Решения задач М686—М690; Ф698—Ф702

28

P742. A glass receptacle of rectangular section is placed between two convergent lenses of focal distances $F$, perpendicularly to the lenses’ optical axis (see figure Pisc. 3, p. 26). A point light source $S$ is located in the focal plane of the lens $\Lambda_1$. When the receptacle is empty, the image of the source may be observed on the screen $\exists$ located in the focal plane of the lens $\Lambda_2$. The receptacle is filled with a transparent liquid whose refraction index varies with height in accordance to the rule $n(y) = n_0 + ay$. The thickness of the layer of water is $L$. What will the vertical displacement of the image on the screen be? The change of the refraction index within the diameter of the light beam may be assumed negligible.

V. Мojaev

Решения задач

M686 — M690; Ф698 — Ф702

Ответ: для любого.

Пусть $a$ — натуральное число, для которого $a^4 \leqslant x < (a+1)^4$. Тогда $a^2 \leqslant \sqrt{x} < (a+1)^2$. Отсюда, с одной стороны, $a \leqslant \sqrt{x} < a+1$, $[\sqrt{x}] = a$. С другой стороны, $a^2 \leqslant [\sqrt{x}] < (a+1)^2$, $a \leqslant \sqrt{x} < a+1$, $[\sqrt{x}] = a$.

Г. Гальперин

M687. a) В девятцуцелевой парамиде все 9 боковых ребер и все 27 диагоналей основания окрашены: некоторые — в красный цвет, остальные — в синий. Докажите, что существует три вершины парамиды, служащие вершинами треугольника, все стороны которого окрашены в одинаковый цвет.

b) Верно ли аналогично утверждение для восмыцелевой парамиды?

a) Среди девятти боковых ребер парамиды найдется пять окрашенных в какой-то один цвет (например, в красный). Пусть $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ — концы этих ребер, занумерованные подряд. Одна из сторона пятугольника $A_1A_2A_3A_4A_5$ является диагоналю основания (пусть, для определения, это $A_1A_2$). Расмотрим треугольник $A_1A_2A_4$; его стороны — диагоналю основания. Если он однозветный, то все доказано. Если нет, то одна из его стороны (диагоналей основания) — красная, и поэтому будет однозветным треугольник, образованный этой diagonалю и боковым ребрами, соединяющим ее концы с вершиной парамиды.

b) Ответ: неверно. Пример получается, если четыре индикаты подряд ребра окрашены в красный цвет, а остальные четыре ребра — в синий, причем концы красных ребер соединены синими diagonалями, концы синиях — красными. (Сообщите, как нужно раскрасть остальные diagonали.)

H. Ненов

M688. Данные натуральные числа $a_1, a_2, ..., a_n$ также, что $a_k \leqslant k$ ($k=1, 2, ..., n$) и сумма $a_1 + a_2 + ... + a_n$ четна. Докажите, что одно из выражений $a_1 \pm a_2 \pm a_3 \pm ... \pm a_n$ равно нулю.

Докажем что утверждение индикцией по $n$.

Для $n=2$ оно очевидно, так как единственный возможный набор $a_1 = a_2 = 1$.

Пусть для набора меньше чем из $n+1$ чисел, оно доказано; докажем его для $n+1$ чисел.

Возьем произвольный набор $a_1, a_2, ..., a_n, a_{n+1}$ из $n+1$ чисел, удовлетворяющий условию. Если $a_n = a_{n+1}$, то сумма $a_1 + ... + a_{n-1}$ четна; учитывая предположение индикции, заключаем, что одна из сумм $a_1 \pm a_2 \pm ... \pm a_{n-1} + a_n - a_{n+1}$ равна нулю. Если же $a_n \neq a_{n+1}$, заменим данный набор $a_1, a_2, ..., a_n - a_{n+1}$ из $n$ чисел. Для нового набора выполнен все условия: число $|a_n - a_{n+1}|$ имеет ту же четность, что и $a_n + a_{n+1}$, поэтому сумма $n$ чисел по-прежнему четна; из $a_n \neq a_{n+1}$, $1 \leqslant a_n \leqslant n$ и $1 \leqslant a_{n+1} \leqslant n+1$ вытекает $1 \leqslant |a_n - a_{n+1}| \leqslant n$. По предположению индикции одна из сумм $a_1 \pm a_2 \pm a_3 \pm ... \pm a_n$ равна нулю. Остает-

