Задачи М886—М890; Ф898—Ф902

40

Задачи

М886—М890, Ф898—Ф902

М886. Можно ли в 4n—4 клеток, расположенных по перimetру квадрата n×n клеток, расставить 4n—4 последовательных целых чисел (не обязательно положительных) так, чтобы суммы чисел в вершинах каждого прямогольника, стороны которого параллельны диагоналям квадрата, а также суммы чисел в концах каждой diagonали равнялись одному и тому же числу s? Решите задачу для n, равного: a) 3, 6) 4, в) 5, г) 1985. Если можно, най-дите допустимые значения s.

В. Г. Болтянский

М887. Две касательные к окружности, CA и CB, пересекаются в точке C (A и B — точки касания, рис. 1). Вторая окружность проходит через точку C, касается прямой AB в точке B и пересекает первую окружность в точке M. Доказите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.

И. Ф. Шарыzin

М888. Науральные числа a, b, c и d удовлетворяют равенству ab=cd. Доказите, что число a^{1984}+b^{1984}+c^{1984}+d^{1984} составляет.

А. В. Анджанс

М889. Существуют ли на плоскости такие три точки A, B, C, что для любой точки плоскости P хотя бы один из отрезков PA, PB и PC имеет irrationalную длину?

А. М. Слинько

М890. На территории страны, имеющей форму квадрата со стороны 1000 км, находится 51 город. Страна расположает средствами для прокладки 11 000 км шоссеных дорог. Сможет ли она соединить сетью шоссеных дорог все свои города?

Л. Д. Курляндчик

Ф898. Оdnородная палочка длины l связана неевесомой нитью длины l с неподвижной точкой A (рис. 2). Нижний конец палочки может скольить без трения по горизонтальному столу. Расстояние от точки A до стола равно H(l<H<2l). Палочка начинает двигаться без начальной скорости из положения, изобразеного на рисунке. Найти максимальную скорость центра палочки при последующем движении.

С. С. Кротов

Ф899. На две большого закрытого сосуда, заполненного водой, лежит перевернутая чашка массы m. Чашка имеет форму цилиндра радиуса R и высоты R

41

с полусферической полостью, радиус которого также равен $R$ (рис. 3). Полость заполнения груты. Воду из сосуда начинают медленно открывать.

1. Определите, при какой высоте $h$ столбца воды в сосуде чашка оторвется от его дна и ptrут начнет вытекать из-под ее краев.
2. Найти высоту ptrут в полости, когда из сосуда откачают всю воду.
   Давлением паров воды пренебречь. Плотность воды $q$ и плотность ptrут $q_1$ считать известными. Примечание: объем шарового сегмента высоты $H$ и радиуса $R$ (рис. 4) равен $\pi H^2 \left( R - \frac{H}{3} \right)$.

М. Г. Абрамян

Ф900. Часть графика, изображающего процесс, происходивший с идеальным одноатомным газом, утерияна (рис. 5). Масштабы по обеим осям известны (они указаны на рисунке 5). В течение всего процесса перехода из состояния 1 в состояние 2 газ отделл столбко же телла, сколько получил. Найти работу, совершенную газом в этом процессе. Универсальная газовая постоянная $R=8,3$ Дж/(моль·К).

В. Т. Карапетян

Ф901. Три одинаковых конденсатора, каждый emкость $C$, соединили последовательно и подключили к батарее с ЭДС $\mathcal{E}$. После того, как они полностью зарядились, их отключили от батареи. Затем к ним одновременно подключили два резистора с сопротивлением $R$ каждый так, как показано на рисунке 6. Какое количество теплы выделится на каждом из резисторов? Чему равны точки через резисторы в момент времени, когда направление на среднем конденсаторе в 10 раз меньше ЭДС батареи?

