Bài toán Olympic Toán học Thành phố Mátxcơva dành cho học sinh

60

Bài tập
Olympic Toán học thành phố Moscow dành cho học sinh

Năm 1984, Olympic Toán học Moscow được tổ chức lần thứ 47. bài toán của loại cuối cùng của nó được xuất bản bên dưới; Tên của các tác giả bài toán được ghi trong ngoặc đơn.

lớp 8

1. Giải phương trình $\frac{x^3}{\sqrt{4-x^2}} + x^2 - 4 = 0$.
   (A.N. Dranitsinkov)

2. Mỗi hai trong số sáu máy tính được kết nối bằng dây riêng. Hãy chỉ ra cách tô màu mỗi dây này bằng một trong năm màu sao cho mỗi máy tính có năm dây có màu khác nhau.

(B. B. Alekseev)

3. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ tâm của một hình bảy cạnh đều đến tất cả các đỉnh của nó nhỏ hơn tổng khoảng cách đến chúng từ bất kỳ điểm nào khác.

(S. B. Gashkov, A. V. Ryabinin)

4. Tổng gót của các số không âm bằng một. Chứng minh rằng chúng có thể được sắp xếp thành một vòng tròn sao cho tổng của cả năm tích từng cặp của các số nối nhau không lớn hơn $\frac{1}{5}$.

(S. B. Gashkov)

5. Cắt hình vuông thành 8 hình tam giác nhọn.

(M. Người làm vườn)

6. Số chẵn có phải là số tự nhiên có 64 chữ số không chứa số 0 và chia hết cho 101 không?

(S. B. Gashkov)

lớp 9

1. Các cạnh của một đường thẳng tam giác có cùng độ dài và các mặt bên có cùng diện tích. Chứng minh rằng đáy của đường thẳng này là tam giác cân.

(A.N. Dranitsinkov)

2. Mỗi hai trong số 13 máy tính được kết nối bằng dây riêng. Có thể tô màu mỗi dây này bằng một trong 12 màu để từ mỗi máy tính có 12 dây có màu khác nhau không?

(B. B. Alekseev)

3. Một số hình tam giác có thể được cắt từ một dải giấy có chiều rộng bằng một, nhưng không thể cắt từ bất kỳ dải giấy nào có chiều rộng nhỏ hơn. Diện tích nhỏ nhất mà hình tam giác này có thể có là bao nhiêu?

(S. B. Gashkov)

4. Có ít nhất bốn số không âm được đặt xung quanh vòng tròn, tổng của chúng bằng một. Chứng minh rằng tổng các tích từng cặp của các số nối không lớn hơn $\frac{1}{4}$.

(S. B. Gashkov, A. N. Dranitsinkov)

5. Có ba chữ số khác 0 có thể được sử dụng để tạo thành vô số ký hiệu thập phân cho bình phương của các số khác nhau không?

(S. B. Gashkov)

6. Trong một hình chữ nhật có kích thước $3 \times 4$ 4 điểm được đặt ngẫu nhiên. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ không lớn hơn $\frac{25}{8}$.

(S. B. Gashkov)

lớp 10

1. Không dùng máy tính, bảng biểu, v.v., hãy chứng minh bất đẳng thức $\sin 1 < \log_3 \sqrt{7}$.

(N. N. Sergeyev)

2. Dựa trên kết quả của nó, ban giám khảo Olympic đã quyết định kết nối từng phần theo cách mà việc sử dụng con số này có thể tái tạo lại một cách rõ ràng số điểm mà phần đó nhận được cho mỗi bài toán, và sao cho từ mỗi học sinh, nhiều số hơn sẽ được kết nối với người đạt được số điểm cao nhất. Hãy giúp bồi thẩm đoàn giải quyết vấn đề này bài toán!

(N. N. Sergeyev)

3. Giải phương trình ở dạng số nguyên $19x^3 - 84y^2 = 1984$.

(B. B. Alekseev)

4. Ở một số vương quốc, ở một số đại lượng địa lý, $n_1, n_2, n_3, \dots$ có thể đạt đến điểm cuối, trong đó $n_1 < n_2 < n_3 < \dots$ là một dãy vô hạn bao gồm các số tự nhiên. Chứng minh rằng chuỗi này có thể được xử lý, tức là có một số $N$ sao cho bất kỳ số tiền nào có thể bị loại bỏ mà không thay đổi số tiền đã phát hành trên thực tế chỉ có thể được loại bỏ với số tiền có giá trị cuối cùng là $n_1, n_2, \dots, n_N$.

