Передача электроэнергии на расстояние

53

Передача электрозергини на расстояние

Кандидат физико-математических наук
В. А. ДАНИЛИН

В настоящее время передача электросекой энергии от генератора к потребителю проискодит, в основном, по проводам с помощью переменного тока. При этом обязательно возникают потери энергии, прежде всего — на нагрев проводов. Снизить потери можно за счет уменьшения силы тока в линии электропередачи, то есть за счет повышения напряжения на выходе с генератора (чтобы передаваемая мощность осталась неизменной).

Для непосредственного использования электросекой энергии потребителем напряжение в конце линии, то есть на входе к потребителю, нужно понизить.

В случае переменного тока повышение и понижение напряжения осуществляется с помощью трансформаторов.

Как устроен генератор переменного тока? Каков принцип работы трансформатора? От чего зависит потери в линии электропередачи? Эти и аналогичные вопросы могут возникнуть у абитуриентов в связи с повторением темы «Производство, передача и использование электросекой энергии». Некоторые из них обсуждим на примере нескольких конкретиных задач. Почти все они в свое время предлагались наступельных экзаменах в Московский физико-технический институт.

Задача 1. Трансформатор, повышший напряжение с $U_1=100$ В до $U_2=3300$ В, имеет замкнутый сердечник в виде колца (рис. 1). Через колючо пропущен провод, концы которого присоединены к волтметру. Волтметр показывает напряжение $U=0,5$ В. Солько витков содержится в каждой обмотке трансформатора?

В замкнутом колцевом сердечнике, где практические сконцентрировано все магнитное поле, магнитный поток одинаков во всех его сечениях. В любом витке, надетом на сердечник, безразлично к какой обмотке он относится, мгновенное значение ЭДС индукиции одно и то же, поскольку, согласно закону электромагнитной индукции, оно определяется скоростью изменения магнитного потока в сердечнике: $e=-\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$.

Если обмотки трансформатора содержат $n_1$ и $n_2$ витков, то ЭДС индукиции, наведенные в этих обмотках, равны соответствующим $e_1=n_1e$ и $e_2=n_2e$.

Obviously активное сопротивление обмоток трансформатора мало, и его можно не учитывать. Аналогичное можно сказать и о проводе, к которой присоединен волтметр. Тогда в любой момент времени справедливый равенства $u=-e, u_1=-e_1, u_2=-e_2$.

Здесь $u$ — мгновенное значение напряжения на концах провода, $u_1$ — напряжение на первичной обмотке и $u_2$ — на разомкнутой вторичной обмотке трансформатора.

Поскольку все ЭДС происходит в один и тех же фазах, их отношение можно заменить относением соответствующих действующих значений, а значит, с учетом предыдующих равенств, — и относением действующих значений напряжения:

$$\frac{e_1}{e} = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon} = \frac{U_1}{U}, \frac{e_2}{e} = \frac{\varepsilon_2}{\varepsilon} = \frac{U_2}{U}.$$

Отсюда найдем количество витков в каждой обмотке:

$$n_1 = \frac{e_1}{e} = \frac{U_1}{U} = 200,$$

$$n_2 = \frac{e_2}{e} = \frac{U_2}{U} = 6600.$$

54

Задание 2. Электроэнергия от генератора передается потребителю по проводам. Сопротивление проводов $r$, сопротивление нагрузки $R$, напряжение на генераторе $U$. Определите КПД линии передачи, то есть отношение мощности, выделяемой нагрузке, к полной мощности, отдаваемой генератором. При каком сопротивлении нагрузки полезная мощность максимальная?

По закону Ома для полной цепи ток в линия

$$I = \frac{U}{r + R}.$$

Мощность генератора

$$P = UI = \frac{U^2}{r + R},$$

мощность, выделяемая нагрузке,

$$P_H = I^2 R = \frac{U^2 R}{(r + R)^2}.$$

Козффициент полезного действия

$$\eta = \frac{P_H}{P} = \frac{U^2 R(r + R)}{(r + R)^2 U^2} = \frac{R}{r + R}.$$

При уменьшении $R$ до нуля и при неограниченном возрастании $R$ величины $P_H$ падает до нуля. Значит, при некотором промежутном значении $R = R_M$ полезная мощность должна достигать своего максимального значения.

Исследуем функцию $P_H(R)$ на максимум. Для этого найдем и приравняем нулю производуную от $P_H(R)$ по $R$:

$$P'_H(R) = U^2 \frac{(r - R)}{(r + R)^3} = 0.$$

Отсюда получим, что мощность, выделяющая нагрузке, максимальная, если $R = r$. При этом $P_{H\max} = U^2/(4r)$. КПД линии в этом случае $\eta = 1/2$ — половина мощности генератора тратиется бесполезно.

Задание 3. Линяя электропередачи может работать при двух различных напряжениях генератора $U_1$ и $U_2$ и соответствующих сопротивлениях нагрузки $R_1$ и $R_2$. Отношение потреб мощности на подводящих проводах для этих слияев равно $\alpha$. Определите отношение $U_2/U_1$ при условии, что мощность генератора в обих слияях одинакова.

