Переменный электрический ток

39

Переменный электрический ток

Переменный ток широко используется в промышленности (на заводах и фабриках) и в обычной осветтельной сети.

Известно, что для построного тока выполняется закон Ома — сила тока в однородном участке цепи прямо пропорциональна приложению напряжение. В цепях переменного тока сила ток также зависит от напряжения источника, но уже по более сложному закону, поскольку напряжение и ток с течение времени изменяются. Закон изменения напряжения может быть скольго сложным, но наиболее распространение и практическое применение получили источники, напряжение которых изменяется по гармоничскому закону. Например, по такому:

$$u = U_m \cos \omega t,$$

где $U_m$ — амплитуда напряжения, $\omega$ — циклическая частота, $\omega t = \varphi$ — фаза колебаний. Заметим, что в нашей стране на все ее территории принята частота $v = \omega/2\pi = 50$ Гц.

Электрическая цепь переменного ток состоит из источника ток и различных элементов таких, как лампы накапливания, электропреватные приборы, конденсаторы, катушки, электродвигатели, трансформаторы.

Основной задачей изучения переменного ток является расчет электрических цепей, то есть определение силы ток при заданном напряжение источника ток и заданных параметрах элементов цепи.

В обшем случае ток в цепи, как и напряжение источника, изменяется со временем по гармоничскому закону

$$i = I_m \cos(\omega t + \varphi).$$

Амплитуда ток $I_m$ и сдвиг фаз $\varphi$ между током и напряжением зависит от параметров данной цепи.

Рассмотрим сначала простейшие электрические цепи, состоящие из источника и одного элемента — активного сопротивления, конденсатора или катушки. При подключении к источнику активного сопротивления в цепи возникнет переменный ток, амплитуда которого равна амплитуде напряжения, деленной на активное сопротивление: $I_{RM} = U_m/R$, а фаза совпадает с фазой напряжения. В цепи с конденсатором ток по фазе определяет напряжение на $\pi/2$, а амплитуда ток $I_{CM} = U_m \omega C$, где $C$ — емкость конденсатора. Ток, возникший в катушке с индуктивностью $L$, отстает по фазе от напряжения на $\pi/2$, а его амплитуда $I_{LM} = U_m / (\omega L)$.

Расчет электрических цепей удобно вести с помощью векторных диаграмм токов и напряжений. Построим векторные диаграммы для расстояний простейших случаем (рис. 1). Начнем с известного вектора напряжения $\vec{U}_m$ и расположим его горизонтально. Поскольку ток через активное сопротивление совпадает по фазе с напряжением, вектор тока $\vec{I}_{RM}$ направим так же, как и вектор $\vec{U}_m$. Ток в цепи с конденсатором определяет напряжение по фазе на четвертый период; следовательно, вектор ток $\vec{I}_{CM}$ следует направить вертикально вверх. Наконец, ток в катушке отстает от напряжения на

40

Рис. 2.

π/2, поэтому вектор тока $I_{LM}$ должен быть направлен вертикально вниз.

Заметим, что все соотношения, полученные для амплитуд токов и напряжений, справедливы и для их действующих значений. Векторные диаграммы можно также строить, используя действующие значения токов и напряжений.

Тепер разберем такую задачу:

Задача 1. Определите силу тока в цепи, изображенной на рисунке 2, а. Параметры элементов цепи и напряжения источника питания считайте заданными.

Сначала рассмотрим участок цепи, содержащий параллельное соединение резистор сопротивлением $R_1$ и конденсатор emкостью $C$. Построим для него векторную диаграмму, считая напряжение $U_1$ на этом участке известным (рис. 2, б). Получим, что ток в цепи равен сумме токов через первый резistor и конденсатор:

$$\overrightarrow{I} = \overrightarrow{I_{R1}} + \overrightarrow{I_C}.$$

Амплитуда этого тока равна

$$I = \sqrt{I_{R1}^2 + I_C^2} = \sqrt{\left(\frac{U_1}{R_1}\right)^2 + \left(U_1 \omega C\right)^2} = U_1 \sqrt{\frac{1}{R_1^2} + (\omega C)^2}.$$

Такой же ток протекает и через резistor сопротивлением $R_2$, поэтому напряжение на нем равно

$$U_2 = IR_2.$$

Очевидно, что векторная сумма $U_1$ и $U_2$ равна напряжению $\overrightarrow{U}$ на зажимах источника:

$$\overrightarrow{U}_1 + \overrightarrow{U}_2 = \overrightarrow{U}.$$

Спроектируем вектор $\overrightarrow{U}_2$ на оси координат $X$ и $Y$ и найдем

$$U_{2x} = U_1 \frac{R_1}{R_2}, \quad U_{2y} = U_1 R_1 \omega C.$$

Из векторной диаграммы видно, что

$$U^2 = \left(U_1 + U_{2x}\right)^2 + U_{2y}^2,$$

или

$$U = U_1 \sqrt{\left(1 + \frac{R_1}{R_2}\right)^2 + \left(R_1 \omega C\right)^2}.$$

