Задачи Московской городской математической олимпиады школьников

60

Задание
Московской городской математической олимпиады школьников

В 1984 году Москвыская математическая олимпиада проводилась в 47-й раз. Ниже публикуются задачи ее заключительного типа; в скобках указаны фамилии авторов задач.

8 класс

1. Решите уравнение $\frac{x^3}{\sqrt{4-x^2}} + x^2 - 4 = 0$.
   (A. Н. Драницинков)

2. Каждые две из шести ЭВМ соединины своим проводом. Укажите, как раскрасть каждый из этих проводов в один из пятей цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило пять проводов разного цвета.

(B. Б. Алексеев)

3. Докажите, что сумма расстояний от центра правильно семиугольника до всех его вершин меньше, чем сумма расстояний до них от любой другой точки.

(C. Б. Гашков, А. В. Рябинин)

4. Сумма пяты неотрицательных чисел равна единице. Докажите, что их можно расставить по кругу так, что сумма всех пятей попарных произведений соедининых чисел будет не больше $\frac{1}{5}$.

(C. Б. Гашков)

5. Разрежьте квадрат на 8 остругольных треугольников.

(M. Гарднер)

6. Является ли четным числом всех 64-значных натуральных чисел, не содержащих в записи нулей и делащихся на 101?

(C. Б. Гашков)

9 класс

1. Боковые ребра треугольной прямоды имеют одинаковую длину, а боковые грани — одинаковую площадь. Докажите, что основание этой прямоды — равнобедренный треугольник.

(A. Н. Драницинков)

2. Каждые две из 13-ти ЭВМ соединины своим проводом. Можно ли раскрасть каждый из этих проводов в один из 12-ти цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило 12 проводов разного цвета?

(B. Б. Алексеев)

3. Некоторые треугольник можно вырезать из бумажной полоски единчной ширины, а из любой полоски меньшей ширины его вырезать нельзя. Какую наименьшую площадь может иметь этот треугольник?

(C. Б. Гашков)

4. По кругу расставлено не менее четырех неотрицательных чисел, в сумме равных единице. Докажите, что сумма всех попарных произведений соедининых чисел не больше $\frac{1}{4}$.

(C. Б. Гашков, А. Н. Драницинков)

5. Существует ли три ненулевые цифры, с помощью которых можно составить бесконечное число десятичных записей квадратов различных чисел?

(C. Б. Гашков)

6. В прямогольнике размер $3 \times 4$ произвольно расположены 4 точки. Докажите, что между какими-то двумя из них расстояние не больше, чем $\frac{25}{8}$.

(C. Б. Гашков)

10 класс

1. Не используя калькулятор, таблиц и т.п., докажите неравенство $\sin 1 < \log_3 \sqrt{7}$.

(H. Н. Сергееев)

2. Жюри олимпиады решило по ее результатам соединить каждому участком образом, чтобы по этому числу можно было однозначно восстановить баллы, полученные участком за каждую задачу, и чтобы из каждой школьников больше числа соединивляется тому, кто набрал больше сумму баллов. Помогите жюри решить эту задачу!

(H. Н. Сергееев)

3. Решите уравнение в целых числах $19x^3 - 84y^2 = 1984$.

(B. Б. Алексеев)

4. В некоторых царстве, в некоторых географических количествам может достигнуть $n_1, n_2, n_3, \dots$ конец, где $n_1 < n_2 < n_3 < \dots$ — бесконечная последовательность, состоящая из натуральных чисел. Докажите, что эту последовательность можно обработать, т. е. найдется такое число $N$, что любую сумму, которую можно упалить без сданчи выпущенных монетами, на самом деле можно упалить только монетами достоинством $n_1, n_2, \dots, n_N$ конец.

(C. Б. Гашков, И. Н. Сергееев)

5. Квадрат разрезан на остругольные треугольники. Докажите, что их не меньше 8.

(M. Н. Гриничук)

6. Треугольное сечение куба касается вписанной в куб шара. Докажите, что площадь этого сечение меньше половины площади куба.

(C. Б. Гашков)

61

Решение уравнения на микрокалькуляторе

2. $x_n = \sqrt[2n]{a^2 - 1}$
3. a) $x_{n+1} = \sqrt[2]{a} \cdot \sqrt[2]{ax_n}$

6. $x_{n+1} = \sqrt{\frac{a}{x_n}}$
   b) $x_{n+1} = \frac{a}{x_n^2}$

5. a) $x_{n+1} = \sqrt[2]{a} \cdot \sqrt[2]{ax_n}$

6. $x_{n+1} = \sqrt[2]{a} \cdot \sqrt[2]{ax_n}$

6. $x_0 \times a\sqrt{-} = \sqrt{-} \times a\sqrt{-} = \sqrt{-} \sqrt{-} \dots$ ind ($\sqrt{a}$).

7. $x = \sqrt[4]{a}$

8. a) 2,154435, 6) 9,109767, b) 1,872172, г) 2,524239, д) 2,261022, e) 1,731345, ж) 1,608334.

