многоные из которых предлагались на применных экзаменах вузы. В конце книги авторы поместили некоторые варианты поступительных экзаменов, которые предлагались вузах Москвы, Ленинграда, Новосибирска, Киева и других городов.
Помимо основных в книге освещаются и такие темы, не входящие в школьную программу, как «Комбинаторика» и «Комплексные числа». Их изучение будет способствовать дальнейшему успешному обучению вузах.
В книге отражен опыт работы Заочной физико-технической школе (3ФТШ), которую хорошо знают многое учащесся и учтеля нашей страны. Задания этой школе уже помогли поступить в ведущие вызов нескольких поколенями школьников. Материалы 3ФТШ прошли длительное время при обучении учащихся 8—10 классов.
Не только выпускники школе, но и учтеля, преподаватели техническим и профессиональным технкумов и професцунillos, руководители математических кружков, студенты педагогических взов на дату в книге/materialы, которые удобно иметь под рукой.
«Пособие по математике», написанное А. Д. Кутасовым, Т. С. Пиголкино, В. И. Чехловым и Т. Х. Яковлевой под редакцией профессора Г. Н. Яковлева, несомненно становится настоящий книгой для всех, кто изучает или преподавает школьную математике.

В. Гутенахер

59

Долго ли палке упасть?

1. В рассматриваемом промежутке
   $$\frac{\varepsilon}{4} < \lg \frac{\varepsilon}{4} < \frac{\varepsilon}{2}.$$
   Позному
   $$Q \left[ \ln \lg \frac{\pi}{8} - \ln \frac{\varepsilon}{2} \right] \leq T \leq$$
   $$\leq Q \left[ \ln \lg \frac{\pi}{8} - \ln \frac{\varepsilon}{4} \right],$$
   откуда следует требуемые оценки.
2. Время падания
   $$T = \sqrt{\frac{l}{2g}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\frac{v^2}{2gl}} + 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}.$$
   Этот интервал собственный, максимум подбитерральной функции достигается при $\alpha = 0$. При $v \to 0$ этот интервал стремится к бесконечности, что видно из следующих преобразований, где $\frac{v^2}{2gl}$ обозначает через $\varepsilon$:
   $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\varepsilon + 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}} \geq \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\varepsilon + \sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2}}} \geq$$
   $$\geq \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\varepsilon + \frac{\sqrt{2}}{2} \alpha}} = \sqrt{2} \ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \alpha + \sqrt{\varepsilon} \right) \Bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} =$$
   $$= \sqrt{2} \left[ \ln \left( \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} + \sqrt{\varepsilon} \right) - \ln \sqrt{\varepsilon} \right] =$$
   $$= \sqrt{2} \ln \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{2} \ln \varepsilon.$$
   Попутно мы получили логарифмическую оценку силы для времена падания. Аналогичная оценка сверху может быть получена из следующих сообщений:
   $$\frac{1}{\sqrt{\varepsilon + 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}} \leq \min \left\{ \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}; \frac{1}{\sqrt{2 \alpha}} \right\}.$$
   $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \min \left\{ \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}; \frac{1}{\sqrt{2 \alpha}} \right\} d\alpha =$$
   $$= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\varepsilon}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\varepsilon}} =$$
   $$= \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \frac{\pi}{2} + \ln \sqrt{2}) - \frac{1}{2} \ln \varepsilon.$$
3. Время падания
   $$T = \sqrt{\frac{l}{2g}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\cos \beta - \cos \alpha}}.$$
   Этот интервал несобственный, так как подбитерральная функция стремится к бесконечности при $\alpha \rightarrow \beta$. Но он конечен, что видно из следующих оценок:
   $$\cos \beta - \cos \alpha = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \geq$$
   $$\geq 2 \cdot \frac{\alpha + \beta}{4} \cdot \frac{\alpha - \beta}{4} = \frac{1}{8} (\alpha^2 - \beta^2).$$
   $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\cos \beta - \cos \alpha}} \leq \sqrt{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\alpha^2 - \beta^2}}.$$
   По формуле дифференцирования сложной функции
   $$[\ln(x + \sqrt{x^2 - \beta^2})]' = \frac{1}{\sqrt{x^2 - \beta^2}}.$$
   Позному
   $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\cos \beta - \cos \alpha}} = \ln \left( \frac{\pi}{2} + \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - \beta^2} \right) - \ln \beta \leq$$
   $$\leq \ln \pi - \ln \beta.$$
   Итак, мы получили обещанную оценку сверху. Аналогичная оценка силы может быть получена следующим образом:
   $$\sqrt{\cos \beta - \cos \alpha} = \sqrt{2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}} \leq$$
   $$\leq \sqrt{\frac{1}{2}} (\alpha + \beta) (\alpha - \beta) \leq \frac{\alpha}{\sqrt{2}} \leq \alpha.$$
   Позному
   $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\cos \beta - \cos \alpha}} \geq \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\cos \beta - \cos \alpha}} = \ln \frac{\pi}{2} - \ln \beta.$$
   Метод перебора
4. Турист должен взять палату, еду и одеяло.
5. Маршрут-коммивояжера: $Yx - \exists x - Ax - Ox - Их - Yx$
6. 26 человек.
7. Только один нулем.
8. 3 бублика, 6 булок и 6 слоек.
9. 24 и 11, 48 и 43, 36 и 29, 228 и 227.
10. 8 экзаменов.
    Переменный электрический ток
11. $I = U \sqrt{\frac{1 + (\omega CR_2)^2}{(R_1 + R_2 - \omega^2 LCR_2)^2 + (\omega CR_1 R_2 + \omega L)^2}}$