29

ся «раскрыть модель». В любом случае $|a_n - a_{n+1}| = \pm (a_n - a_{n+1})$, и мы получаем, что одно из выражений $a_1 \pm a_2 \pm a_3 \pm \dots \pm a_n \pm a_{n+1}$ равно нулю (при этом в нашем решении перед $a_{n+1}$ и $a_n$ всегда стоит разные знаки).

С. Ненашев

М689. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равноведренных трапецей с основаниями 3 см, 1 см и высотой 1 см, нельзя составить прямуюольник.

Предположим, что прямуюольник удалилось составить из $n$ трапецей. Отметим точки, в которые попадают вершины трапецей, в том числе — четыре вершины прямогоольника.

У каждой трапеции два острых угла (по 45°) и два тупых (по 135°), так что у всех $n$ трапеций вместе одинаковое число острых и тупых углов — по 2$n$.

С другой стороны, ясно, что в каждой из отмеченных точек расположено не меньше острых углов, чем тупых (если там есть од и и типой угол, то есть по крайней мере один острый, а если — дв в а тупых, то — и два острых — см. рисунок); при этом в вершинах прямогоольника могут оказаться только острыые углы трапецей. Таким образом, острых углов больше, чем тупых (по крайней мере, на 8).

Полученное противоречие доказывает невозможность составления прямогоольника из трапецей.

H. Васильев

М690. a) Внутри выпуклого многоугольника площади $S_1$ и периметра $P_1$ расположен выпуклый многоугольник площади $S_2$ и периметра $P_2$. Докажите неравенства
$$2\frac{S_1}{P_1} > \frac{S_2}{P_2}.$$
6) Сформируйте и докажите аналогично утверждение для выпуклых многоугольников.

Рис. 1.

a) Заметим сначала, что для треугольников справедливо более сильное утверждение: $\frac{S_1}{P_1} > \frac{S_2}{P_2}$. Это почти очевидно, так как $\frac{2S_1}{P_1}$ и $\frac{2S_2}{P_2}$ — радиусы кругов, вписанных в эти треугольники.

Для доказательства общего утверждения воспользуемся двумя фактами, которые мы докажем ниже:

1. во всякий выпуклый многоугольник площади $S$ и периметра $P$ можно поместить круг радиуса $R > \frac{S}{P}$;

2. для любого круга, содержащого в данной многоугольнике, $R \leq \frac{2S}{P}$.

Из 1) и 2) сразу следует утверждение a): помещим во внутренний многоугольник круг радиуса $R > \frac{S_2}{P_2}$; поскольку $R \leq \frac{2S_1}{P_1}$, получаем требуемое.

Докажем 1). Построим на каждой стороне (выпуклого) многоугольника прямогоольник с высотой $h = \frac{S}{P}$ (рис. 1; $S$ — площадь, $P$ — перimeter многоугольника). Эти прямые перекрываются; они могут даже «вылезать» за пределы многоугольника. Поскольку суммарная площадь прямогоольников равна $S$, площадь покрытой ими части многоугольника меньше $S$. Поэтому найдется непокрытая точка, удаленная от всех сторон на расстояние $R > h$.

Докажем 2). Пусть $O$ — центр круга радиуса $R$, содержащого в многоугольнике (рис. 2). Поскольку длинны высот треугольников с вершиной $O$, основания которых служат стороны многоугольника, не меньше $R$, получаем

31

скорости вращения жидкости начинает выплаваться из капилляра? Плотность жидкости q, поверхностное натяжение σ, жидкость полностью смачивает капилляр; размеры капилляра указаны на рисунке.