А. Р. Зильберман

Ф902. Два плоских слоя толщины $d$ каждый равномерно заряжены по объему с плотностями зарядов — $q$ и + $q$. Частца с отрицательным зарядом — $e$ и массой $m$ подлегает к положительной заряженному слюю со скоростью $v$, направленной под углом $\alpha$ к поверхности слоя (рис. 7).

1. При каком значении скорости частица не сможет проникнуть в отрицательно заряженный слой?
2. Через сколько времени и на каком расстоянии от точки $A$ частица в этом случае покинет положительное заряжение слой?

А. И. Буздин

Рис. 5.
Рис. 6.
Рис. 7.

44

Рис. 1. Рис. 2.

рону). Докажите, что после нескольких повторений этой операции во всех клетках будет стоять единицы.

Рис. 1. Рис. 2.

что $a_i^2 = 1$. Эти таблицы показаны на рисунке 2, где для краткости в клетках таблиц приводятся только индексы компонентей, например, произведение $a_1a_3a_5$ обозначает 1, 3, 5. Звездочка * означает число 1. Как видим, всегда после чего операция во всех клетках будет стоять единицы.

И. К. Жук, И. В. Вороновищ

M872. На плоскости расположены три окружности $C_1, C_2, C_3$ радиусов $r_1, r_2, r_3$ — каждая вне двух других, причем $r_1 > r_2$ и $r_1 > r_3$. Из точки пересечения внешних касательных к окружности $C_1$ и $C_2$ проведены касательные к окружности $C_3$, а из точки пересечения внешних касательных к $C_1$ и $C_3$ — касательные к $C_2$. Докажите, что последние две пары касательных образуют четырехугольник, в котором можно вписать окружность, и найдите ее радиус.

Ответ: $r = r_1r_2r_3 / (r_1r_3 + r_1r_2 - r_2r_3)$.

Обозначим центры данных окружностей через $O_1, O_2, O_3$, точки пересечения касательных — $A$ и $B$ (рис. 1).

Решение задачи основано на следующем очевидном, но часто использовом сообщения: точка пересечения внешних касательных к двум окружностям служебит центромомометрии этих окружностей (то же верно и для точки пересечения внутренних касательных). Из него сразу вытекает, что четверя окружность должна быть готовית $C_2$ с центром $A$ и $C_3$ с центром $B$, поэтому ее центр $O$ должен лежать на пересечении отрезков $AO_2$ и $BO_3$. Тепер надо

Рис. 1.

доказать существование такого числа $r$, что окружность $C$ с центром $O$ радиуса $r$ будет готовится $C_2$ с центром $A$ (то есть $r : r_2 = |AO| : |AO_2|$) и, одновременно, готовится $C_3$ с центром $B$ (то есть $r : r_3 = |BO| : |BO_3|$), и найти это число.

Вычислим отношение $|AO| : |AO_2|$. Для этого проведем отрезок $O_2D$, параллельный $BO_3$ (рис. 2), тогда, пользоваться готовностью треугольников $AOO_3$ и $AO_2D, O_1BO_3$ и $O_1O_2D$, получим

$$\frac{|AO_2|}{|AO|} = \frac{|AD|}{|AO_3|} = 1 + \frac{|O_2D|}{|AO_3|} = 1 + \frac{|O_3D|}{|O_3O_1|} \cdot \frac{|O_3O_1|}{|AO_3|} =$$

$$= 1 + \frac{|BO_2|}{|BO_1|} \cdot \left( \frac{|AO_1|}{|AO_3|} - 1 \right).$$

45

No $|BO_2|:|BO_1|=r_2:r_1$ (окружности $C_2$ и $C_1$ готовичны с центром $B$ и коэффициентом $r_2:r_1$), и, аналогично, $|AO_1|:|AO_3|=r_1:r_3$, таким образом,

$$\frac{|AO_2|}{|AO|} = 1 + \frac{r_2}{r_1} \left( \frac{r_1}{r_3} - 1 \right) = \frac{r_1r_3 + r_1r_2 - r_2r_3}{r_1r_3}.$$

Из равенства $r:r_2=|AO|:|AO_2|$ теперь находится,

$$r = \frac{r_1r_2r_3}{r_1r_3+r_1r_2-r_2r_3}.$$

Ту же самое величину мы получим и при втором способе нахождения $r$ — из соответствия $r:r_3=|BO|:|BO_3|$ — потому что все изменения сведутся к замене $r_2$ на $r_3$ и обратно, а также замена не влияет на значение правой части (1). Тем самым утверждение задачи доказано.