Указание. Воспользовитесь векторной диа-

60

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

граммой токов и напряжений, приведенной на рисунке 1.

2. $R = \sqrt{L/C}$ Указание. См. рисунок 2, на котором изображены векторы диаграммы токов и напряжений для первого и второго участков цепи, а также для всей цепи. При любой частоте ток в цепи будет совпадать по фазе с приложенным напряжением, если углы $\varphi_1$ и $\varphi_2$ равны.

3. $P_{\max} = \frac{\mathcal{E} U}{\omega L}$. Указание. На рисунке 3 изображена векторная диаграмма токов и напряжений для линии электропередачи. Здесь $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{\mathcal{E}} - \exists D C$ генератора; $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{U}$ — напряжение на приемной системе; $\delta$ — сдвиг фаз между ними; $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{U}_L = \overrightarrow{\mathcal{E}} - \overrightarrow{U}$ — напряжение на линии передачи; $\overrightarrow{I}_L$ — ток в линии, отстоящий от $\overrightarrow{U}_L$ на $\pi/2$. Удобно перевести вектор $\overrightarrow{I}_L$ в точку $O$ и рассмотреть треугольник AOB. Его площадь, с одной стороны, равна $S = \frac{1}{2} U \sin \delta$, а с другой $S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}| \times |OK| = \frac{1}{2} U_L U \cos \varphi$. Сравнивая эти два выражения, получим, что активная мощность, равная

$$P = U I_L \cos \varphi = \frac{U U_L}{\omega L} \cos \varphi,$$

максимальной будет в том случае, если $\delta = \pi/2$, и $\sin \delta = 1$.

4. $U_1 = U \frac{n_1(n_1 R_2 + n_2 R_1)}{n_1^2 R_2 + n_2^2 R_1}$;

$U_2 = U \frac{n_2(n_1 R_2 + n_2 R_1)}{n_1^2 R_2 + n_2^2 R_1}$;

$I_1 = \frac{U n_2(n_2 - n_1)}{n_1^2 R_2 + n_2^2 R_1}$;

$I_2 = \frac{U n_1(n_1 - n_2)}{n_1^2 R_2 + n_2^2 R_1}$.

Указание. Для данной схемы справедливы также равенства:

$$I_1 R_1 = U - U_1,$$

$$I_2 R_2 = U - U_2,$$

$$\frac{U_1}{U_2} = \frac{n_1}{n_2},$$

$$I_1 n_1 + I_2 n_2 = 0.$$

Московский институт электронного машиностроения

Математика

Вариант 1

1. $\{(c; c)\} (c \in \mathbb{R})$ при $a = 0$, $\left\{ \left(\frac{3}{2} a; \frac{9}{2} a \right), \left(\frac{3}{4} a; -\frac{9}{4} a \right) \right\}$ при $a \neq 0$. Указание. При $a \neq 0$ в любом решении $x \neq a$; выразите $y$ из первого уравнения.

2. $\left\{ \frac{13}{6}, -\frac{13}{20} \right\}$.

