Симеон Дени Пуассон

14

Б. Геллер, Ю. Брук

Симеон
Дени Пуассон

В 1981 году исполнилось двери лет со дня рождения Симеона Дени Пуассона — выдающегося французского ученого, который мы по праву считаем одним из создателей современной математической физики. Имя Пуассона то и дело встречает в учебниках математического анализа и электронная физика, теории вероятностей и акстики, в книгах по квантовой механике и по теории упругости. В истории науки Пуассон стоит теперь в одном ряду с его выдающимся современниками — Лапласом, Лагранжем, Фурье, Коши, Ампером, Гей-Люссаком, Френелем.

Родился Пуассон 21 июня 1781 года. О родителях Пуассона известно немного. Мы знаем, что отец его поначалу был солдатом ганноверских войск, но его военная карьера не удалось. Из-за придирок и притенней официров он бежал из армии и обосновался в маленьком французском городке Питивье. К моменту рождения сына он занимал скромную, но уважаемую должность натариуса.

Мальчикрос совершенно обичным, ничего не применательным и никаких особых надежда в раннем детстве не подавал. У родителей даже возникли сомнения по поводу его умственных способностей. Отцу, конечно, очень хотелось, чтобы его сын стал натариусом, но семейный совет решил, что с этой работой ему не справиться и что лучше быть ему врачем. Решение семейного совета — своевого рода закон. Симеона отправили в городок Фонтенебло к дяде Ланфану для обучения достойному, но, в их понимании, простому ремонту хирурга. Однако овладеть этой профессейю оказалось нелегко. Чтобы научиться, например, делать кровопускания (один из основных методов лечения в то время), необходимо было в течение долгих часов упражняться в прокалывании и голкой жилок на капустных листах. Позже Пуассон расскажвал друзьям, что даже самые крупные жилки в последний момент все жеускользали из-под его иголки. В ненависных упражнениях прошел почти год, дядишка был доволен племянником, но первая же доверенная ему самостояльная прививка закончилась смертью пациента. Это событие так потрясло юношу, что он наторез отказался дальше заниматься медицинной и вернulty к родителим в Питивье.

За то время, пока Симеона не было дома, там произошли некоторые изменения. Отец стал «государственным человеком», возглавив городскую обшину. Семья переехала в другой дом, более приличестуующей

16

ское место занял 25-летний Пуассон. В 1812 году Пуассон был избран академиком Парижской Академии наук; с 1820 года он — член Совета Парижского университета. Ему поручается наблюдение за преодаванием математики во всех колледжах Франции. В Политехнической школе Пуассона назначают экзаменатором по артиллерии и экзаменатором абитриентов. Должность экзаменатора была в определенном смысле выше обычной профессорской: приняла итоговые экзамены, он подвергал тем самым проверке и то, как условия знания воспитниковами Политехнической школе, и то, как и чему их научили профессора.

Все смешанноеся в те бурные годы правительства Франции с большим вниманием относились к научным заслугам Пуассона. Он получил титул барона, был награжden орденом Почетного легиона (высшая награда во Франции), стал прром Франции. Получил Пуассон признание и зарубежом: он был членом всех научных обществ и академий Европы и Америки, в том числе — почетным членом Петербургской Академии наук (с 1826 г.).

Пуассон, по словам Араго, «обладал еще одним достоинством, который часто пребрегают даже не высоко стоящие в науке: точно использовать свои обязанностей». Известно, например, что выпускные экзамены в Политехнической школе ежедневно отнимали у Пуассона четыре недели, в течение которых он должен был экзаменовать по девять часов в день. «Только однажды, — пишет Араго, — из приличия Пуассон отказылся экзаменовать своего старшего сына, но воспитники Политехнической школе, узнали об этом, послали к нему делутцию с объявлением, что они вполне верят его беспритрастию и просит не откзываться от экзамена». Педагогический работу Пуассон любил, об этом говорит и его известное высказание: «Жизнь украшается двумя вещи — занятем математикой и ее преодаванием». Лекции Пуассона отличались ясностью и глубиной.

В последние годы жизни (умер Пуассон в Париже весной 1840 года) он поставил перед собой задачу написать фундаментальный курс математического физики. До конца выполнить эту задачу Пуассон, к сожалению, не успел.