Отметим, что доказать существование окружности, вписанной в четырехугольник, образованный касательными, то есть равенство

$$r_2 \cdot \frac{|AO|}{|AO_2|} = r_3 \cdot \frac{|BO|}{|BO_3|},$$

можно короче, причем разными путями. Приведем, например, доказательство «методом площадей». Перепишем (2) в виде

$$\frac{r_2}{r_1} \cdot \frac{|AO|}{|AO_2|} = \frac{r_3}{r_1} \cdot \frac{|BO|}{|BO_2|}.$$

Поскольку $r_2:r_1=|BO_2|:|BO_1|=S_{ABO_2}:S_{ABO_1}, |AO|:|AO_2|=S_{ABO}:S_{ABO_2}, r_3:r_1=S_{ABO_3}:S_{ABO_1}$ и $|BO|:|BO_2|=S_{ABO}:S_{ABO_2}$ (где $S_{ABO}, S_{ABO_1}$ и т. д. — площади соответствующих треугольников), обе части равенства (3) равны $S_{ABO}:S_{ABO_1}$.

Задча легко решается также с помощью понятия центра масс, о котором подробно расссказываюсь в статье В. Г. Болтянского и М. Б. Балка в «Кванте» № 4 за этот год. Предлагаем читательам самостояльно найти это решение.

Л. П. Купцов,
В. Н. Дубровский

M873. Учитель написал на доске квадратный треугольен $x^2+10x+20$. Затем каждый ученик по очереди уведомил или уменьшил на единицу по своему выбору один из младших коэффициентов (козффициент при $x$ или свободный член), но не обращу в результат получился треугольен $x^2+20x+10$. Верно ли, что в некоторых моментах на доске был написан квадратный треугольен с целыми корнями?

M874. При каких целых $m$ и $n$ выполняется равенство a) $(5+3\sqrt{2})^m=(3+5\sqrt{2})^n$? b) $(a+b\sqrt{d})^m=(b+a\sqrt{d})^n$, еде a. u b (a≠b) — взаимно простые натуральные числа, а $d>1$ — натуральное число, среди делителей которого нет квадратов простых чисел?*

Obtет: верно.

Заметим, что при каждом изменении треугольена его значение в точке $x=-1$ изменяется на 1 (в ту или другую сторону). Значение первого треугольена $f(x)=x^2+10x+20$ в этой точке равно $f(-1)=11$, а последнего, $g(x)=x^2+20x+10$, — $g(-1)=-9$. Поэтому в каждой-то промежуточный момент на доске был написан треугольен $h(x)=x^2+px+q$, для которого $h(-1)=0$. Оба его корня — целые (один равен — 1, другой, по теореме Виета, равен — $q$).

A. A. Берзиньи

Obtет: только для $m=n=0$.

Мы должны доказать, что исходное равенство $(a+b\sqrt{d})^m=(b+a\sqrt{d})^n$

не может выполнять при положительных целых $m$ и $n$. (В круглых скобках стоит числа, больше 1, поэтому $m$ и $n$ — одного знака; если $m$ и $n$ отрицательны, то, перейдя к обратным числам, мы получим равенство, аналогичное (1) с показателями $|m|$ и $|n|$. Заметим, что в условиях задачи $\sqrt{d}$ (в частиности, $\sqrt{2}$) — irrationalное. Раскроем в данном равенстве скобки и представим его в виде $x+y\sqrt{d}=z+t\sqrt{d},$ (2)

