X Всероссийская олимпиада школьников

56

Х Всероссийская олимпида школьников

По сложившейся традиции в дни весенних школьных каникул проходит заключительный, зональный этап Всероссийской физико-mатематической и химической олимпиды школьников 8—10 классов. В этом году Всероссийская олимпида отметила свой десятилетный юбилей. Она стала одним из самых массовых современных школьников Российской Федерации, а ее победители достойно представляют ресурсную на Всесоюзной и Международной олимпидах.

Как обычно, зональному этапу предшествовали районные, городские и областные (краевые) олимпиды, в результате чего каждая область (край) была представлена победителем областного (краевого) этапа по каждому классу.

В этом году заключительный этап олимпиды проводился для Северо-Западной зоны в Вологде, для Центральной зоны в Сарапске, для Юго-Западной зоны в Нальчике и для зоны Сибири и Дальнего Востока в Якутске. Кроме того, в это же время заключительный этап олимпиды проводился в физико-mатематических школе интерпгматах при Московском, Ленинградском и Новосибирском университетах.

Задание заключительного этапа по математике состояло из пяты задач, на решение которых отводилось четыре часа. Как показала проверка, наиболее трудности у учащихся вызвали задачи по геометрии и теории чисел. Значительные трудности вызвали также задачи компинаторного типа. Члены жорни подробно обсуждали со школьниками конкурсные задачи и проанализировали допущенные ошибки.

Заключительный этап олимпиды по физике проводился в два типа — теоретический и экспериментальный, причем в экспериментальном типе принимали участие все школьники, независимо от результатов теоретического типа. Задание теоретического типа включало четыре задачи, а экспериментального — две. На решение каждого задачи отводилось четыре часа. Проверка показала, что для учатников олимпиды все задания оказылись посильными.

Школьники, занящие 1—IV места на зональном этапе Всероссийской олимпиды, были награждены дипломами, грамотами и памятными подарками. Из числа призовов была формирована команда РСФСР для учатрия во Всесоюзной олимпиде.

Специальными грамотами были награждены также учателя, подготовившие призовов олимпиды.

Ниже приводятся задачи по математике и физике заключительного этапа и фамилии призовов X Всероссийской олимпиды школьников.

Математика

8 класс

1. Каждый грабь куба разбили на четыре одинаковых квадраты и каждый получившийся квадрат покрасил одной из трех различных красок. Окзадалось, что любые два квадраты, имеющие общую сторону, покрашены в разные цветы. Докажите, что всего имеет по восемь квадратов каждого цвета. Приведите пример такой раскраски.

2. Постройте плоскую замкнутую восемьзвенную ломанную, пересекающую каждое звеноровно один раз, причем во внутренней точке звена.

3. Окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ одинакового радиуса касаются друг друга $A$. Окружность с центром $O_3$ вдвое больше радиуса содержит внутри себя окружность с центром $O_1$, касаясь ее в точке $B$, а окружность с центром $O_2$ пересекает в точках $P$ и $Q$. Докажите, что примая $AB$ проходит или через точку $P$, или через точку $Q$.

4. См. задачу 3, пункт a) для 10-го класса.

5. Науральные числа $a, b, c, d$ удовлетворяют равенству $ab=cd$. Докажите, что число $a^{1984}+b^{1984}+c^{1984}+d^{1984}$ является составным.

9 класс

1. Найдите все натуральные числа $n$ такие, что сумма цифр десятичной записи числа $2^n$ равна 5.

2. В клетках квадратной таблицы $3\times 3$ расставлены знаки «+» и «-», как показано на рисунке 1. Разрешается в любом стольце или в любой строке изменить сразу все знаки на противоположные. Можно ли, повторяя эту процедуру несколько раз, из данной таблицы получить таблицу, показанную на рисунке 2?

Рис. 1.