Пусть сопротивление подводящих проводов равно $r$ — эта величина не изменяется. Полная мощность, отдаваемая генератором,

$$P = UI = \frac{U^2}{r + R},$$

где $I$ — ток в цепи. Мощность тепловых потерь

$$P_n = I^2 r = \frac{U^2}{(R + r)^2} r.$$

Отношение потреб мощности при различных значениях $U$ и $R$ равно

$$\frac{U_1^2}{(R_1 + r)^2} r : \frac{U_2^2}{(R_2 + r)^2} r = \alpha.$$

По условиям задачи в обих слияях генератор отдает одну и ту же мощность:

$$\frac{U_1^2}{R_1 + r} = \frac{U_2^2}{R_2 + r}.$$

Из двух последних соответствий следует

$$\frac{U_1^2(R_2 + r)^2}{U_2^2(R_1 + r)^2} = \alpha, \frac{U_1^2}{U_2^2} = \frac{R_1 + r}{R_2 + r}.$$

Откуда

$$\frac{U_2}{U_1} = \sqrt{\alpha}.$$

На примере этой задачи видно, как велико влияние напряжения, под которым происходит передача энергии, на величины тепловых потерь в линия электропередачи. Достаточно повисить напряжение в $\alpha$ раз, как потери уменшатся в $\alpha^2$ раз.

---

Важно уметь оценивать токи и напряжения, возникшие в линиях электропередачи при переходных процесах. Таких, например, как отключение или быстрое изменение нагрузки. Если учесть, что напряжения, под которых работает современные линии, порядка $10^6$ В, то возможно увеличения напряжения, так называемые перепряжения, могут привести к электрическому пробюю в линия. Однако из схем, или построирующей перехождение процессов, представлена в следующей задаче.

Задание 4. Обмотка трансформатора, имеющая индуктивность $L = 0,1$ Ги, и паралельно подключенный к ней конденсатор emкостью $C = 0,1$ мкФ через ключи $K$ подсоединены к источнику с ЭДС $\delta$ и внутренним сопротивлением.

55

$r=100$ Ом (рис. 2). После установления стационарного режима ключи размыкают. Найдите амплитуду напряжения, возникающей на концах обмотки, по отношению к ЭДС источника.

При установившемся режиме через обмотку трансформатора течение постоянный ток

$$I = \frac{\varepsilon}{r},$$

напряжение на обмотке, а значит, и на конденсаторе равно нулю.

При размыкании ключа $K$ возникает изменение магнитного потока, которое создает на концах обмотки напряжение. Его амплитуду можно найти, рассмотрев колебания в контуре, составленном из катушки индуктивности $L$ и конденсатора emкости $C$. Энергия, запасенная в катушке во время протекания постоянного тока, через четверть периода колебаний перейдет в энергию заряженного конденсатора:

$$\frac{LI^2}{2} = \frac{CU_m^2}{2}.$$

Отсюда амплитуда напряжения на конденсаторе, а следовательно и на концах обмотки трансформатора, равна

$$U_m = \sqrt{\frac{L}{Cr}} \varepsilon = 100 \varepsilon.$$

Как видно, перенапряжение веса велико. На практике оно возникает всегда, когда проискодит отключение тока, идущего через катушки, при малых значениях емкости подключенного к ней конденсатора.

Упражнения

1. Вторичная обмотка трансформатора, имеющая $n=100$ витков, произвляется магнитным потоком, изменяющимся со временем по закону $\Phi=0,01$ cos $314t$ (в единицах СИ). Напишите формулу, выражающего зависимость ЭДС индикции во вторичной обмотке от времени, и найдите действующое значение этой ЭДС.

2. При передаче электрозергини на большое расстояние используется повышающий трансформатор, загруженный до номинальной мощности $P=1000$ кВт. При этом разность показаний счетчиков электрозергини, установленных на выходе с трансформаторной подстановки и в приемном пунктке, увеличивается ежегодно на $\Delta W_n=215$ кВт·ч. Во сколько раз необходимо повышить выходное напряжение, чтобы при передаче электрозергини потери не превышали 0,1 %?

3. Определите массу меди, нужную для устройства двухпроводной линии длиной $l=5$ км. Напряжение на шинах станции $U=2400$ В, передаваемая потребителем мощность $P=60$ кВт, допустимая потребление в проводке $U_n=0,08U$. Плотность меди $D=8,9 \cdot 10^3$ кг/м$^3$, удельное сопротивление $\varphi=0,017 \cdot 10^{-6}$ Ом·м.

Избранные школьные задачи

(Начало см. на с. 33)

соединяющегося серебины оснований, равна длине отрезка, соединяющего серебины ее диагоналей.

8 (8—10). В треугольнике $ABC$ величины угла при вершине $C$ равна $120^\circ$. Доказите, что из отрезков длиной $a+b,b,c$ можно составить треугольник. Здесть $a=|BC|$, $b=|AC|$, $c=|AB|$.

9 (10). При числа являются последовательными членами неокоторой геометрической прогрессии. Если ко второму числу прибавить 2, то они будут образовывать арифметическое прогрессio. Если после этого к третьему числу прибавить 2, то они будут образовывать арифметическое прогрессio. Если после этого к третьему числу прибавить 16, то они снова будут образовывать геометрическую прогрессio. Найдите эти числа.

10 (8—10). Перimetр неокоторого 1982-угодника меньше 2000. Доказите, что среди треугольников с вершинами в соседних вершинах этого 1982-угодника найдет треугольник, площадь которого меньше 1.

Десять класс

11 (10). Решите уравнение $\sin^4 x+\cos^4 x=0,5$.

12 (10). На координатной плоскости наисссую точки парабoles, близкой к точке $M(0; a)$.

13 (10). Найдите многочлен (не обязательно второй степени) с целыми коэффициентами, для которого число $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ является корнем.

14 (9—10). Доказите, что для любого действительного $x$ выполняется неравенство $\cos(\sin x)>\sin(\cos x)$.

15 (8—10). В треугольнике $ABC$ внесстрисы $BP$ и $CT$ пересекаются в точке $O$. Известно, что точки $A, P, O$ и $T$ лежат на одной окружности. Найдите величины угла $A$.

Публикацию подготовил Е. И. Хухро