где $x, y, z, t$ — натуральные числа. Равенство (2) может выполнять только, если $x=z$ и $y=t$ (иначе

46

$\sqrt{d}$ — рациональное число), поэтому вместе с данными равенством (1) должно выполнять и равенство для «сопряженных» чисел (полученных подстановкой $-\sqrt{d}$ вместе $\sqrt{d}$):

$$(a-b\sqrt{d})^m = (b-a\sqrt{d})^n,$$

(3)

эквивалентное равенство $x-y\sqrt{d}=z-t\sqrt{d}$.

Это сообщение сразу дает решение задачи a): поскольку $|5-3\sqrt{2}|<1$, а $|3-5\sqrt{2}|>1$, равенство $(5-3\sqrt{2})^m=(3-5\sqrt{2})^n$

не может выполнять при $m>1$, $n>1$: следва стоит число, по модулю меньше 1, а справа – больше 1.

Приведем теперь два решения задачи 6).

Первое основано на сообщениях делимости. Заметим сначала, что в равенстве (1) показатели $m$ и $n$ можно считать взаимно простыми (если они имеют наиболее общий делитель $q>1$, то, извлекая корень степени $q$, мы получим аналогичное равенство со взаимно простыми $m$ и $n$). Значит, одно из этих чисел, скажем, $n$ — нечетно. Тогда после раскрытия скобок в (1) все члены, не содержащие $\sqrt{d}$, кроме $a^m$, будут иметь множитель $b$. Приравнивая их суммы в левой и правой части $(x=z)$, получим, что $a^m$ делится на $b$. А поскольку $a$ и $b$ взаимно просты, это возможно лишь при $b=1$. Подставляя в (3) $b=1$ и учитывая, что $1-a\sqrt{d}<0$, видим, что обе части (3) отрицательны, следовательно, число $m$ также нечетно. Отсюда точно так же выводится, что $b^n=1$ делится на $a$, так что и $a=1$, в противоречии с условиям $a\neq b$.

Второе решение 6) близке к решению задачи a) — в нем использовются лишь переход к сопряженным числам (3) и оценки и не использовется условие взаимной простоты натуральных чисел $a$ и $b$.

Пусть $a>b$, тогда $1<a+b\sqrt{d}<b+a\sqrt{d}$ и поэтому из (1) следует (при $m>1$, $n>1$), что $m>n$. С другой стороны, должно выполнять равенство

$$\left(\frac{a-b\sqrt{d}}{a+b\sqrt{d}}\right)^m = \left(\frac{b-a\sqrt{d}}{b+a\sqrt{d}}\right)^n.$$

(4)

Сравним величины

$$\mu = \left| \frac{a-b\sqrt{d}}{a+b\sqrt{d}} \right| \text{ и } v = \left| \frac{a\sqrt{d}-b}{b+a\sqrt{d}} \right|$$

(5)

(во второй знак модуля можно и не писать, поскольку $a\sqrt{d}>b$). Заметим, что если $p>q>0$, то величины

$$\frac{p-q}{p+q} = \frac{1-q/p}{1+q/p} = \frac{2}{1+q/p} -1$$

tem больше (ближе к 1), чем меньше отношение $\dot{q}/p$. Поскольку, очень часто $p>q>0$, то величины

$$\frac{b}{a\sqrt{d}} < \frac{b}{a} < \frac{b\sqrt{d}}{a} \text{ и } \frac{b}{a\sqrt{d}} < \frac{a}{b\sqrt{d}},$$

в любом из двух случаях $a>b\sqrt{d}$ и $a<b\sqrt{d}$ будет $\mu<v$ и тем более $\mu^m<v^n$, либо $0<\mu<v<1$, а $m>n$. Это противоречит равенству $\mu^m=\nu^n$, вытекающему из (4).

