Избранные школьные задачи

Квант 1984, №10 с. 33 Тег SK4C

Возведя обе части этого уравнения в квадрат и перенос все члены полученного уравнения в левую часть, приходим к уравнению
$x^2 - 7x + 10 = 0,$
имеющей корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$ . При возвведении в квадрат могли появиться корни, построение для исходного уравнения, поэтому найденные корни обязательно надо проверить. Подставляя в уравнение (9) первый корень $x_1 = 2$ , получаем неверное числовое равенство $-1 = 1$ , значит, $x_1 = 2$ есть построенный корень для исходного уравнения (9). Подставляя в уравнение (9) второй корень $x_2 = 5$ , получаем верное числовое равенство. И, следовательно, $x_2 = 5$ есть корень исходного уравнения.
Итак, уравнение (9) имеет единственный корень $x = 5$ .
Вот еще пример. Решим уравнение
$\log_7(x^2 - 4) = \log_7(4x - 7).$
Потенцируя, мы приходим к уравнению
$x^2 - 4 = 4x - 7,$
корни которого $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$ . При потенцировании могли появиться корни, построение для исходного уравнения, поэтому найденные корни надо проверить. Число $x_1 = 1$ не удовлетворяет уравнению (10), так как не имеет смысла логарифмы отрицательных чисел, поэтому $x_1 = 1$ не является корнем этого уравнения. Число же $x_2 = 3$ обращает исходное уравнение в верное числовое равенство.
Итак, уравнение (10) имеет единственный корень $x = 3$ .

Здесь мы приводим ряд задач, предлагавшихся на районы олимпiadах в Новосибирской области. Средние их есть совсем несложные, есть задания и потребнее, но все они близки к школьной программе. В скобках после номера задания указано, в каких классах она предлагалась.

Восмой класс
1 (7—8). Два величины, Вася и Петя, одновременно выехали из пункта А в пункт Б. Вася весь путь проехал с постоянной скоростью, а Петя, проехав сначала 1 час со скоростью 12 км/ч, оставшийся путь ехал со скоростью 14 км/ч и приблив в Б на 5 минут раныше Васи. Если бы Петя все время ехал со скоростью 12 км/ч, то он бы приблив в Б на 6 минут позже Васи. Найдите расстояние от А до Б.
2 (7—8). Возраст человека в 1959 г. оказался равен сумме цифр года его рождения. Найди-te год рождения этого человека, если известно, что он родился в XX веке.
3 (7—8). В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O. В точке T она касается стороны BC. Известно, что $\angle BOT: \angle COT = 3:4$ . Найдите длину сторон BC, если радиус описанной окружности равен 3, а величины угла A — 30°.
4 (7—8). Докажите, что если положительные числа x и y удовлетворяют неравенствам x+y>2,6 и x^2+y^2<4, то xy>1.
5 (7—9). Можно ли разрезать квадрат на 1980 квадрат меньше размер? А на 1981? (Полученные квадраты могут быть не одинаковыми.)
Девятый класс
6 (7—9). Тебе и мне вместе 35 лет. Сейчас мне вдвое больше лет, чем было тебе тогда, когда мне было столько лет, сколько тебе сейчас. Сколько мне лет и сколько тебе?
7 (8—10). В трапеции сумма углов при основании равна 90°. Докажите, чтолина отрезка,
(Окончание см. на c. 55)