О научных трудах Пуассона рассказывает очень непросто. Библиая часть его работы (а всего их около 350) относится к математической физике, поэтому подробно обсуждать даже основные результаты этих работ мы не сможем. В то же время не упомянут хотя бы совсем кратко о наиболее известных и важных работах Пуассона просто нельзя. Мы сделаем это ниже и, кроме того, рассмотрим несколько вопросов, смысл которых в полне можно понять на школьном уровне.

Одно из главных понятий в электроности — это понятие об электронском потенциале. Потенциальность светаит от величины и расположения зарядов в пространстве. Пуассон в 1811 году вывед дифференциальное уравнение, связывающее потенциал с плотностью распределения зарядов. Простейшие задачи в электроности можно, конечно, решать и не пользоваться уравнениям Пуассона. Но для сколько-нибуд сложных задач, когда есть много зарядов и расположены они произвольным образом, расчитать зависимости потенциала от координат можно только с помощью этого уравнения. Уравнение Пуассона, вместе с результатами Эйлера, Гаусса, Лапласа, Грина и Ostrogradского, лежит теперь в основе современной теории потенциала — важного раздела математической физики.

Значительные заключения Пуассона в теоретической механике, в механике сплошных сред, теории теплопроводности, теории упругости. Изучал Пуассон вопросы, связанные с адинамическим изменением состояния газа, с atmosферным электречством, с изменением горизонтальной составляющей земного магнитного поля, с природой сил поверхностного натяжения, с распространением волн в глубоком бассейне. Были у Пуассона и «артиллерийские» заключены. Он подробно исследовал задачу об отклонении снарядов от вертикальной плоскости, проведенной через направление ствола орудия. Встроими они

18

тогда параметр $\lambda = \frac{1}{365} \cdot 1982 \approx 5,43$ (число людей в коллективе есть в этом случае число испытаний). Терьер вы сами можете вычислить вероятность $p(k; \lambda)$ того, что $k$ человек родились в интересующей нас день. Для этого достаточно подставить в формулу Пуассона $k=0, 1, 2, 3, \dots$.

Третья задача относится к физике. Известно, что процесс радиоактивного распада радия заключится в превращении ядра атома радия в ядро атома радиа с испусканием альфа-частицы. Распад каждой отдельного ядра Ra происходит независимо от состояния других ядер, и вероятность такого распада в единицу времени есть величины постоянная. Обозначим эту вероятность буквой $p_0$. Если в образце всего $N$ ядер Ra, то среднее число альфа-частицы, испускаемых в единицу времени, есть $\lambda = Np_0$. Для определения $\lambda$ нам, казалось бы, нужно знать два числа — $N$ и $p_0$. Однако в классическом опите Резерфорда, Чедвика и Элиса эти числа вовсе не потребовались экспериментатором. Цель этого эксперимента был поиск закономерности, определяющий вероятность испускания радиоактивным образом определенного числа альфа-частицы в единицу времени.

Излучемые альфа-частицы попадали в счетчик. Наблюдения велицы в течение $n=2608$ промежутков времени, длительность каждого из них равная 7,5 с. Специально подсчитываюсь число $n_k$ промежутков, за каждый из которых в счетчик попадалоровно $k$ частиц. Полное число частиц за все время опыта равностью $\sum kn_k = 10094$. Если разделить теперь эту сумму на $n$, то получится среднее число альфа-частицы, испускаемых за 7,5 с. Можно считать условной единицей времени 7,5 с, тогда число $\frac{\sum kn_k}{n} = 3,87$ и есть параметр $\lambda$ в распределении Пуассона. Вычисленные с помощью формулы Пуассона числа $p(k; \lambda) = p(k; 3,87)$ естественно сравнить теперь с числами $\frac{n_k}{n}$, полученными из опыта. Мы приводим здесь соответствующее таблицу из обслуживаемых методов.

Мой нами работы. График на рисунке 1 построен по этой таблице. Красные точки обозначают числа $np(k; 3,87)$, сине соответствует $n_k$. Кривая, проведенная через красные точки, дает наглудное представление о характеристике распределения Пуассона. Важной особенность этого графика является наличие максимума. Из таблицы и графика видно, что альфа-распад хорошо описывает формулу Пуассона.