Ю. В. Михеев, Н. Б. Васильев

◆ Обозначим через $a_1, \dots, a_n$ данные числа, а через

$$S_n = \frac{a_n+a_2}{a_1} + \frac{a_1+a_3}{a_2} + \dots + \frac{a_{n-1}+a_1}{a_n}$$

— рассматривается в задание сумму.

a) Поскольку для любых положительных $x$ и $y$ справедливо herabенство $x/y+y/x\geq 2$, сумму $S_n$

47

можно оценить так:

$$S_n = \left( \frac{a_2}{a_1} + \frac{a_1}{a_2} \right) + \left( \frac{a_3}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} \right) + \ldots + \left( \frac{a_1}{a_n} + \frac{a_n}{a_1} \right) \geqslant 2 + 2 + \ldots + 2 = 2n$$

(это неравенство справедливо для любых положительных чисел $a_1, \ldots, a_n$).

6. Нераевенство $S_n \leqslant 3n$ доказет индукцией по $n$.

При $n=3$ рассмотрим два случая: 1) все числа равны, 2) среди чисел $a_1, a_2, a_3$ есть различные. В первом случае все слагаемые в (*) равны 2 и $S_3=6<3\cdot 3$. Во втором случае все наиболее из чисел $a_1, a_2, a_3$ (пустым будет $a_1$) строго больше получимы двух других ($a_1>(a_2+a_3)/2$). Тогда число $(a_2+a_3)/a_1$ меньше 2, а так как это число — натуральное, $a_1=a_2+a_3$. Следовательно,

$$S_3 = \frac{a_2+a_3}{a_1} + \frac{a_3+a_1}{a_2} + \frac{a_1+a_2}{a_3} = 3 + \frac{2a_3}{a_2} + \frac{2a_2}{a_3},$$

причем числа $k=2a_3/a_2=(a_1+a_3)/a_2-1$ и $l=2a_2/a_3$ — натуральные. Учитывая, что $kl=4$, получаем такие варианты: $k=1, l=4$ — тогда $a_2=2a_3$ и $S_3=8<9$, или $k=2, l=2$ — тогда $a_3=a_2, S_3=7<9$ или $k=4, l=1$ и снова $S_3=8<9$.

Предположим теперь, что нашей неравенство справедливо для $n-1$ чисел и доказем, что $S_n<3n$. Если все числа $a_i$ равны, то $S_n=2n<3n$. В противном случае возможно наиболее из чисел $a_1, \ldots, a_n$ (если имеется несколько наиболее из чисел, выберем то из них, которое строго больше хотя бы одного из своих соседей). Пусть это будет число $a_n$, тогда $a_n>(a_{n-1}+a_1)/2$. Как и выше, отсутствует, что $a_n=a_{n-1}+a_1$, то есть

$$\frac{a_{n-2}+a_n}{a_{n-1}} = 1 + \frac{a_{n-2}+a_1}{a_{n-1}}, \frac{a_n+a_2}{a_1} = 1 + \frac{a_{n-1}+a_2}{a_1},$$

причем $(a_{n-2}+a_1)/a_{n-1}$ и $(a_{n-1}+a_2)/a_1$ — натуральные числа. Таким образом, набор $a_1, \ldots, a_{n-1}$ удовлетворяет условиям задачи и для него рассматривается сумма $S_{n-1}<3(n-1)$. Следовательно, $S_n=S_{n-1}+3<3n$.

Из сказанного видно, что при добавлении к набору $a_1, \ldots, a_n$ числа $a_{n+1}=a_1+a_n$ (междуа $a_1$ и $a_n$) сумма $S_n$ увеличивается на 3. Отсюда по индукции легко выводится, что сумма $S_n$ может принимать любое целое значение $S$ из промежутка $2n \leqslant S < 3n$.

О. Р. Мусин

Ф883. При разрыве неподвижного земного снаряда он разлетается на очень большое число осколов, летящих равномерно во все стороны со скоростью $v_0$. Такой снаряд, летящий низ со скоростью $u$, разрывается на высоте $H$ над землей. Когда осколи будут nadать на землю наиболее часто?