(S. B. Gashkov, I. N. Sergeeev)

5. Hình vuông được cắt thành các hình tam giác nhọn. Chứng minh rằng có ít nhất 8 số đó.

(M. N. Grinichuk)

6. Một phần hình tam giác của hình lập phương tiếp xúc với một quả cầu nội tiếp trong hình lập phương. Chứng minh rằng diện tích phần này nhỏ hơn một nửa diện tích hình lập phương.

(S. B. Gashkov)

61

Lời giải phương trình trên máy vi tính

2. $x_n = \sqrt[2n]{a^2 - 1}$
3. a) $x_{n+1} = \sqrt[2]{a} \cdot \sqrt[2]{ax_n}$

6. $x_{n+1} = \sqrt{\frac{a}{x_n}}$
   b) $x_{n+1} = \frac{a}{x_n^2}$

5. a) $x_{n+1} = \sqrt[2]{a} \cdot \sqrt[2]{ax_n}$

6. $x_{n+1} = \sqrt[2]{a} \cdot \sqrt[2]{ax_n}$

6. $x_0 \times a\sqrt{-} = \sqrt{-} \times a\sqrt{-} = \sqrt{-} \sqrt{-} \dots$ ind ($\sqrt{a}$).

7. $x = \sqrt[4]{a}$

8. a) 2.154435, 6) 9.109767, b) 1.872172, d) 2.524239, e) 2.261022, e) 1.731345, g) 1.608334.

9. a) $x_1 = 57,62784; x_2 = 1,572158. 6) x = 8,502572.$
   b) $x = 14,79361. г) x = 3,371635. д) x = 1,765015.$
   e) $x = 1,518512. ж) x_1 = 19,22910; x_2 = 4,715751.$

3. $x = 3,546518. и) x_1 = 3,920271; x_2 = 1,114004.$
   k) $x_1 = 9,844947; x_2 = 2,293349.$

Sai lầm ở đâu?
Lỗi khi xây dựng ảnh của điểm $C$. Trên đường tròn $S_2$ có hai điểm cách $A_1$ một khoảng $|AC|$ - các điểm $C_1$ và $C_2$ (Hình 1), vì các đường tròn $S_2$ và $\beta$ cắt nhau tại hai điểm. Từ hai điểm này chúng ta cần lấy điểm $C_2$, vì góc là $\angle COC_2 = \alpha$. Lưu ý rằng nếu chúng ta cũng xây dựng không chính xác ảnh của điểm $B$, lấy điểm $B_2$, thì tam giác thu được $A_1C_1B_2$ sẽ bằng tam giác $ABC$, nhưng sẽ không phải là ảnh của tam giác đó khi xoay một góc $a$ quanh điểm $O$.

Hình 1.

Chúng ta cũng hãy rèn luyện tính tự chủ

1. $\cos 5x = 16 \cos^5 x - 20 \cos^3 x + 5 \cos x$.
2. $2 \sin 2a \cos a + 4 \cos 2a \sin a - 3 \sin 3a = -\sin a$.
3. $a \cos x - b \sin x = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(x + \varphi)$.

Có cần thiết phải kiểm tra không?

1. 4.2. -10; 6.3.2. 4.1. 5.2; 3.6.1.

Các bài tập của trường đã chọn

1. Đáp số. 27,4 km. Gợi ý. Cách dễ nhất là “quên” Vasya và tận dụng khoảng cách $s = 12$ (km) Petya di chuyển với tốc độ 14 km/h sẽ đi nhanh hơn 11 phút so với khi anh ta di chuyển với tốc độ 12 km/h.
2. Đáp số: 1938. Gợi ý. Viết năm mong muốn là 1900+10x+y và giải phương trình 59-10x-y=1+9+x+y cho các số $x$ và $y$.
3. Đáp số. 3+3$\sqrt{3}$. Gợi ý. Vì $(OT) \perp (BC)$ và $BO$ và $CO$ là hai mặt đối nhau nên rất dễ tìm được các góc $\angle OBT = 45^\circ$ và $\angle OCT = 30^\circ$.
4. Bình phương bất đẳng thức thứ nhất và trừ bất đẳng thức thứ hai.
5. Đáp số. Có (trong cả hai trường hợp). Phân vùng được hiển thị trong Hình 2 cho $n$ chẵn và Hình 3 cho lẻ $n$, trong đó $n$ là số ô vuông trong phân vùng ($n \geqslant 4$).
6. Đáp số. 15 và 20 năm. Gợi ý. Vấn đề

Hình 2.