Пусть ω — предельная угловая скорость вращения капилляра. Разобъем мысленного горизонтального колено на N отрезков малой длины Δx=l/N (Δx<<l). Рассмотрим два малых элемента массы воды Δm=πr²ρ·Δx, нахождение на расстояниях x от середины колена (см. рисунок). Запишем уравнение движения этих элементов:

$$\Delta m \cdot \omega^2 \left( \frac{l}{2} - x \right) = \left( p_{i+1} - p_{i-1} \right) \pi r^2,$$

$$\Delta m \cdot \omega^2 \left( \frac{l}{2} + x \right) = \left( p_{q+1} - p_{q-1} \right) \pi r^2,$$

где $p_{i-1}$ ($p_{q-1}$) и $p_{i+1}$ ($p_{q+1}$) — давление на эти элементы соответствующего слева и справа. Число таких пар, очень large N/2. Просуммировав все аналогичные уравнения, получим

$$\frac{N}{2} \cdot \Delta m \cdot \omega^2 l = \left( p_B - p_A \right) \pi r^2 \Rightarrow \frac{\varphi \omega^2 l^2}{2} = \frac{4\sigma}{r} - \varphi gh.$$

Отсюда находится ω:

$$\omega = \sqrt{\frac{8\sigma/r - 2\rho gh}{\rho l^2}}.$$

А. Буздин

Ф701.*) На рисунке 1 показано распределение температуры воды тонкого однородного теплопроводного стержня в некоторый момент времени. Как будет меняться распределение температуры в дальнейшем? Какое распределение установится через достаточно долю времени?

Процесс перераспределения температуры заканчивается выравниванием температуры по всей длине стержня. Поскольку стержень теплопроводов, его внутренняя энергия остаются неизменной. Нетрудно понять, что площадь под кривой распределения температур на любом промежутном этапе будет оставаться постоянной. Следовательно, температура $t_y$ стержня, которая установится через достаточно долю времени (рис. 2), можно определить из условия

$$t_y \cdot 90 = 2(200 \cdot 30) + 100 \cdot 30.$$

Рис. 1.

Рис. 2.

Отсюда находится

$$t_y \approx 166,6^\circ C.$$

В начале процесса выравнивания температуры наиболее измененная будет на границах между областями с наиболее различным температуром. В средней части стержня (40÷70 см на рисунке 2) температура будет повышаться, приближаясь к 166,6°C, а в боковых частях (10÷40 см и 70÷100 см на рисунке) — понятие, приближаясь к этой температуре.

О. Савченко

Ф702. Две системы, какая из которых состоит из двух одинаковых масс m, связанных прижинкой жесткости k, движутся по ладкой горизонтальной поверхности на

Через время $t_1 = L/2v_0$ произойдет стольновение масс I и I’. Поскольку соударение абсцизно упругое, сразу после удара скорость каждой из этих масс остаются прежней по абсцизной величины, но помещает направление на противоположное, а скорости масс II и II’ не изменяется (рис. 2). Следовательно, сразу после соударения в каждой системе

33

соответствующих зарядов в данном месте поверхности изменены на противоположные. Действительно, слиями взаимодействия в конфигурации $P_1$ ($P_2$) являются слияями взаимного отталкивания зарядов, «сидящих» на поверхности. Изменение знаков всех зарядов оставляет эти слияние неизменными, поэтому каждый элементный поверхности заряд будет в равновесии; при этом электрическое поле в каждой точке пространства вне проводника лишь изменит направление на противоположное. Таким образом, конфигурация $P'_1$ ($P'_2$) также будет равновесной.