После разрыва снаряда можно разлетаются во все стороны осколов образуют расширяющийся равномерно со скоростью $v_0$ сферу, центр которого движется вниз сускорением $g$ и с начальной скоростью $u$. Таким образом, ко времени $t$ от момента разрыва центра сферы сместится от точки $A$, лежащей на высоте $H$ над землей (в этой точке произойдет разрыв) на расстояние $AO=ut+gt^2/2$ (см. рис. 3). А радиус сферы будет равен $R_i=v_0t$. Пусть к этому времени центр сферы находится над землей на высоте $(R_i-h_i)<R$. Значит, те осколи, которые должны

48

Были бы лежать на поверхности сферического сегмента с высотой $h_t$ (см. рис.1) уплотна на землю. Найдем массу $m(t)$ этих осколов.

Пусть $m_0$ — масса всех осколов (масса снаряда); тогда

$$m(t) = m_0 \frac{S(h_t)}{S(R_t)} = m_0 \frac{2\pi R_t h_t}{4\pi R_t^2} = m_0 \frac{h_t}{R_t},$$

где $S(h_t)$ — площадь сфериского сегмента с высотой $h_t$, $S(R_t)$ — площадь всей сферы к моменту времени $t$. Подставляя $R_t = v_0 t$ и $h_t = ut + gt^2/2 + v_0 t - H$ (см. рис.1), получаем

$$m(t) = m_0 \left( \frac{u + v_0}{2v_0} + \frac{gt}{4v_0} - \frac{H}{2v_0 t} \right).$$

Полученная формула верна для промежутка времени $t_1 \leq t \leq t_2$, где $t_1$ — время, прошедшее после взрыва до начала падения осколов на землю, $t_2$ — время, прошедшее до падения на землю после него оскола. Найдем значения $t_1$ и $t_2$.

Первым упадет на землю осколов, скорость которого в точке $A$ равна $|\vec{u} + \vec{v}_0| = u + v_0$; следовательно,

$$(u + v_0) t_1 + \frac{gt_1^2}{2} = H,$$

откуда

$$t_1 = \frac{\sqrt{2gH + (u + v_0)^2} - (u + v_0)}{g}.$$

Время $t_2$ находится из условия

$$(u - v_0) t_2 + \frac{gt_2^2}{2} = H,$$

откуда

$$t_2 = \frac{\sqrt{2gH + (u - v_0)^2} - (u - v_0)}{g}.$$

Вернемся к формуле (1). Понятие, что частота падения осколов на землю в данный момент времени — это значение произвольной $m'(t)$:

$$m'(t) = \frac{m_0 g}{4v_0} + \frac{m_0 H}{2v_0 t^2}.$$

Очевидно, что значение $m'(t)$ тем больше, чем меньше $t$. Следовательно, с наиболее частотой осколики будут падать на землю через время $t_1$ (см. (2)) после разрыва снаряда.

И. И. Солодовников

Ф884. Задача Н. Е. Жуковского. Жук полет по местной (непроцедающее) соломинке, опирающейся на гладкий пол и гладкую вертикальную стенку (рис. 1). Соломинка однородная, длина ее l, масса m; масса жука M (M>m). Соломинка образует угол a с горизонтом. Начальная скорость жука в точке B была равна v_0. Как должен движется жук, чтобы соломинка оставалась

Пусть в некоторый момент времени ускорение, с которой жук полет вниз вдоль соломинки, равно а. На жука действуют силы тягости $Mg$ и сила $\vec{f}$ реакции со стороны соломинки. Найдем, как направлена сила $\vec{f}$.