3. Чему равно максимальное значение разности трехзначного числа и суммы кубов его цифр? Для каждой трехзначного числа достгается этот максимум? Чему равно минимальное значение этой разности?

4. Через точку $C$, лежащую в окружности с центром $O_1$, проведены к этой окружности две касательные, касающиеся ее в точках $A$ и $B$. Через точки $C$ и $B$ проведена окружность с центром $O_2$, касающаяся прямой $AB$ в точке $B$ и пересекающая окружность с центром $O_1$ в точке $M$. Докажите, что примая $AM$ делит отрезок $BC$ пополам.

5. Существуют ли на плоскости точки $A, B, C$ такие, что для любой точки $P$ этой плоскости длина хотя бы одного из отрезков $PA, PB, PC$ является irrationalным числом?

10 класс

1. См. задачу 1 для 9-го класса.

2. Дана функция $f(x), x \in ]-\infty; +\infty[$. Известно, что функция $d(x)=f(x)+\sin f(x)$ является периодической. Докажите, что функция $f(x)$ также является периодической.

3. Циферблат чисел (круг с числами 1, 2, 3, …, 11, 12) насжен в центре на ось, укрепленную на классной доске. Циферблат может поворачивать вокруг оси на любой угол, крат-

57

ный 30°. Вначале на доске напротив каждого числа циферблата написали нуль. Затем циферблат несколкко раз повернул, причем после каждого поворота к каждому из написанных на доске чисел прибавляли то число, которое оказалось напротив него на циферблате. Могут ли в итоге оказаться равными 1984:

a) все числа на доске;
b) все числа на доске, кроме одного;
c) все числа на доске, кроме двух?

4. На территории страны, имеющей форму квадрата со стороны 1000 км, находится 51 город. Страна расположает средствами для прокладки 11 000 км шоссеных дорог. Сможет ли она соединить сетью шоссеных дорог все свои города?

5. Внутри граней терраэдра ABCD взяты точки A’, B’, C’, D’ так, что точка A’ находится на грани BCD, точка B’ — на грани ACD, точка C’ — на грани ABD, точка D’ — на грани ABC, причем каждые две из точки A’, B’, C’, D’ лежат в одной плоскости с некоторыми двумя вершинами терраэдра. Доказите, что прямые AA’, BB’, CC’, DD’ пересекаются в одной точке.

Физика

Теоретический тур
8 класс

1. Массивный клин с углом при основании α движется по гладкой горизонтальной поверхности (рис. 1). Сверху на клин опирается тяжелый стержень массы m, удерживаемый в вертикальном положении гладким опорами, в которых он может совпать вертикальные перемещения без треня. Под действием стержня клин движется равномерно. Найдите коэффициент треня между клином и стержнем и сили, с которой стержень давит на клин, во время движения клина в горизонтальном направлении с постоянной скоростью. Тренем клина о горизонтальном поверхность и тренем стержня об опоры можно пренебречь.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

58

Какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы изохорно вернуть его в упомянутое первоначальное состояние?

3. ШестЬ одинаковых волтметров соединены между собой, как показано на рисунке 3, и подключены к источнику постоянного напряжения. Один из волтметров показывает при этом напряжение $U_x=10$ В. Каковы показания остальных волтметров?

4. Два маленьких шарика разных масс $m_1$ и $m_2$ подвешены на двух параллельных неверсомы и нераSTRAЖимых нитях так, что касаются друг друга и их центры располагаются на одной высоте. Первая шарик obtодят в плоскости нитей на неоктору высоту $h_1$ таким образом, что нить остается прямой, и отпускают без начальной скорости. Известно, что в результате столкновения шаров перный шар останавливается, а второй поднимается на высоту $h_2=0,25$ $h_1$. Найдите относительной потери механической энергии.