3. $x = \frac{\pi}{44} + \frac{\pi}{22} k$ ($k \in \mathbb{Z}$). Решение. Данное уравнение равносильно каждому из уравнений

$$\frac{3 \cos 5x - 2 \cdot 2 \cos 5x \cdot \cos x}{3 \sin 5x - 2 \cdot 2 \sin 5x \cdot \cos x} = \mathrm{tg} 17x,$$

$$\frac{\cos 5x (3 - 4 \cos x)}{\sin 5x (3 - 4 \cos x)} = \mathrm{tg} 17x,$$

(1)

Уравнение

$$\frac{\cos 5x}{\sin 5x} = \mathrm{tg} 17x$$

(2)

равносильно уравнения

$$\frac{\cos 5x}{\sin 5x} = \frac{\sin 17x}{\cos 17x}$$

$$\frac{\cos 22x}{\sin 5x \cdot \cos 17x} = 0$$

и, следовательно, системе

$$\left\{ \begin{array}{l} \cos 22x = 0 \\ \sin 5x \neq 0 \\ \cos 17x \neq 0. \end{array} \right.$$

Если $\cos 22x = 0$, то $\sin 5x \neq 0$. В противном случае для некоторых $k, l \in \mathbb{Z} \ 2(22l - k) = 5$, что невозможно. Аналогично доказывается, что если $\cos 22x = 0$, то $\cos 17x \neq 0$. Значит, система (3) равносильна уравнению $\cos 22x = 0$.

Уравнения (1) и (2) также равносильны, так как если $3 - 4 \cos x = 0$, то $\cos 22x \neq 0$. Допустим противное: $\cos 22x = 0$. Из $3 - 4 \cos x = 0$ следует $x = \pm a + 2\pi k$, где $\alpha = \arccos \frac{3}{4}$. Из $\frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{3}{4} < \frac{\sqrt{3}}{2}$ следует $\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{4}$, $\frac{11}{3} \pi < 22\alpha < \frac{11}{2} \pi$. Из $\cos 22x = 0$ следует

61

cos 22α=0. Значит, 22α=9/2 π, α=9/44 π.
Тогда cos 9/22 π=1/8, cos 9/11 π=-31/32, cos 2/11 π=π/6, cos 2/11 π<√3/2. Противоречие.

4. |A₁K|=|A₁L|=√5/2 a, |KL|=√6/2 a; 7:41.
   Указание. Продолжите (A₁L) до пересечения с (AD). Объем отсекаемой части куба равен разности объемов двух притями.
5. Указание. Поскольку с увеличением y сумма x²+y² возрастает, свое наиболее значение на данном множество она принимает в точке, расположенной на «верхней» параболе.

Вариант 2

1. ∅ при a<0, {2} при a=0, {a+2-2√a, a+2+2√a} при 0<a<1, {a+2+2√a} при a≥1. Указание. Данное уравнение равно сильно системы
   {(x-a)²=4(x-1)
   x-a>0.

2. x=π/2+2πk (k∈Z). Решение. Уравнение
   2 cos²x+4 sin(x+1)=4 sin x·cos 1−sin 2x
   (1)
   является выводным из данного уравнения. Уравнение (1) равносильно уравнениям
   2 cos²x+4 sin x·cos 1+4 cos x·sin 1=
   =4 sin x·cos 1−2 sin x·cos x
   cos x(sin x+cos x+2 sin 1)=0.
   (2)
   Поскольку sin x+cos x=√2 sin(x+π/4)≥
   ≥−√2 и sin 1>sin π/4>√2/2, уравнение (2)
   равносильно уравнению cos x=0. Значит, данное уравнение равносильно системе
   {√2 cos²x+4 sin(x+1)=
   =√4 sin x·cos 1−sin 2x
   cos x=0
   {√4 sin x·cos 1=√4 sin x·cos 1
   cos x=0
   {cos x=0.
   sin x≥0.

3. max f(x)=f(2/3)=11/3√e², min f(x)=
   f(1/3)=5√e. Указание. Неравенство
   11/3√e²>7 равносильно уравнению e²>
   >(21/11)³; e>2,7.

4. 3√3/4 a². Указание. Введите естественный систему координат и составьте уравнение плоскости, проходящей через три середины; поскольку эта плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение можно искать в виде ax+by+cz+1=0.

5. {2,3}. Решение. При x=z=π/2, y=0 левая часть неравенства равна 2; поэтому a=1 не является решением. Расмотрим теперь векторы
   vec{a}=(2 sin x·cos y; cos x·sin y),
   vec{b}=(\sin z; −cos z).

С одной стороны, левая часть неравенства равна vec{a}·vec{b}. С другой стороны,
|vec|²=4 sin²x·cos²y+cos²x·sin²y≤
≤4 sin²x+cos²x=3 sin²x+1≤4
|vec|≤2
|vec|=1
vec{a}·vec{b}≤2.

Значит, числа 2 и 3 являются решениями. Впрочем, с a=3 можно справиться и проще:
2 sin x·cos y·sin z−cos x·sin y·cos z≤
≤|2 sin x·cos y·sin z|+
|cos x·sin y·cos z|≤2+1=3.