9. a) $x_1 = 57,62784; x_2 = 1,572158. 6) x = 8,502572.$
   b) $x = 14,79361. г) x = 3,371635. д) x = 1,765015.$
   e) $x = 1,518512. ж) x_1 = 19,22910; x_2 = 4,715751.$

3. $x = 3,546518. и) x_1 = 3,920271; x_2 = 1,114004.$
   k) $x_1 = 9,844947; x_2 = 2,293349.$

Где ошибка?
Ошибка в построении образа точки $C$. На окружности $S_2$ существует две точки, удаленные от $A_1$ на расстояние $|AC|$ — точки $C_1$ и $C_2$ (рис. 1), т. к. окружности $S_2$ и $\beta$ пересекаются в двух точках. Из этих двух точек нужно взять точку $C_2$, поскольку угол $\angle COC_2 = \alpha$. Отметим, что если мы неверно построим также образ точки $B$, взяв точку $B_2$, то получившийся треугольник $A_1C_1B_2$ будет равен треугольнику $ABC$, но не будет являться его образом при повороте на угол $a$ вокруг точки $O$.

Рис. 1.

Еще примем самоконтролля

1. $\cos 5x = 16 \cos^5 x - 20 \cos^3 x + 5 \cos x$.
2. $2 \sin 2a \cos a + 4 \cos 2a \sin a - 3 \sin 3a = -\sin a$.
3. $a \cos x - b \sin x = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(x + \varphi)$.

Надо ли делать проверку?

1. 4.2. -10; 6.3.2. 4.1. 5.2; 3.6.1.

Избранные школьные задания

1. Ответ. 27,4 км. Указание. Проще всего «забыть» про Васю и воспользоваться тем, что расстояние $s = 12$ (км) Петя, двигаясь со скоростью 14 km/ч, проедет на 11 минутыстрее, чем если бы он двигался со скоростью 12 km/ч.
2. Ответ: 1938. Указание. Запишите искомый год в виде 1900+10x+y и решите относительно цифр $x$ и $y$ уравнение 59-10x-y=1+9+x+y.
3. Ответ. 3+3$\sqrt{3}$. Указание. Так как $(OT) \perp (BC)$, а $BO$ и $CO$ — биссерприсы, то легко найти углы $\angle OBT = 45^\circ$ и $\angle OCT = 30^\circ$.
4. Возведите первое неравенство в квадрат и относите второе.
5. Ответ. Да (в обихах случах). Разбение показано на рисунке 2 для четных $n$ и рисунке 3 для нечетных $n$, где $n$ — число квадратов в разбиении ($n \geqslant 4$).
6. Ответ. 15 и 20 лет. Указание. Задча

Рис. 2.

сводится к решению системы уравнения

$$\begin{cases} x+y=35, \\ y=2(x-y-x). \end{cases}$$

7. Указание. Продолжите боковые стороны трапеции до пересечения, проведите медиану в полученном прямоугольном треугольнике и найти длину первого отрезка $l$, $l = \frac{a-b}{2}$, где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, $a > b$. Этому же числу (причем в любой трапеции) равна длина второго отрезка.
8. Указание. Достаточно проверить, что большой отрезок меньше суммы двух других; $(a+b) < b+c$, т. е. что $a < c$, а это верно, т. к. в треугольнике $ABC$ против большого угла $\hat{C} = 120^\circ$ лежит большая сторона.
9. Ответ. 1, 3, 9 или 1/9, -5/9, 25/9.
10. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_{1982}$ — длины последовательных сторон 1982-угольника. Если предположить противное, то $a_1a_2 \geq 2, a_2a_3 \geq 2, \dots, a_{1981}a_{1982} \geq 2, a_{1982}a_1 \geq 2$. Применив неравенство о среднем арфметическом и среднем геометрическом, получим 1982 неравенства: $(a_1+a_2)/2 \geq \sqrt{a_1a_2} \geq \sqrt{2}, (a_2+a_3)/2 \geq \sqrt{2}$ и т. д. Сложив все эти неравенства, получим: $a_1+a_2+\dots+a_{1982} \geq 1982 \sqrt{2} > 2000$, что противоречит условия.
11. Ответ. $\pi/4 + \pi k/2, k \in \mathbb{Z}$. Указание. $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 0.5 \sin^2 2x$.
12. Ответ. $x=0$ при $a \leq 0,5$, $x=\pm \sqrt{a-0,5}$ при $a>0,5$. Указание. Достаточно найти значение функции $f(x) = x^2 + (x^2-a)^2(f(x))$ — квадрат расстояния между данной точкой и точкой параболи с абсциссой $x$. Доказите, что это значение достигается в одной из критических точек функции $f(x) = 0$ и $x=\pm \sqrt{a-0,5}$ при $a>0,5$ и сравните $f(0)$ и $f(\pm \sqrt{a-0,5})$.
13. Ответ. Например, $(x^2-10)^2 = 84$. Указание. Достаточно заметить, что число $(\sqrt{3} + \sqrt{7})^2 - 10)^2$ — целое.