Запишем уравнение движения жука:

$$Mg + \vec{f} = M\vec{a},$$

или, в проекциях на оси X и Y (см. рис.1):

$$Ma = Mg \sin \alpha + f_x, \quad f_y - Mg \cos \alpha = 0.$$

49

нетодвижной? Как зависит ускорение жука от пройденного им вдоль соломинки расстояния? За какое время жук должен до нижней точки? Сможет ли жук поднять по соломинке из точки A в точку B?

Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.

Отсюда $f_x = M(a - g \sin \alpha)$, $f_y = Mg \cos \alpha$, и (см. рис. 1)

$$\text{tg} \beta = \frac{f_y}{f_x} = \frac{g \cos \alpha}{a - g \sin \alpha}.$$

Тепер рассмотрим силы, действующие на соломинку (рис. 2). Это сила тяжестеги $mg$, сила $\vec{N}_1$ реакции со стороны гладкой стенки, сила $\vec{N}_2$ реакции со стороны гладкого пола и сила $\vec{f}_1$, с которой жук действует на соломинку; согласно III закону Ньютона, $\vec{f}_1 = -\vec{f}$. Чтобы соломинка оставалась неподвижной, должны выполнять два условия: геометрическая сумма действующих на нее сил должны быть равна нулю и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки должны быть равна нулю. Запишем первое условие (см. рис. 2):

в проекциях на ось X —
$$N_2 \sin \alpha + f_{1x} - N_1 \cos \alpha - mg \sin \alpha = 0,$$
или
$$N_2 \sin \alpha + M(a - g \sin \alpha) - N_1 \cos \alpha - mg \sin \alpha = 0;$$
(1)

в проекциях на ось Y —

50

$$N_2 \cos \alpha + N_1 \sin \alpha - mg \cos \alpha - f_{1y} = 0,$$
или
$$N_2 \cos \alpha + N_1 \sin \alpha - mg \cos \alpha - Mg \cos \alpha = 0. \quad (2)$$
Из уравнения (1) и (2) найдем $N_1$ и $N_2$:
$$N_1 = Ma \cos \alpha, \quad N_2 = (M+m)g - Ma \sin \alpha.$$
Запишем второе условие, рассматривая моменты сил относительно точки $B$ (рис. 3):

$$N_2 l \cos \alpha - mg \frac{l}{2} \cos \alpha - f_{1x} \sin \beta = 0,$$
где $x$ — координата жука к данному моменту. Учитывая, что $f_1 \sin \beta = f_{1y} = Mg \cos \alpha$, и подставляя найденные значения $N_1$ и $N_2$, получаем

$$Mgl - Mal \sin \alpha + mg \frac{l}{2} - Mgx = 0.$$

Перепишем это уравнение в таком виде:

$$x - l \frac{2M+m}{2M} = -a \frac{l \sin \alpha}{g} \quad (3)$$

и введем обозначения $x - l \frac{2M+m}{2M} = z$, $\frac{g}{l \sin \alpha} = \omega^2$. Учитывая, что $a = x'' = \left( z + l \frac{2M+m}{2M} \right)'' = z''$, уравнение (3) можно записать так:

$$z'' = -\omega^2 z.$$

Полученное нами уравнение — уравнение гармоничческих колебаний. В обшем случае решение такого уравнения записьется в виде

$$z(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t, \quad (4)$$

а построенные $A$ и $B$ находятся из начальных условий. В нашем случае начальные условия (при $t=0$) таковы:

$$x(t_0) = z(t_0) + l \frac{2M+m}{2M} = 0 \Rightarrow z(t_0) = -l \frac{2M+m}{2M},$$

$$x'(t_0) = v_0 \Rightarrow z'(t_0) = v_0.$$

Подставляя в уравнение (4) $t=0$ и $z(t_0)$, получаем

$$B = -l \frac{2M+m}{2M}.$$

Продиферегировав уравнение (4) и подставив $t=0$ и $z'(t_0)$, получим:

$$A = \frac{v_0}{\omega}.$$

Таким образом,

$$z(t) = \frac{v_0}{\omega} \sin \omega t - l \frac{2M+m}{2M} \cos \omega t,$$

и, следовательно,

$$x(t) = \frac{v_0}{\omega} \sin \omega t + l \frac{2M+m}{2M} (1 - \cos \omega t). \quad (5)$$

