Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow

43

Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} x^2 = (x-a)y \\ y^2 - xy = 9ax. \end{cases}$$

2. Giải phương trình
   $$(6x-5)|\ln(2x+2,3)| = 8\ln(2x+2,3).$$

3. Giải phương trình
   $$\frac{3\cos 5x-2(\cos 6x+\cos 4x)}{3\sin 5x-2(\sin 6x+\sin 4x)} = \mathrm{tg} 17x.$$

4. Trong hình lập phương $ABCDA_1B_1C_1D_1$ có cạnh dài $a$, điểm $K$ là trung điểm của cạnh $AB$, điểm $L$ là trung điểm của cạnh $DD_1$. Tìm các cạnh của tam giác $A_1KL$ và xác định xem thể tích của hình lập phương chia cho mặt phẳng đi qua các đỉnh của tam giác này theo tỷ lệ nào.

5. Vẽ trên mặt phẳng một tập hợp các điểm $(x; y)$ có tọa độ thỏa mãn hệ bất đẳng thức
   $$\begin{cases} 2y \geq x^2 \\ y \leq -2x^2 + 3x. \end{cases}$$

Chứng minh rằng với mọi điểm như vậy $(x; y)$ thì bất đẳng thức $x^2 + y^2 \leq 2$ đúng.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình
   $$\lg(x-a) - \lg 2 = 3\lg(x-1).$$

2. Giải phương trình
   $$\sqrt{2\cos^2 x + 4\sin(x+1)} = \sqrt{4\sin x \cdot \cos 1 - \sin 2x}.$$

3. Tìm giá trị lớn nhất và lớn nhất của hàm
   $$f(x) = (3x^2 - 7x + 7)e^x$$
   trên đoạn $[0; \frac{2}{3}]$.

4. Trong khối lập phương $ABCDA_1B_1C_1D_1$ trung điểm của các cạnh $AA_1, A_1B_1, B_1C_1, C_1C, CD, DA$ và $AA_1$ được nối nối tiếp. Chứng minh rằng hàm số thu được là một hình lục giác đều và xác định diện tích của nó dọc theo cạnh của hình lập phương $a$.

5. Với những số nào trong tập hợp $A=\{1, 2, 3\}$ thì bất đẳng thức
   $$2\sin x \cdot \cos y \cdot \sin z - \cos x \cdot \sin y \cdot \cos z \leq a$$
   giữ cho tất cả các giá trị của $x, y, z$?

Vật lý
Bài toán thi vấn đáp

1. Hai vật nặng có cùng khối lượng $M=400$ g được nối với nhau bằng một sợi dây không trọng lượng, ném qua một khối có khối lượng $m=100$ g và ở cùng khoảng cách với khối (Hình 1). Một khối lượng quá tải $m$ được đặt lên một trong các tải. Vành khối sẽ chuyển động với tốc độ bao nhiêu $v$ khi khoảng cách giữa các tải trọng là $h=1$ m, nếu mỗi vật nặng có khối lượng $M$ chịu cùng một lực cản trung bình $F_c=0,17$ N? Giả sử khối lượng của khối tập trung ở vành của nó. Các lực cản tác dụng lên khối, ren và quá tải đều được yêu cầu. Không có sự trượt giữa khối và sợi.

2. Một thanh có chiều dài $l$ và khối lượng $m$ tựa vào một bức tường thẳng đứng bằng một đầu, đầu còn lại được giữ bằng một sợi chỉ, chiều dài của sợi dây này bằng chiều dài của thanh (Hình 2). Sau khi thiết lập trạng thái cân bằng, thanh sẽ nằm ở góc nào $a$ nếu nhiệt độ khí không đổi? Thể tích của mỗi nửa hình trụ là $V=1$ l, tiết diện của hình trụ là $S=100$ cm² và $m=2M$.

3. Hai nửa của hình trụ, được ngăn cách bằng một pít-tông, chứa các khối lượng nitơ bằng nhau $M$ ở cùng nhiệt độ. Khi đó khối lượng nitơ ở một nửa hình trụ tăng $m$. Sau khi thiết lập trạng thái cân bằng, pít-tông sẽ ở khoảng cách nào $d$ tính từ vị trí ban đầu đầu tiên, nếu nhiệt độ khí không đổi? Thể tích của mỗi nửa hình trụ là $V=1$ l, tiết diện của hình trụ là $S=100$ cm² và $m=2M$.

4. Một giọt Jedeva hình cầu có bán kính $R=2$ mm rơi xuống đất với vận tốc không đổi $v$. Nhiệt độ của giọt nước tăng lên bao nhiêu trong thời gian $t=10$ s, nếu toàn bộ chất lỏng thoát ra ở trên khi chuyển động được dùng để làm nóng nó và lực cản của va chạm được mô tả bằng biểu thức $F_c=0,24\pi R^2v^2$ (tính theo đơn vị SI)?

5. Các tụ điện ba điểm có công suất $C_0=1$ µF, mỗi tụ được mắc nối tiếp. Các tụ điện được sạc và ngắt kết nối khỏi nguồn. Điện tích của pin này là $Q_0=10^{-4}$ Cl. Sau đó, không gian giữa các bản của một trong các tụ điện được phân cực hoàn toàn bởi di-

Hình 1. Hình 2.