64

об этом, потому что скорость ее падения может превыойти скорость, с которой звук от разбитой банки ее догоняет.

6. Широта и долгота — это угловые координаты, определяющие положение точки на поверхности земного шара. Если вы сейчас нахоитесь в точке А, которая имеет α° северной широты и β° восточной долготы, то ваш «антипод» находится бы в точке α° южной широты и 180°—β° западной долготы. Например, из австралийского города Перт, пройдя в сквозь Землю, вы вынырите в районе Бермудских островов.

7. Чем меньше, тем лучше.

8. Для этого, например, можно взбираться в мокрой одежде.

Море слез
(см. «Квант» № 8)

Задания

1. 35 перчаток. 2. Алиса была в белом платье, Мейбл в синем, а Ада — в зеленом.

2. Возможны в других системах счисления. Например, 4·5=13₂₁ в системе счисления с основанием 21 (24=1·21+3).

3. Ответ. 16 ч 36 $\frac{12}{13}$ мин. Решение. Часы в момент остановки показывают без чего-то пять часов, то есть 4 ч $t$ мин. При этом минутная стрелка прошла полкуга, то есть 180° и еще α°, а часовая не дошла α° до середины круга. За 1 минуту минутная стрелка поворачивается на 6°, а часовая на 0,5°. За t минут минутная стрелка повернется на $t \cdot 6^\circ = 180^\circ + \alpha$, а часовая на 60°—α°=t·0,5°. Отсюда $t = 36 \frac{12}{13}$ мин.

Главный редактор — академик И. К. Кикоин
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров
Заместители главного редактора: Л. Г. Асламазов, В. А. Лешковцев, Ю. П. Соловьев

Редакционная коллекция: М. И. Башмаков, В. Е. Белонучкин, В. Г. Болтянский, А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов, Н. Б. Васильев, С. М. Воронин, В. В. Гнеденко, В. Л. Гутенхахер, Н. П. Долбилин, В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков, А. Р. Зильберман, С. М. Козел, С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, Е. М. Никиншин, С. П. Новков, М. К. Потапов, В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов, А. П. Савин, Я. А. Смородинский, А. Б. Сосинский, В. М. Уроев, В. А. Фабрикант

Редакционный совет: А. М. Балдин, С. Т. Беляев, Б. Б. Буховцев, Е. П. Велихов, И. Я. Верченko, Б. В. Возв汀женский, Г. В. Дорофеев, Н. А. Erмолаева, А. П. Erшов, Ю. В. Иванов, Л. В. Канторович, В. А. Кириллин, Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов, В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патрикева, Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенko, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер подготовили:
А. Н. Вилленкин, В. Н. Дубровский, А. А. Егоров, Б. М. Ивлев, Т. С. Петрова, А. В. Сосинский, В. А. Тихомирова

Номер оформили:
Ю. М. Аратовский, Т. А. Доброхотова-Майкова, М. В. Дубах, А. Н. Климанов, В. С. Коваль, Н. С. Кузьмин, С. Ф. Лухин, Ю. П. Мартиненko, И. Е. Смирнова, Е. С. Шабельник

Фото представили:
Р. Е. Зыков, В. И. Ободзинский

Заведующая редакция Л. В. Чернова

Редактор отдела художественного оформления
Э. А. Смирнов

Художественный редактор Т. М. Макарова

Корректор Т. С. Вайсберг

5. Ответ. Не договорит. Указание. Кошке до норки 7 прижков. За 7 прижков кошки мышка сделает 21 шаг и скроется в норке.

6. Ответ. Кошке следует расположиться в центре описанной около $\Delta ABC$ окружности, если треугольник ABC не тупоугольный, и в середине набольшей стороны, если ABC — тупоугольный треугольник.

7. Ответ. 2401=(2+4+0+1)$^4$. Указание. Число л+о+р+и — однозначное, не меньше 5.

8. Ответ. За 27 секунд.

Вопросы

1. 4. В футе 12 днеймов. Рост Алисы после того, как она увеличитлась, стал равен 9 футам. Поэтому она выросла в $\frac{9 \cdot 12}{10} = 10,8 \approx 11$ раз.

Все время, пока Алиса росла, она говорила. Оцените, сколько секунд вам понадостся. Чтобы произвести все сказанное его до удаляго головой о потокок. Естественно, у разных читаателей получается результаты. Это помогет каждому из вас оценить скорость Алисы.

Вес Алисы увеличится приблизительно в 11$^3$=1331 раз. Если «маленькая» Алиса весила хотя бы 1 килограмм, то «выросшая» Алиса весила бы больше тонны. И напалкать лучше она может довольно большешую, если она плакаса, так что, уменьшившись до размеров Мыши, она смогла бы плавать в такой луже (или даже утонут).

2. Об этом шла речь раныше. Голос Алисы, по-видимому, станет густым басом.

3. Самые нижние части закрани (реборд) колес движутся в направлении, противоположном направлению движения.

64