giảm xuống phương trình hệ thống lời giải

$$\begin{cases} x+y=35, \\ y=2(x-y-x). \end{cases}$$

7. Gợi ý. Tiếp tục các cạnh của hình thang cho đến khi chúng giao nhau, vẽ đường trung bình trong tam giác vuông thu được và tìm độ dài của đoạn đầu tiên $l$, $l = \frac{a-b}{2}$, trong đó $a$ và $b$ là độ dài hai đáy của hình thang, $a > b$. Cùng một số (và trong bất kỳ hình thang nào) bằng độ dài của đoạn thứ hai.
8. Gợi ý. Chỉ cần kiểm tra xem đoạn lớn có nhỏ hơn tổng của hai đoạn còn lại là đủ hay không; $(a+b) < b+c$, tức là $a < c$, và điều này đúng, vì trong tam giác $ABC$ cạnh lớn nằm đối diện với góc lớn $\hat{C} = 120^\circ$.
9. Đáp số. 1, 3, 9 hoặc 1/9, -5/9, 25/9.
10. Gọi $a_1, a_2, \dots, a_{1982}$ là độ dài các cạnh liên tiếp của 1982-giác. Nếu chúng ta giả sử điều ngược lại thì $a_1a_2 \geq 2, a_2a_3 \geq 2, \dots, a_{1981}a_{1982} \geq 2, a_{1982}a_1 \geq 2$. Áp dụng bất đẳng thức về trung bình số học và trung bình hình học, ta thu được các bất đẳng thức năm 1982: $(a_1+a_2)/2 \geq \sqrt{a_1a_2} \geq \sqrt{2}, (a_2+a_3)/2 \geq \sqrt{2}$, v.v. Cộng tất cả các bất đẳng thức này, ta thu được: $a_1+a_2+\dots+a_{1982} \geq 1982 \sqrt{2} > 2000$, mâu thuẫn với điều kiện.
11. Đáp số. $\pi/4 + \pi k/2, k \in \mathbb{Z}$. Gợi ý. $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 0.5 \sin^2 2x$.
12. Đáp số. $x=0$ tại $a \leq 0,5$, $x=\pm \sqrt{a-0,5}$ tại $a>0,5$. Gợi ý. Chỉ cần tìm giá trị của hàm $f(x) = x^2 + (x^2-a)^2(f(x))$ - bình phương khoảng cách giữa điểm này và điểm của parabol với hoành độ $x$. Chứng minh rằng giá trị này đạt được tại một trong các điểm tới hạn của hàm $f(x) = 0$ và $x=\pm \sqrt{a-0,5}$ tại $a>0,5$ và so sánh $f(0)$ và $f(\pm \sqrt{a-0,5})$.
13. Đáp số. Ví dụ: $(x^2-10)^2 = 84$. Gợi ý. Chỉ cần lưu ý rằng số $(\sqrt{3} + \sqrt{7})^2 - 10)^2$ là số nguyên.

64

về điều này, bởi vì tốc độ rơi của nó có thể vượt quá tốc độ mà âm thanh từ chỗ bị gãy có thể đuổi kịp nó.

6. Vĩ độ và kinh độ là các tọa độ góc xác định vị trí của một điểm trên bề mặt địa cầu. Nếu bây giờ bạn đang ở điểm A, tức là vĩ độ α° Bắc và kinh độ β° Đông, thì “đối cực” của bạn sẽ ở vĩ độ α° Nam và kinh độ 180°–β° Tây. Ví dụ: từ thành phố Perth của Úc, đi qua Trái đất, bạn sẽ đến khu vực Bermuda.

7. Ít hơn là nhiều hơn.

8. Ví dụ, để làm điều này, bạn có thể leo trèo trong bộ quần áo ướt.

Biển nước mắt
(xem «Kvant» số 8)

Nhiệm vụ

1. 35 găng tay. 2. Alice mặc váy trắng, Mabel mặc áo xanh lam và Ada mặc áo xanh lá cây.

2. Có thể có trong các hệ thống số khác. Ví dụ: 4·5=13₂₁ trong hệ cơ số 21 (24=1·21+3).

3. Đáp số. 16 giờ 36 $\frac{12}{13}$ phút. Lời giải. Đồng hồ lúc dừng chỉ năm giờ không có gì, tức là 4 giờ $t$ phút. Đồng thời, kim phút đi được nửa vòng tròn, tức là 180° và một góc α° khác, nhưng kim giờ không chạm tới α° ở giữa vòng tròn. Trong 1 phút, kim phút quay được 6°, kim giờ quay được 0,5°. Trong t phút, kim phút sẽ quay một góc $t \cdot 6^\circ = 180^\circ + \alpha$ và kim giờ sẽ quay một góc 60°—α°=t·0,5°. Từ đây $t = 36 \frac{12}{13}$ phút.

