X Olympic toàn Nga dành cho học sinh

56

X Olympic toàn Nga dành cho học sinh

Theo truyền thống đã được thiết lập, giai đoạn cuối cùng, khu vực của Olympic Vật lý, Toán và Hóa học toàn Nga dành cho học sinh lớp 8-10 diễn ra trong kỳ nghỉ xuân. Năm nay Thế vận hội toàn Nga kỷ niệm 10 năm thành lập. Nó đã trở thành một trong những học sinh hiện đại phổ biến nhất ở Liên bang Nga và những người chiến thắng của nó xứng đáng đại diện cho lĩnh vực tài nguyên tại Olympic toàn Liên minh và Quốc tế.

Như thường lệ, trước giai đoạn khu vực là các kỳ Olympic cấp quận, thành phố và khu vực (lãnh thổ), do đó, mỗi khu vực (cạnh) được đại diện bởi người chiến thắng ở giai đoạn khu vực (lãnh thổ) cho mỗi hạng.

Năm nay, chặng cuối cùng của Olympic được tổ chức cho khu vực Tây Bắc ở Vologda, khu vực Trung tâm ở Sarapsk, khu vực Tây Nam ở Nalchik và khu vực Siberia và Viễn Đông ở Yakutsk. Ngoài ra, cùng lúc đó, chặng cuối của Olympic được tổ chức tại Trường Vật lý và Toán học Interpgmata tại các trường Đại học Moscow, Leningrad và Novosibirsk.

Nhiệm vụ cuối cùng của môn toán bao gồm gót chân bài toán, trong đó bốn giờ được phân bổ cho lời giải. Như bài kiểm tra cho thấy, học sinh gặp khó khăn nhất với bài toán trong hình học và lý thuyết số. bài toán thuộc loại tính toán cũng gây ra khó khăn đáng kể. Các thành viên của trường đã thảo luận chi tiết về bài toán cạnh tranh với học sinh và phân tích những sai lầm mắc phải.

Giai đoạn cuối cùng của Olympic Vật lý được thực hiện theo hai loại - lý thuyết và thực nghiệm, và tất cả học sinh đều tham gia loại thực nghiệm, bất kể kết quả của loại lý thuyết. Nhiệm vụ loại lý thuyết bao gồm bốn bài toán và loại thử nghiệm - hai. Bốn giờ được phân bổ cho lời giải của mỗi bài toán. Bài kiểm tra cho thấy tất cả các nhiệm vụ đều khả thi đối với học sinh Olympic.

Các học sinh đạt vị trí thứ 1 đến thứ 4 ở giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga đã được trao bằng, chứng chỉ và quà tặng đáng nhớ. Trong số các giải thưởng, đội RSFSR đã được thành lập để tham gia Olympic toàn Liên minh.

Các giáo viên chuẩn bị giải thưởng cho Olympic cũng được trao bằng khen đặc biệt.

Dưới đây là bài toán về toán học và vật lý của giai đoạn cuối cùng và tên các giải thưởng của Olympic toàn Nga lần thứ X dành cho học sinh.

Toán học

lớp 8

1. Mỗi khối lập phương được chia thành bốn hình vuông giống hệt nhau và mỗi hình vuông thu được được sơn bằng một trong ba màu khác nhau. Hóa ra hai hình vuông bất kỳ có cạnh chung đều được tô màu khác nhau. Chứng minh rằng có tổng cộng 8 ô vuông mỗi màu. Cho một ví dụ về cách tô màu như vậy.

2. Xây dựng một đường gãy tám mắt xích khép kín phẳng, cắt mỗi mắt xích một lần và tại điểm bên trong của mắt xích.

3. Các vòng tròn có tâm $O_1$ và $O_2$ có cùng bán kính chạm vào nhau $A$. Một đường tròn có tâm $O_3$ gấp đôi bán kính chứa bên trong nó một đường tròn có tâm $O_1$, tiếp xúc với điểm đó tại điểm $B$ và một đường tròn có tâm $O_2$ cắt nhau tại các điểm $P$ và $Q$. Chứng minh rằng đường thẳng $AB$ đi qua điểm $P$ hoặc điểm $Q$.

4. Xem bài toán 3, điểm a) đối với lớp 10.

5. Các số tự nhiên $a, b, c, d$ thỏa mãn đẳng thức $ab=cd$. Chứng minh rằng số $a^{1984}+b^{1984}+c^{1984}+d^{1984}$ là hợp số.

lớp 9

1. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho tổng các chữ số thập phân của số $2^n$ là 5.

2. Trong các ô của bảng vuông $3\times 3$ có các dấu “+” và “-”, như trên Hình 1. Được phép đổi tất cả các dấu ngược lại ở bất kỳ cột nào hoặc ở bất kỳ dòng nào cùng một lúc. Có thể lặp lại quy trình này nhiều lần từ bảng này để có được bảng như trong Hình 2 không?