Okончательно из равенств (1) и (2) получим

$$I = U \sqrt{\frac{1 + \left(R_2 \omega C\right)^2}{\left(R_1 + R_2\right)^2 + \left(R_1 R_2 \omega C\right)^2}}.$$

Большое практическое значение имеет мощность, выделяющаяся в электрических цепях. В случае постоянного тока для любого участка цепи мощность определяется произведением напряжения на силу тока. Мощность переменного тока зависит от действующих значений тока и напряжения, а также от сдвига фаз между током и напряжением на этом участке:

$$P = UI \cos \varphi,$$

где cos φ — коэффициент мощности.

Как известно, для того чтобы получить максимальный мощность от источника постоянного тока, к нему нужно подключить нагрузку, сопротивление которого равно внутреннему сопротивлению источника. Источник переменного тока тоже обладает внутренним сопротивлением, причем оно носит не только активный, но и индуктивный характер. Интересно знать, какую же нагрузку нужно подключить, чтобы получить максимальный активный мощность в цепи переменного тока. Ответ на этот вопрос дает следующая задача:

Задача 2. Каким должно быть параметры напряжения для того, чтобы мощность, потребляемая на напряжении, была максимальной? Активное сопротивление источника $R$, его индуктивность $L$.

Поскольку мощность, выделяющая на напряжении, зависит от сдвига фаз между током и напряжением, естественно предположить, что последовательное с активным сопротивлением напряжения больше включен конденсатор (что бы скомпенси-

41

ровать сдиг фаз, создаваемый индуктивность источника).

Обозначим через $\mathcal{E}$ электродвижую силу источника, через $R_{\mathrm{H}}$ — активное сопротивление напряжения и через $C$ — емкость конденсатора. Тогда в цепи будет течь ток

$$I = \frac{\mathcal{E}}{\sqrt{(R_{\mathrm{H}}+R)^{2} + (\omega L-1/\omega C)^{2}}},$$

и на нагрузке будет выделяться активная мощность

$$P = U_{\mathrm{H}} I \cos \varphi = I^{2} R_{\mathrm{H}} = \frac{\mathcal{E}^{2} R_{\mathrm{H}}}{(R_{\mathrm{H}}+R)^{2} + (\omega L-1/\omega C)^{2}}.$$

Очевидно, что при любом значении $R_{\mathrm{H}}$ мощность будет наиболее или в противном случае равенство

$$\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0.$$

Значит, емкость конденсатора должна быть равна

$$C = \frac{1}{\omega^{2} L}.$$

При этом мощность равна

$$P = \frac{\mathcal{E}^{2} R_{\mathrm{H}}}{(R_{\mathrm{H}}+R)^{2}}.$$

Чтобы найти максимум мощности в зависимости от сопротивления $R_{\mathrm{H}}$, приравняем к нулю производую от $P$ по $R_{\mathrm{H}}$:

$$P'(R_{\mathrm{H}}) = \frac{\mathcal{E}^{2} ((R_{\mathrm{H}}+R)^{2} - 2 R_{\mathrm{H}} (R_{\mathrm{H}}+R))}{(R_{\mathrm{H}}+R)^{4}} = 0.$$

Отсюда

$$R_{\mathrm{H}} = R, \quad P_{\text{max}} = \frac{\mathcal{E}^{2}}{4 R}.$$

Заметим, что мы получили точно такие же соотношения, что и для построного тока.

---

Особое место в цепях переменного тока занимает трансформатор. Это — устройство, которое передает электрическую энергию из одной цепи в другую и при этом преобразовывает величины токов и напряжений. Отсюда и произходит название «transформатор», то есть «преобразователь». Приципп действия трансформатора основан на явлении электромагнитной индукции, так что он может работать только на переменном токе.

Transформатор состоит из замкнутого ферромагнитного сердечника, на которых намотаны две (иногда и больше) катушки из медной проволоки. Катушки часто называют обмотками трансформатора. Однако из них, первичная, подключается к источнику, другая, вторичная, — к нагрузке. (Впрочем, такое разделение обмоток является условным, потому что в зависимости от режима работы подключение может быть и противоположным.) Катушки могут быть намотаны на сердечник двояк: в одну сторону или в разные стороны. В зависимости от этого напряжения на обмотках будет изменяться в одинаковых или в противоположных фазах. Для определения условий работы на конец обмотки и считать, что в любой момент времени напряжение между началом и концом каждой обмотки имеет одинаковую полярность. На рисунках и чертежах начало обмотки обычно отмечают звездочкой.