Итак, закон движения жука при условии, что соломинка неподвижна, дает формула (5). Ускорение,

52

Поскольку нас интересует линейное расширение стержня, можно считать, что

$$\frac{1}{1+\alpha t_i} = \frac{1-\alpha t_i}{1-\alpha^2 t_i^2} \approx 1-\alpha t_i.$$

Тогда

$$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+\alpha t_i} \approx \sum_{i=1}^{n} (1-\alpha t_i) = n-\alpha \sum_{i=1}^{n} \left( t_1 + \frac{t_2-t_1}{n} i \right) =$$

$$= n-\alpha \left( nt_1 + \frac{t_2-t_1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} \right) \approx n \left( 1-\alpha \frac{t_1+t_2}{2} \right)$$

(мы учли, что $n \gg 1$). Таким образом,

$$l_0 = \frac{l}{n} n \left( 1-\alpha \frac{t_1+t_2}{2} \right),$$

откуда

$$l = \frac{l_0}{1-\alpha \frac{t_1+t_2}{2}} \approx l_0 \left( 1+\alpha \frac{t_1+t_2}{2} \right).$$

Л. Г. Маркович

Ф886. По двум паралельным металлическим направляющим, наклоненным под углом $\alpha$ к горизонту и расположенным на расстоянии $b$ друг от друга, может скольнуть без трения металлической перемычка массы $m$. Нарравляющие замкнуты сизу на независенный конденсатор emkoctи $C$, и все конструкция находится в магнитном поле, индукция которого $B$ направлена вертикально (см. рисунок). В начальной момент перемычку удерживают на расстоянии $l$ от основания «торки». За какое время перемычка достинет основания «торки» после того, как ее отпустят? Какую скорость она будет иметь у основания? Сопротивлением проводников претенбрь.

При движении перемычки меняется магнитный поток, произвывающий контур, «замыкаемый» перемычкой. В результате в контуре возникнет ЭДС индукции.

В течение малого промежутка времени $\Delta t$, когда мгновенный скорость $v$ перемычки можно считать неизменной, мгновенное значение ЭДС индукции равно

$$\delta_i = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = vbB \cos \alpha.$$

Так, текущий через перемычку в это время, равен $i = \Delta q/\Delta t$, где $\Delta q$ — заряд, накопившийся на конденсатор за время $\Delta t$, то есть

$$\Delta q = C \cdot \Delta \delta_i = CbB(\cos \alpha) \cdot \Delta v$$

(поскольку сопротивление подводяших проводов отсутствует, мгновенное значение напряжения на конденсатор равно $\delta_i$). Итак,

$$i = CbB \cos \alpha \cdot \frac{\Delta v}{\Delta t} = CbBa \cos \alpha,$$

где $\alpha$ —ускорение, с которой движется перемычка.

На перемычку действуют сила тяжестии и сила Ампера. Запишем уравнение движения перемычки:

$$ma = mg \sin \alpha - ibB \cos \alpha = mg \sin \alpha - Cb^2B^2a \cos^2 \alpha.$$

Отсюда найдем $\alpha$:

$$a = \frac{mg \sin \alpha}{m + Cb^2B^2 \cos^2 \alpha}.$$

Время, за которой перемычка спустится к основанию горки, определям из условия $l = \frac{at^2}{2}$:

$$t = \sqrt{\frac{2l}{a}} = \sqrt{\frac{2l}{mg \sin \alpha}} \left( m + Cb^2B^2 \cos^2 \alpha \right).$$

Скорость перемычки у основания —

$$v_i = at = \sqrt{\frac{2lmg \sin \alpha}{m + Cb^2B^2 \cos^2 \alpha}}.$$

А. И. Буздин