С самого раннего детства Пуассон был связан с физкой колебаний. Связан, как ни удивительно это звучит, в буквальном смысле слова. Дело в том, что нянька маленького Симеона Дени, по-видимому, не отличалась особым приложением. Чтобы иметь с малыми помещениями хлопот, она объясвала младенца во кругл吻ся широким полотенцем и подвешивала его к большой горизонти-

Рис. 1.

19

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

тальной балке. Так, качаясь в виде своеобразного мятника, маленький мальчик проводил много часов. Будучи взрослым, Пуассон шутил, говоря, что сам бог велел ему занимать теорий колебаний.

Одна из решенных им в этой области задач касалась вычисления частот колебаний небольших металлических или стеклянных пластин, жестко закрепленных в одной точке. Опыты с таким пластинами продолжались немецким Эрнстом Хладни, и первая информация о них относится к 1787 году. В 1809 году Хладни продемонстрировал эти опыты членам Французского Национального института (Академии наук). Все смотрели на них сизумлением, не сразу понял их смысла Лаплас.

Сами опыты заключится в следующем. На рисунке 2 показана за_

2*

20

и поперечных деформаций. Вспомним сначала закон Гука, с помощью которого можно расчитать изменения длины образца под действием силы, растяивающей или скимаюшей его. Если обозначить буквой ε относительной изменения длины стержня, а буквой σ — возникающей в нем напряжение, то для малых деформаций σ=Eε. Величина E называется моделем Юга и определяется внутренней структурой материала стержня.

Другой важной характеристикой упругих свойств материалов является коэффициент Пуассона, связывающий относительные изменения поперечных и продольных размеров деформации образца. В том, что одновременно с изменением продольных размеров меняются и поперечные, легко убедиться, если рассмотреть, например, деформацию резинового шнура или даже обживенного ластика. Возникает вопрос: насколько отличается относительные деформации в разных направлениях, если к образцу приложена каждая-то сила? Этот вопрос и был исследован Пуассоном. Расмотрим цилиндрический стержень длины l и радиуса r. Представим себе, что вдоль оси стержня действует растяивающая сила. При этом в нем возникают напряжение σ_l и относительная деформация ε_l=Δl/l>0. Поперечные размеры стержня тоже изменяются — радиус цилиндра уменьшается на Δr. Радиальная относительная деформация ε_r=Δr/r имеет знак, противоположный знаку ε_l. Коэффициент Пуассона есть k=|ε_r/ε_l|.

Проанализируем, в каких пределах изменяется k. Сначала предположим, что объем деформаного тела не изменяется, и запишем выражение этот факт соответствие:

π(r+Δr)^2(l+Δl)=πr^2l.

Раскрыв скобки и пренебрегая произведениями малых величины Δr и Δl, получим

rΔl+2lΔr=0,

или, другими словами,

ε_l=Δl/l=-2Δr/r=-2ε_r.

Коэффициент Пуассона в этом случае равен 1/2. На самом деле объем тела при растяжении увеличивается, и мы должны написать неравенство

(r+Δr)^2(l+Δl)>r^2l.

Из этого неравенства вытекает, что k<1/2. (Такое же неравенство справедливо и для тел нецилиндрической формы.) С другой стороны, по самом своему определению коэффициент Пуассона — число неотрицательное. Итак,

0<k≤1/2.

Близкий к нулю коэффициент Пуассона имеет пробковое дерево: при растяжении (или скатии) куска пробки поперечные размеры меняются мало (если, конечно, деформация не слищком больше!). Именно поэтому для закупоривания бутылок использовут цилиндрические пробки из пробкового дерева. С другой стороны, цилиндрические пробки используются для той же целлюллюх — коэффициент Пуассона для резины близок к 1/2, а, значит, поперечные размеры при продольном увеличении меняются довольно существенно. Если заталкивать резиновую пробку в горлышко бутылки, она может просто застрять. Чтобы трудность обойти, резиновые пробки обычно изготовляют конечной формы. Полезно отметить, наконец, что для материалов, чаще всего используются в технике — металлов, камня, бетона, значения коэффициента Пуассона заключены обычно между 1/4 и 1/3.