Có cần thiết phải kiểm tra không?

31

Sau đó anh ta được hỏi liệu có cách nào khác để có được công thức này không. Sau khi suy nghĩ một chút, anh ấy viết ra cos 3α=±√1−sin² 3α=…, nhưng nhanh chóng nhận ra rằng con đường này sẽ chẳng có gì tốt đẹp cả.

Nhưng trong trường hợp này, sự khác biệt lại giúp ích một lần nữa. Vi phân cả hai vế đẳng thức (3) đối với α, ta thu được

3 cos 3α=3 cos α−12 sin² α cos α=
=3 cos α−12(1−cos² α) cos α,
từ đó cos 3α=4 cos³ α−3 cos α.

Bài tập

1. Biết rằng sin 5x=16 sin⁵ x−20 sin³ x+5 sin x, hãy lập công thức biểu thị cos 5x theo cos x.

2. Sử dụng vi phân, thu được từ đẳng thức “đơn giản” 2 sin 2α sin α+cos 3α=cos α khác, đẳng thức “phức tạp hơn”.

3. Công thức nổi tiếng là sin x+b cos x=
   =√a²+b² sin(x+φ), trong đó góc φ được xác định từ điều kiện sin φ=b/√a²+b², cos φ=a/√a²+b².
   Từ công thức này, thu được công thức tính cos x−b sin x.

V. E. Olkhov

Có cần thiết phải kiểm tra không?

Học sinh thường đặt câu hỏi: “Chúng ta đã tìm được nghiệm của phương trình, có cần kiểm tra lại không?” Tất nhiên, việc kiểm tra nghiệm đề phòng trường hợp “về độ tin cậy” (thay chúng vào một phương trình đã cho), tất nhiên là hữu ích, trong mọi trường hợp, khi điều này không dẫn đến những phép tính khó hơn chính lời giải. Nhưng đây không phải là điều muốn nói ở đây - lò nướng là để thử nghiệm liên quan đến khả năng “xây rễ dễ dàng”. Học sinh biết rằng nếu không thực hiện việc kiểm tra như vậy, đôi khi các em có thể nhận được đáp số (“gốc phụ”) không chính xác. Hơn nữa, ngay cả khi đáp số được cho là đúng, giáo viên hoặc giám khảo đôi khi sẽ tuyên bố lời giải chưa đầy đủ nếu thiếu dấu kiểm. Nhưng khi nào? Trong trường hợp nào cần phải kiểm tra? Hãy thử trả lời câu hỏi này.

1. Trong trường hợp nghiệm được tìm thấy bằng cách sử dụng các công thức “làm sẵn” đơn giản nhất (chẳng hạn như công thức tính lời giải phương trình tuyến tính và bậc hai hoặc phương trình có dạng cos x=a,

log₂ x=a, b⁻=a, v.v.), không cần thực hiện kiểm tra.

Ví dụ, theo quy luật, không có ích gì khi kiểm tra nghiệm thu được bằng công thức

x₁,₂ = -b ± √b²−4ac/2a

cho phương trình bậc hai ax²+bx+c=0. (Tuy nhiên, nếu rễ còn nguyên vẹn hoặc hợp lý thì việc kiểm tra sẽ được thực hiện nhanh chóng và không có hại gì.)

Tuy nhiên, khi sử dụng các công thức như vậy, bạn nên lưu ý các điều kiện mà chúng có thể được sử dụng. Do đó, công thức (1) có thể được sử dụng với các điều kiện a≠0, b2−4ac ≥0. Thật không may, thường có trường hợp học sinh nói rằng tại a=0 phương trình ax²+bx+c=0 không có gốc, vì cái tên nổi tiếng ở vế phải của công thức (1) biến mất. Đồng thời, họ quên rằng khi a=0 thì phương trình này sẽ không phải là phương trình bậc hai và có nghiệm x=-c/b, tất nhiên trừ khi b≠0.

Sai số lớn nhất được coi là đáp số x=±arccos 2+2πk, k∈Z đối với phương trình cos x=2, vì công thức x=±arccos a+2πk, k∈Z đối với nghiệm của phương trình cos x=a chỉ có thể được sử dụng cho |a|≤1.

2. Thường xuyên hơn, tại lời giải các phương trình có rất nhiều biến đổi; trong trường hợp này, các phương trình này mỗi lần được thay thế bằng một phương trình mới nào đó, và phương trình mới, tất nhiên, có thể có các nghiệm khác. Nếu, trong quá trình biến đổi một phương trình, một phương trình mới được thay thế có tất cả các nghiệm của phương trình trước và chỉ chúng (nghĩa là phương trình được biến đổi sao cho không xảy ra mất hoặc tăng các nghiệm), thì các phương trình đó được gọi là tương đương.