Hình 1.

3. Giá trị lớn nhất của hiệu giữa một số có ba chữ số và tổng lập phương các chữ số của nó là bao nhiêu? Mức tối đa này có đạt được cho mỗi số có ba chữ số không? Giá trị tối thiểu của sự khác biệt này là gì?

4. Qua điểm $C$ nằm trong đường tròn có tâm $O_1$, hai tiếp tuyến được vẽ với đường tròn này, chạm vào đường tròn tại các điểm $A$ và $B$. Qua các điểm $C$ và $B$, vẽ một đường tròn có tâm $O_2$, tiếp xúc với đường thẳng $AB$ tại điểm $B$ và cắt đường tròn có tâm $O_1$ tại điểm $M$. Chứng minh rằng số nguyên tố $AM$ chia đoạn $BC$ làm đôi.

5. Có điểm $A, B, C$ trên mặt phẳng sao cho với bất kỳ điểm $P$ nào của mặt phẳng này thì độ dài của ít nhất một trong các đoạn $PA, PB, PC$ là số vô tỷ?

lớp 10

1. Xem bài toán 1 cho lớp 9.

2. Cho hàm $f(x), x \in ]-\infty; +\infty[$. Được biết, hàm $d(x)=f(x)+\sin f(x)$ là hàm tuần hoàn. Chứng minh rằng hàm số $f(x)$ cũng tuần hoàn.

3. Mặt quay số (hình tròn có các số 1, 2, 3,…, 11, 12) được gắn ở tâm trên một trục gắn trên bảng phấn. Mặt số có thể xoay quanh trục của nó ở mọi góc độ,

57

gần 30°. Đầu tiên, số 0 được viết trên bảng đối diện với mỗi số trên mặt số. Sau đó, mặt số được quay nhiều lần và sau mỗi lượt, số đối diện với nó trên mặt số sẽ được thêm vào mỗi số ghi trên bảng. Liệu cuối cùng chúng có bằng 1984 không:

a) tất cả các số trên bảng;
b) tất cả các số trên bảng ngoại trừ một số;
c) tất cả các số trên bảng ngoại trừ hai số?

4. Có 51 thành phố trên lãnh thổ đất nước, có hình vuông với cạnh 1000 km. Đất nước này có đủ phương tiện để xây dựng 11.000 km đường cao tốc. Liệu nó có thể kết nối tất cả các thành phố của mình bằng một mạng lưới đường cao tốc không?

5. Bên trong các mặt của khối lục giác ABCD, lấy các điểm A’, B’, C’, D’ sao cho điểm A’ thuộc mặt BCD, điểm B’ thuộc mặt ACD, điểm C’ thuộc mặt ABD, điểm D’ thuộc mặt ABC và hai điểm A’, B’, C’, D’ nằm trong cùng một mặt phẳng với một số đỉnh của khối tứ diện. Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ cắt nhau tại một điểm.

Vật lý

Chuyến tham quan lý thuyết
lớp 8

1. Một cái nêm lớn có góc đáy α di chuyển dọc theo một bề mặt nằm ngang nhẵn (Hình 1). Một thanh nặng có khối lượng m đặt trên đầu nêm, được giữ ở vị trí thẳng đứng nhờ các giá đỡ nhẵn trong đó nó có thể chịu được chuyển động thẳng đứng mà không có ma sát. Dưới tác dụng của thanh, nêm chuyển động đều. Tìm hệ số ma sát giữa nêm và thanh và lực mà thanh ép lên nêm khi nêm chuyển động theo phương ngang với tốc độ không đổi. Có thể bỏ qua ma sát của nêm trên mặt ngang và ma sát của thanh trên các gối đỡ.

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

58

Lượng nhiệt phải truyền cho khí là bao nhiêu để chất khí đưa nó trở về trạng thái ban đầu một cách đẳng tích?

3. Sáu vôn kế giống hệt nhau được nối với nhau, như trên Hình 3, và nối với nguồn điện áp không đổi. Một vôn kế hiển thị điện áp $U_x=10$ V. Số chỉ của các vôn kế khác là bao nhiêu?

4. Hai quả cầu nhỏ có khối lượng khác nhau $m_1$ và $m_2$ được treo trên hai sợi không bao giờ song song và không giãn để chúng chạm vào nhau và tâm của chúng nằm ở cùng một độ cao. Quả bóng đầu tiên được đặt trong mặt phẳng của sợi dây đến một độ cao nhất định $h_1$ sao cho sợi dây vẫn thẳng và được thả ra mà không có tốc độ ban đầu. Được biết, do va chạm của các quả bóng, quả thứ nhất dừng lại, quả thứ hai bay lên độ cao $h_2=0,25$ $h_1$. Tìm sự mất mát tương đối của cơ năng.

lớp 10

1. Trên một băng tải chuyển động với tốc độ không đổi $v_0$ hướng xuống dưới một góc $\alpha$ so với đường chân trời, có một viên gạch được giữ không cho chuyển động xuống cùng với dây đai bằng một sợi dây gắn vào nó, cố định ở phía trên (Hình 4). Dây bị cắt. Lực ma sát tác dụng lên viên gạch sẽ sinh ra bao nhiêu công cho đến khi viên gạch đạt vận tốc của băng tải? Hệ số ma sát $\mu$, khối lượng gạch $m$.