Физика

1. v=√(mg-2Fc)/2(M+m)≈0,8 m/c.
2. a≥arctg (3/μ)=arctg 10≈84°.
3. d=m/2M+m V/S=V/2S=5 см.
4. ∆t=gτ/0,3c √(ρgR/2)≈0,25°C (здесь c=4,2 кДж/(кг·K) — удельная тепломкость и ρ=10³ кГ/m³ — плотность воды).
5. q=-Q/3; этот загрязн_NO помещить в центре треугольника; равновесие неустойчива.
6. W=1+2ε/ε Q₀²/2C₀=1,25·10⁻² Дж;
   U=1+2ε/ε Q₀/C₀=250 B.
7. P₁′=4P₁(P₂+P₃)²/(P₁+P₂+P₃)²=72 Bт;
   P₂′=4P₁²P₂/(P₁+P₂+P₃)²=16 Bт;
   P₃′=4P₁²P₃/(P₁+P₂+P₃)²=32 Bт.

Рис. 4

8. Eₘ=2πfnSB≈62,8 B.
9. x=F/2. Указание. См. рис. 4, на котором S₁ — действительное изображение источника, a S₂ — минимое изображение.

63

$$= -\frac{5}{13}, \quad \text{ctg} \alpha = \frac{5}{12}. \quad 4. \sin 2. \quad 5. 144 \sqrt{3} \text{ gm}^2.$$
6. a) $\{\frac{1}{3}\}; \quad 6) x = -\frac{\pi}{4} + \pi k (k \in \mathbb{Z}).$
7. $] \frac{3}{2}; 2 [. 8. -\frac{1}{9}.$

Физика

1. a) $t = \sqrt{2h/g} \approx 2,3$ с; 6) $s = v_0 \sqrt{2h/g} \approx 34,5$ м; в) $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} \approx 26,7$ м/с, при этом вектор $\vec{v}$ составляет с горизонтом угол $\alpha = \arccos (v_0/v) \approx 56^\circ$.
2. $\omega = \sqrt{2ah/R} = 2 \text{ c}^{-1}$.
3. $T_2 = T_1 b/a = 930 \text{ K}$.
4. $m = \frac{Ns}{\eta qv} \approx 0,08$ кг (здесь $\eta = 0,3$).
5. $v = \sqrt{\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{mr}} \approx 2,25 \cdot 10^6 \text{ m/c}$ (здесь $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ F/m}$ — электрическая постоянная).
6. $R_B = r \frac{U}{\Phi - U} = 2950 \text{ Om}$.
7. При параллельном соединительном проводнике потребляется в 4 раза большая мощность, чем при последовательном соединительном.
8. $n = \frac{U^2 d_2^2 \eta t}{4Q Dc Vd_1(t_K - t)} \approx 13$ (здесь $D = 10^3 \text{ kr/m}^3$ — плотность воды, $t_K = 100^\circ \text{ C}$ — температура кипения воды).
9. $W = mU/k \approx 1,85 \cdot 10^3 \text{ Дж}$.
10. $d = a \frac{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha} - \cos \alpha} \sin \alpha \approx 3,9 \text{ см}$.

Две головоломки
(см. «Квант» №1)

1. Из первого вычитания находим $S = 1$ и $A = 0$. Поэтому первая и пятая цифры частного — девятки (см. также пятое вычитание). Обозначив остальные цифры частного через $a, b, c, d, e$ и $g$, получим уравнение
   $$10 \text{ PIENTI}: 10T = 9abc9, \text{ deg.}$$
   или
   $$10 \text{ PIENTI}1000: 10T = 9abc9\text{ deg.}$$
   Здесь делитель и частное нулями не оказываются, а их произведение
   $$10T \cdot 9abc9\text{ deg} = 10 \text{ PIENTI}1000$$
   делится на $1000 = 2^3 \cdot 5^3$. Значит, одно из этих чисел — нечетное, но делится на 125,
   $$3074258916.$$
   Рис. 5.

Квант для младших школьников
(см. «Квант» №1)

1. $A = 5, B = 3, B = 4, \Gamma = 6, \Delta = 2, E = 1$. Как расположены косточки, показано на рисунке 6.
2. В 1968 году.
3. Так будет в любом невисокосном году, поскольку $365 = 7 \cdot 52 + 1$.
4. Если вы думаете, что нужно переложить по крайней мере одну спицу, то вы ошибаете: спички перекладывать вообще не нужно! Нужно просто посмотреть на это равенство «с другой стороны».
5. В промежутке от «первого» до «восемнадцатого» желтого света 9 раз горел красный свет и 8 раз — зелень. Если желтый свет горит $x$ с, то $18x + 9 \cdot 4 + 8 \cdot 6x = 1020$, открывающося
   $$R(\alpha) = F(\alpha)$$