Tổng biên tập - Viện sĩ I. K. Kikoin
Phó Tổng biên tập thứ nhất - Viện sĩ A. N. Kolmogorov
Phó tổng biên tập: L. G. Aslamazov, V. A. Leshkovtsev, Yu. P. Solovyov

Tuyển tập biên tập: M. I. Bashmkov, V. E. Belonuchkin, V. G. Boltyansky, A. A. Borovoy, Yu. M. Brook, V. V. Vavilov, N. B. Vasiliev, S. M. Voronin, V. V. Gnedenko, V. L. Gutenkhacher, N. P. Dolbilin, V. N. Dubrovsky, A. N. Zemlykov, A. R. Zilberman, S. M. Kozel, S. S. Krotov, L. D. Kudryavtsev, E. M. Nikinshin, S. P. Novkov, M. K. Potapov, V. G. Razumovsky, N. A. Rodina, N. H. Rozov, A. P. Savin, Ya. A. Smorodinsky, A. B. Sosinsky, V. M. Uroev, V. A. Fabrikant

Ban biên tập: A. M. Baldin, S. T. Belyaev, B. B. Bukhovtsev, E. P. Velikhov, I. Ya. Verchenko, B. V. Vozzhensky, G. V. Dorofeev, N. A. Ermolaeva, A. P. Ershov, Yu. V. Ivanov, L. V. Kantorovich, V. A. Kirillin, G. L. Kotkin, R. N. Kuzmin, A. A. Logunov, V. V. Mozhaev, V. A. Orlov, N. A. Patrikeva, R. Z. Sagdeev, S. L. Sobolev, A. L. Stasenko, I. K. Surin, E. L. Surkov, L. D. Faddeev, V. V. Firsov, G. N. Ykovlev

Số đã được chuẩn bị:
A. N. Villenkin, V. N. Dubrovsky, A. A. Egorov, B. M. Ivlev, T. S. Petrova, A. V. Sosinsky, V. A. Tikhomirova

Số đã được phát hành:
Yu. M. Aratovsky, T. A. Dobrokhotova-Maikova, M. V. Dubakh, A. N. Klimanov, V. S. Koval, N. S. Kuzmin, S. F. Lukhin, Yu. P. Martinenko, I. E. Smirnova, E. S. Shabelnik

Ảnh được gửi bởi:
R. E. Zykov, V. I. Obodzinsky

Trưởng ban biên tập L. V. Chernova

biên tập nghệ thuật
E. A. Smirnov

Biên tập viên nghệ thuật T. M. Makarova

Người hiệu đính T. S. Weisberg

5. Đáp số. Anh ấy sẽ không kết thúc. Gợi ý. Một con mèo có 7 lần chạm vào một con chồn. Trong 7 vết cắn của mèo, chuột sẽ đi được 21 bước và biến mất vào trong hang.

6. Đáp số. Con mèo phải đặt mình ở tâm của vòng tròn ngoại tiếp khoảng $\Delta ABC$ nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù và ở giữa cạnh dài nhất nếu ABC là tam giác tù.

7. Đáp số. 2401=(2+4+0+1)$^4$. Gợi ý. Số l+o+p+i không rõ ràng, không nhỏ hơn 5.

8. Đáp số. Trong 27 giây.

Câu hỏi

1. 4. Có 12 ngày trong một bàn chân. Chiều cao của Alice sau khi tăng lên là 9 feet. Do đó, nó đã tăng $\frac{9 \cdot 12}{10} = 10,8 \approx 11$ lần.

Trong suốt thời gian Alice lớn lên, cô ấy đã nói chuyện. Ước tính bạn sẽ cần bao nhiêu giây. Để sản xuất tất cả những gì đã nói trước khi anh ta rời khỏi dòng suối. Đương nhiên, những người đọc khác nhau sẽ nhận được kết quả khác nhau. Điều này sẽ giúp mỗi bạn đánh giá được tốc độ của Alice.

Trọng lượng của Alice sẽ tăng khoảng 11$^3$=1331 lần. Nếu Alice “bé” nặng ít nhất 1 kg thì Alice “đã trưởng thành” sẽ nặng hơn một tấn. And it’s better that she can attack a fairly large one, if she’s a crybaby, so that, having shrunk to the size of a Mouse, she could swim in such a puddle (or even drown).

2. Điều này đã được thảo luận trước đó. Giọng của Alice dường như sẽ trở thành âm trầm sâu.

3. Phần thấp nhất của mặt bích bánh xe di chuyển theo hướng ngược lại với hướng di chuyển.

64

Trang cờ vua

Tư vấn: nhà vô địch cờ vua thế giới, kiện tướng quốc tế A.E. Karpov. Trang này sẽ được giới thiệu bởi Thạc sĩ Thể thao Cờ vua Liên Xô, Ứng viên Khoa học Kỹ thuật E. Ya. Gik.