Рассмотрим далее такую ситуацию. Сообщенный проводник заряд $Q$ принимает распределение $P_1$. «Заморозив» это распределение, поместим на проводник заряд — $Q$ так, чтобы он принимает распределение $P'_2$. Если теперь суммарный заряд проводника (равный нулю) представляет самому себе, то, согласно принципу суперозициции, система будет находиться в равновесии и никакого перетекания заряд по поверхности проводника не производится. Итак, общий заряд проводника оказывается равным нулю; при этом на поверхности проводника обязательно найти разноменню заряженные области: $A_1$, заряженная положительно, и $B_1$, заряженная отрицательно. Рассмотрим сливую линию, выходящий из области $A_1$. Поскольку проводник удаленный, то эта сливая линия либо конечается на нем, либо уходит на бесконечность. В первом случае точки начала и конца сливой линии (принадлежшие проводнику) должны иметь разные потенциальы (почему?), чего не может быть. Остается второй случай. Аналогично, рассмотрев одну из сливых линии, приходящих к проводнику в области $B_1$, мы приедем к выводу, что она пришла из бесконечности. Мы считаем, что бесконечность имеет фиксированный потенциаль; но тогда потенциаль области $A_1$ выше потенциаль бесконечности, а потенциаль бесконечности выше потенциаль области $B_1$, то есть различные области проводника имеют разные потенциальы. Но это противоречит условия равновесия зарядов на поверхности проводника.

Итак, предположение о возможности двух различных равновесных распределений заряды было неверным. Заряд на проводнике может распределиться единственным образом. Если в конкретной задаче нам удалось угадать равновесное распределение зарядов, то это и будет ответ.

Рассмотрим в свете сказанного решения задачи Ф700. Напомним ее условия:

$\Phi 700$. Имеется два проводника $A$ и $B$ произвольной формы. Пероначально на проводнике $A$ имеет заряд $Q$, а проводник $B$ не заряжен. Проводники приводят в сопротивление (см. рис.ок), и на проводник $B$ перетекает заряд $q$. Соприкасающийся проводником сообщают дополнительно некоторый заряд $q_x$, и в результате на проводнике $A$ оказывается заряд $q$. Определить заряд $q_x$.

Два соприкасающих проводника $A$ и $B$ представляют собой уединенный проводник ($A+B$). Заряд, сообщенный этому проводнику, равен $Q$. Рассмотрим малый элемент Дs поверхности проводника, на котором в результате равновесного распределения заряд $Q$ по поверхности проводника ($A+B$) уста-

новилась плотность заряда $\sigma$. Если бы проводник ($A+B$) (незаряженному) сообщили заряд $Q'$, то установившаяся плотность заряда $\sigma'$ на $\Delta s$ удовлетворяла бы следующему соотношению:

$$\frac{\sigma'}{\sigma} = \frac{Q'}{Q}.$$

Действительно, слияя, действующего на заряженный элемент $\Delta s$ поверхности проводника ($A+B$) со стороны других заряженных области поверхности, определяется как сумма сил взаимодействия данного элемента поверхности со всеми остальных. Поскольку пространственное расположение проводников осталось неизменным (это важный момент), взаимные расстояния между элементарными зарядами (зарядами отдельных элементов поверхности ($A+B$)) также остались неизменными, а изменились лишь величины связанных с поверхности поверхности зарядов. Поэтому каждая из сил попарного взаимодействия элементов зарядов изменлась в одно и то же число раз — в $(Q'/Q)^2$ раз. Таким образом, каждая элементарная область поверхности по-прежнему будет находиться в равновесии.

Из приведенных рассуждений следует, что, какой бы заряд ни сообщался контактрующим проводником $A$ и $B$ (проводнику ($A+B$)), относение заряд $q_A$, распределующему на проводнике $A$, к заряду $q_B$, распределующему на проводнике $B$, относение неизменным (разумеется, при неизменном взаимном расположении контактрующих проводников).

Первоначально, когда на проводнике ($A+B$) распределен заряд $Q$,

$$\frac{q_A}{q_B} = \frac{Q - q}{q}.$$

При сообщении проводнику ($A+B$) дополнительного заряд $q_x$

$$q_x = Q \frac{2q - Q}{Q - q}.$$