10 класс

1. На ленте транспортера, движущейся с постоянной скоростью $v_0$ вниз под углом $\alpha$ к горизонту, лежит кирпич, удерживаемый от движения вниз вместе с лентой при помощи привязанного к нему шнура, закрепленного наверху (рис. 4). Шнур перерезают. Какую работу совершит слара треня, действующая на кирпич, к тому моменту, когда кирпич прибретет скорость транспортера? Козффициент треня $\mu$, масса кирпича $m$.

2. Колечки $O$ и $O'$ надеты на вертикальные неподвижные стержни $AB$ и $A'B'$ соответственно (рис. 5). НераSTRAЖимая нить закреплена в точке $A'$ и на колечее $O$ и продается сквозь колечео $O'$. Считая, что колечео $O'$ движется вниз с постоянной скоростью $v$, определяте скорость колечка $O$ в тот момент, когда $AOO'=\alpha$.

3. В предварительно откачанный сосуд объема $V=10^{-3}$ м³ ввели небольшое количество воды и изменили давление при трех значениях температуры: при $t_1=+60^{\circ}C$ $p_1=1,92 \cdot 10^4$ Pa, при $t_2=+90^{\circ}C$ $p_2=4,20 \cdot 10^4$ Pa, при $t_3=+120^{\circ}C$ $p_3=4,55 \cdot 10^4$ Pa. Определите по этим данным массу введенной воды. Какими стали бы давления при этих температурах, если бы массу воды уменьшила на 20%?

4. Незаряженный конденсатор с емкостью $C$ подключит к последовательно соединенным кауше с индуктивностью $L$ и батарее с непряжением $U$. Как только ток через кауше упадет до нуля, конденсатор отключит и затем подключит вновь, помещая местами его выводы. Как только ток через кауше снова упадет до нуля, конденсатор вновь переключают и т. д. Какой максимальный заряд оказывается на конденсатор после того, как его подключит $n$ раз?

Активным сопротивлением цепи можно пренебречь.

Экспериментальный тур

8 класс

1. Определите плотность неизвестной жидкости.

Оборудование: сосуд с водой, сосуд с неизвестной жидкостью (раствором соли), две стеклянные трубки, две резиновые трубки, линейка, пластинин, стеклянный тройник, ножницы, насос Шинца.

Причемание. При определении плотности неизвестной жидкости контакта этой жидкости с водой допускать нельзя.

2. Определите коэффициент треня целлюлонада о дерево.

Оборудование: целлюлондный шарик для настоящого тенина с ответием (3—4 мм), линейка деревянная ученческаяская, сосуд с водой (200 мл), мелкий сухой песок.

9 класс

1. Определите удельную теплоту теплу плавления неизвестного кристалического вещества.

Оборудование: сосуд с горячевой водой, две одинаковые пробирки, неизвестное вещество, термометр, часы с секундной стрелкой.

Плотность вещества и воды, а также удельную теплоту теплоемкость воды считать известными: $\rho_{\text{вв}}=1,7 \cdot 10^3$ кг/м³, $\rho_{\text{вд}}=10^3$ кг/м³, $c_{\text{вв}}=4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К).

2. Исследуйте зависимость жесткости пружин, самостояльно изготовленной из медной проволоки, от длины получившейся пружины и ее диаметра.

Оборудование: медная проволока диаметром 1—2 мм, цилиндрическе стержни различных диаметров (например, 1, 2, 3 см), линейка, набор разновесов, шатин с двумя лапками, нить.

10 класс

1. Исследуйте зависимость перiodа малых колебаний линейки, положенной на тело цилиндрического формы, от длины линейки и диаметра цилиндра.

Оборудование: три цилиндра различных диаметров (например, 2, 4, 8 см), три линейки разной длины (например, 25, 50, 100 см), часы с секундной стрелкой.

2. Определите область, в которой можно одновременно видеть светящуюся лампочку, находящую на главной оптической оси собирающей линзы, и ее изобравнение (наблюдение ведется одним глазом).

Оборудование: электронческая лампочка на подставке, источник тока, собирающая линза, соединенные провода, линейка.