Người ta biết rõ rằng

1. khi chuyển các số hạng của phương trình từ phần này sang phần khác,
2. khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một phương trình,
3. Khi nhân cả hai vế của phương trình với cùng một số khác 0 thì số ban đầu và phép biến đổi của phương trình là tương đương. Chúng cũng tương đương nếu phép biến đổi bao gồm việc áp dụng các danh tính hợp lệ cho tập hợp tất cả các số thực, ví dụ: danh tính của số viết tắt

32

các công thức nhân, tính tổng sin và cosin, v.v.

Khi tất cả các phép biến đổi này được áp dụng, mỗi lần sẽ thu được các phương trình tương đương. Vì vậy, sau khi tìm ra gốc rễ, việc kiểm tra chúng không phải là bước bắt buộc lời giải bài toán.

Ví dụ, chúng ta hãy giải phương trình theo cách này
$$\sqrt{3} \cos x - \sin x - 1 = 0.$$ (2)
Chia cả hai vế của phương trình cho 2, ta được phương trình
$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{2} = 0,$$ (3)
phương trình tương đương (2). Bởi vì
$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2},$$ thì phương trình (3) sẽ được viết lại dưới dạng
$$\cos x \cos \frac{\pi}{6} - \sin x \sin \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} = 0.$$
Áp dụng công thức cosin tính tổng hai góc từ phải qua trái ta thu được phương trình
$$\cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{2} = 0,$$ (4)
phương trình tương đương (3).
Thêm $\frac{1}{2}$ vào cả hai vế của phương trình, chúng ta thu được phương trình
$$\cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2},$$ (5)
phương trình tương đương (4).
Lời giải của phương trình đơn giản nhất (5) sẽ được viết như sau:
$$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z},$$
$$x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z},$$
Ở đâu
$$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z},$$
$$x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.$$
Vì tất cả các phép biến đổi được thực hiện đều tương đương nên việc kiểm tra các nghiệm tìm được là không cần thiết.
3. Tuy nhiên, không phải mọi phương trình đều có thể giải được chỉ bằng các phép biến đổi tương đương. Việc sử dụng các phép biến đổi không bằng nhau là phổ biến hơn nhiều. Nói chung, khi áp dụng các phép biến đổi như vậy, bạn có thể mất một số nghiệm của phương trình ban đầu hoặc thu được nghiệm xây dựng, tức là các nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Thông thường, các phép biến đổi như vậy dựa trên việc sử dụng các công thức không hợp lệ cho tất cả các hành động $x$. Trong trường hợp này, một phần, miền định nghĩa của phương trình “thay đổi”.
Ví dụ, nếu các công thức
$$\log_3 x^2 = 2 \log_3 x,$$ (6)
$$\sin 2x = \frac{2 \mathrm{tg} x}{1 + \mathrm{tg}^2 x}$$ (7)
lấy “từ trái sang phải” (nghĩa là thay vế trái của công thức bằng vế phải), khi đó nghiệm của phương trình ban đầu có thể bị mất; Vì vậy, những biến đổi như vậy mà không có sự cân nhắc bổ sung là không thể chấp nhận được.
Ví dụ, phương trình
$$\log_3 x^2 = 2$$ (8)
có hai gốc: $x_1 = 3, x_2 = -3$. Tuy nhiên, nếu áp dụng công thức (6) “từ trái sang phải” thì ta thu được phương trình
$$2 \log_3 x = 2,$$
chỉ có một gốc: $x_1 = 3$. Do đó, do áp dụng công thức (6) “từ trái sang phải” nên nghiệm của phương trình (8) đã bị mất. Lưu ý khi áp dụng công thức (6) có thể mất toàn bộ nghiệm âm. Với công thức (7) tình hình đơn giản hơn. Nó có thể được sử dụng, nhưng bạn nên kiểm tra thêm xem các số có dạng $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ có phải là gốc mà $tg x$ không được xác định hay không.
4. Nếu chúng ta áp dụng công thức (6) “từ phải sang trái” thì việc mất các rễ sẽ không xảy ra, nhưng có thể xảy ra việc bổ sung các rễ đã xây dựng, và do đó cần phải kiểm tra các rễ và loại bỏ những rễ đã được xây dựng.
Các nghiệm không liên quan cũng có thể xuất hiện khi cả hai phần của phương trình đều xuất hiện theo độ, khi cả hai phần của phương trình đều được tăng thế và trong một số phép biến đổi khác. Do đó, nếu bất kỳ phép biến đổi nào được áp dụng thì cần phải kiểm tra các nghiệm tìm được và loại bỏ các nghiệm đã xây dựng.
Ví dụ. Giải phương trình
$$x - 3 = \sqrt{x - 1}.$$ (9)