2. Các vòng $O$ và $O'$ lần lượt được đặt trên các thanh cố định thẳng đứng $AB$ và $A'B'$ (Hình 5). Sợi chỉ không co giãn được cố định tại điểm $A'$ và trên vòng $O$ và được bán qua vòng $O'$. Giả sử vòng $O'$ đang chuyển động xuống dưới với tốc độ không đổi $v$, hãy xác định tốc độ của vòng $O$ tại thời điểm $AOO'=\alpha$.

3. Một lượng nhỏ nước được đưa vào một bình đã được sơ tán trước có thể tích $V=10^{-3}$ m³ và áp suất thay đổi ở ba giá trị nhiệt độ: ở $t_1=+60^{\circ}C$ $p_1=1,92 \cdot 10^4$ Pa, ở $t_2=+90^{\circ}C$ $p_2=4,20 \cdot 10^4$ Pa, ở $t_3=+120^{\circ}C$ $p_3=4,55 \cdot 10^4$ Pa. Sử dụng những dữ liệu này, xác định khối lượng nước được đưa vào. Áp suất ở nhiệt độ này sẽ là bao nhiêu nếu khối lượng nước giảm đi 20%?

4. Một tụ điện không tích điện có điện dung $C$ sẽ kết nối với một tụ điện mắc nối tiếp có độ tự cảm $L$ và một pin không có điện áp $U$. Ngay khi dòng điện qua capouche giảm xuống 0, tụ điện sẽ bị ngắt kết nối rồi được kết nối lại, thay thế các dây dẫn của nó. Ngay sau khi dòng điện qua tụ điện lại giảm xuống 0, tụ điện lại được đóng mạch, v.v. Điện tích tối đa xuất hiện trên tụ điện sau khi được kết nối $n$ lần là bao nhiêu?

Điện trở hoạt động của mạch có thể bỏ qua.

Chuyến tham quan thử nghiệm

lớp 8

1. Xác định mật độ của chất lỏng chưa biết.

Thiết bị: một bình chứa nước, một bình chứa chất lỏng không xác định (dung dịch muối), hai ống thủy tinh, hai ống cao su, thước kẻ, trục lăn, tee thủy tinh, kéo, máy bơm Schinz.

Ghi công. Khi xác định mật độ của một chất lỏng chưa biết, không được phép tiếp xúc chất lỏng này với nước.

2. Xác định hệ số ma sát của xenluloza trên gỗ.

Thiết bị: bóng cellulon cho tenin thật có phản ứng (3-4 mm), thước gỗ dành cho học sinh, bình đựng nước (200 ml), cát khô mịn.

lớp 9

1. Xác định nhiệt dung riêng của phản ứng nóng chảy của một chất kết tinh chưa biết.

Thiết bị: một bình chứa nước nóng, hai ống nghiệm giống hệt nhau, một chất chưa biết, nhiệt kế, đồng hồ có kim giây.

Mật độ của vật chất và nước, cũng như nhiệt dung riêng và nhiệt dung của nước, cần được coi là đã biết: $\rho_{\text{вв}}=1,7 \cdot 10^3$ kg/m³, $\rho_{\text{вд}}=10^3$ kg/m³, $c_{\text{вв}}=4,2 \cdot 10^3$ J/(kg K).

2. Khảo sát sự phụ thuộc của độ cứng của lò xo được làm độc lập từ dây đồng vào chiều dài của lò xo và đường kính của nó.

Thiết bị: dây đồng có đường kính 1-2 mm, thanh hình trụ có đường kính khác nhau (ví dụ 1, 2, 3 cm), thước kẻ, bộ tạ, thanh có hai chân, sợi chỉ.

lớp 10

1. Khảo sát sự phụ thuộc của chu kỳ dao động nhỏ của thước đặt trên thân hình trụ vào chiều dài thước và đường kính của hình trụ.

Thiết bị: ba hình trụ có đường kính khác nhau (ví dụ: 2, 4, 8 cm), ba thước đo có chiều dài khác nhau (ví dụ: 25, 50, 100 cm), một đồng hồ có kim giây.

2. Xác định khu vực mà bạn có thể nhìn thấy đồng thời một bóng đèn phát sáng nằm trên trục quang chính của thấu kính thu và hình ảnh của nó (quan sát được thực hiện bằng một mắt).

Thiết bị: bóng đèn trên chân đế, nguồn điện, thấu kính thu, dây nối, thước đo.