Расчет электрической цепи с реальным трансформатором представляет большие трудности. Для управления расстройством так называемый идеальный трансформатор. (Заметим, что результаты расчетов идеального и реального трансформаторов практические совпадают.) Во-первых, будем считать, что обмотки не имеют активного сопротивления, поэтому передняя напряжение в них равны нулю, и выполняется равенство

$$\frac{U_{1}}{U_{2}} = \frac{\mathcal{E}_{1}}{\mathcal{E}_{2}} = \frac{n_{1}}{n_{2}} = K.$$

Здесь $U_{1}$ и $U_{2}$ — напряжения, $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ — ЭДС индукции, $n_{1}$ и $n_{2}$ — число витков в первичной и вторичной обмотках соответствующего; $K = n_{1}/n_{2}$ — коэффициент трансформатии. Вторых, не будем учитывать потеря энергии на выделение тепла не только в обмотках, но и в сердечнике трансформатора. А это означает, что мощность, которая поступает в первичную обмотку, равна мощности, которая уходит из вторичной обмотки на нагрузку, или, другими словами, сумма поступающей иуходящей мощности равна нулю:

$$U_{1} I_{1} + U_{2} I_{2} = 0,$$

где $I_{1}$ и $I_{2}$ — токи в первичной и вторичной обмотках соответствующего.

42

Из двух равенств получаем

$$I_1 n_1 + I_2 n_2 = 0.$$
Важность этой простой формулы позволяет следующего задача:

Задача 3. Трансформатор, имеющий число витков в первичной обмотке $n_1$, а во вторичной $n_2$, подключиен к источнику переменного тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $R_B$. Назукрас с сопротивлением $R_H$ подключиена так, как показано на рисунке 3. Определите напряжение на напряжение на напряжение.

Обозначим через $U_1$ и $U_2$, $I_1$ и $I_2$ действующие значения напряжения и токов в первичной и вторичной обмотках соответственно, а через $I_0$ — действующие значение тока в источнике. Пусть в некоторый момент времени токи направлены так, как изображено на рисунке 3. Тогда

$$I_0 R_B = \mathcal{E} - U_1, \quad I_2 R_H = U_1 - U_2,$$
$$I_0 = I_1 + I_2, \quad \frac{U_1}{U_2} = \frac{n_1}{n_2}, \quad I_1 n_1 + I_2 n_2 = 0.$$

Первые три равенства ничем не отличаются от аналогичных равенств для цепей постоянного тока и запися с учетом правила знаков для ЭДС, токов и паданий напряжения. Знаки напряжения на обмотках выбираются в зависимости от положения начала и конца обмотки. Условиялись напряжение считать положительным, если при обходе соответствующего контура сначала встречается конец обмотки. Так, если контуры первичной и вторичной цепей данного трансформатора обходить, например, по часовой стрелке, то напряжения $U_1$ в первом и $U_2$ во втором уравнениях действительное должно быть запися со знаком «минус». В четвертом уравнения знаки $U_1$ и $U_2$ берется всегда положительные. Знаки токов в обмотках в пятом уравнения выбираются так: ток считается положительным, если он на

Рис. 3.

правлен от начала обмотки к ее концу, и отпечатным — в противоположном случае.

Обвединв все пять уравнений в системе и решив ее, найдем ток $I_2$, а значит, и направление на нагрузке:

$$U_H = I_2 R_H = \mathcal{E} \frac{R_H n_1 (n_1 - n_2)}{(n_1 - n_2)^2 R_B + R_H n_1^2}.$$

Уражнения

1. Определите силу тока в цепи, показанной на рисунке 4. Належение источника питания и параметры элементов цепи считайте заданным.

Рис. 4.

2. Цепь, состоящая из двух одинаковых резисторов сопротивлением $R$, катушки индуктивности $L$ и конденсатора емкости $C$, подключиена, как показано на рисунке 5, к генератору синусoidального тока переменной частоты. Найдите соответствия между параметрами элементов цепи, при которых цель будет вести себя как резistor, имеющий только активное сопротивление, на любой частоте.

Рис. 5.

3. При передаче электрической энергии на большие расстояния индуктивность линни сначала передаваемые мощности. Считая, что генератор электростанции создает ЭДС $\mathcal{E}$, линия передачи имеет индуктивность $L$, а направление на пример системе должны быть $U$, определяйте максимальную активную мощность, которой можно передать в этом случае.

Рис. 6.

4. Трансформатор, имеющий число витков в первичной обмотке $n_1$, а во вторичной $n_2$, и два резистора с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ подключины к источнику переменного тока с напряжение $U$ так, как показано на рисунке 6. Определите напряжение на обмотках трансформатора и ток через резисторы.