Bí mật của ông già Cooper

Kvant 1986, số 8 tr. 15-18 Thẻ KU0Q

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Ví dụ, họ đổ đầy một cái thùng ở đó, không có số lượng lá, “amphoras” (một thùng chứa được lấy làm đơn vị đo lường), rồi đốt nó vào thùng cùng nhau - để, Chúa cấm, bạn không cần phải thực hiện lại thủ tục tẻ nhạt này.

Và đây… Anh chàng đẩy đầu đồng của thước xuyên qua lỗ nạp của một thùng đầy (hình 1),

Pis. 1.

ngang đến “gót” (điểm thấp nhất) của đáy thùng, và theo dấu trên thước kẻ ở lỗ nạp (điểm trên cùng của “bụng” thùng), anh ta gọi ngay tên các thùng lại với nhau. Các thùng đều khác nhau - lớn và nhỏ, “bụng phệ” hơn và hoàn toàn “mỏng” - nhưng điều này không khiến anh chàng bận tâm, anh ta đưa ra đáp số một cách nhanh chóng và tự tin không kém. “Cậu có cần điều ước gì không?” - lóe lên trong đầu Kepler.

“Đừng lo lắng, thưa ngài Nhà toán học của Bệ hạ,” anh chàng nói, như thể đã đọc được suy nghĩ của Kepler. — Phương pháp đo công suất này đã được chính quyền thành phố thiết lập ở Linz và những người hợp tác của họ đảm bảo tính chính xác của phép đo.

Bạn có cần thùng nào không?

“Tôi không biết về điều đó, nhưng chắc chắn là đối với thùng ở Áo,” anh chàng biên soạn nó.

Nhưng dựa trên cơ sở nào mà bạn chắc chắn về tính đúng đắn của phương pháp này?
Tôi không biết, tôi không biết điều đó. Tôi sẽ không nói dối. Người ta nói rằng nhiều năm trước Old Bondar đã sống ở đây và ông đã đề xuất phương pháp này. Tôi không biết tại sao anh ấy lại đề nghị điều đó.

Anh ấy nói về cách Kepler làm sáng tỏ bí mật về những chiếc thùng đựng rượu của tác giả trong cuốn sách “Hình lập thể mới của các thùng rượu, chủ yếu là của Áo, là có hình dạng thuận lợi nhất và việc sử dụng thước khối cực kỳ thuận tiện cho chúng, cùng với một bổ sung bổ sung cho phép đo lập thể Archimedean.” Mặc dù cuốn sách đã được xuất bản cách đây 370 năm (1615), nhưng như chúng ta sẽ thấy, nó vẫn được đón nhận cho đến ngày nay.

Hình 2.

thùng hình trụ (hình 2). Đặt $ND=\lambda$ , chiều dài của máy phát $AB$ bằng $2x$ , đường kính của thân $AD$ bằng $2y$ ; Sau đó

$x^2+4y^2=\lambda^2,$

(1)

và các thùng cùng nhau có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức

$v=\frac{1}{2}\pi(\lambda^2-x^2)x.$

(2)

Không khó để thể hiện các thùng với nhau thông qua khoảng cách $\lambda$ và tỷ lệ $(t)$ của chiều dài của máy phát điện với đường kính của đĩa $(t=x/y)$ . Từ (1) và (2) suy ra

$v=2\pi\lambda^3t(4+t^2)^{-\frac{3}{2}}.$

(3)

“Từ những công thức này, rõ ràng,” Kepler lý luận, “rằng sức chứa của một thùng hình trụ không chỉ được xác định bởi khoảng cách $\lambda$ ; Để có thể sử dụng phương pháp của Coopers Áo, chúng ta phải xử lý các thùng có tỷ lệ $t$ cố định $(t=t_0)$ . Cách tốt nhất để chọn mối quan hệ này là gì? Cách tốt nhất để chọn sự tương ứng giữa chiều dài của ống sinh và đường kính của đĩa là gì? Chúng ta hãy nghĩ theo quan điểm của một nhà sản xuất rượu vang. Anh ta muốn chọn—trong số tất cả các giá trị có thể có của tham số $t$ —một giá trị $(t_0)$ sao cho trong số tất cả các thùng có vị trí $ND$ bằng $\lambda$ , thùng anh ta đã chọn có thể tích lớn nhất $(v_0)$ : thì anh ta có thể tính công suất của nó bằng công thức (3) và nếu

Hóa ra khi chế tạo thùng, Cooper đã không quan sát chính xác tỷ lệ lý tưởng $t_0$ mà sai lệch một chút so với tỷ lệ đó ( $t \approx t_0$ , nhưng $t > t_0$ hoặc $t < t_0$ ), thì VINDel cũng sẽ không sai: dung tích thực tế của thùng $v$ nhất thiết phải nhỏ hơn $v_0$ . Như vậy, INDEL sẽ gọi khối lượng là $v_0$ (và sẽ nhận được khoản thanh toán tương ứng từ người mua), nhưng thực tế sẽ cung cấp cho người mua một lượng rượu nhỏ hơn một chút, cụ thể là $v$ .

Nhưng mặt khác, một doanh nhân có lòng tự trọng không quan tâm đến việc lừa dối người mua; ông quan tâm đến việc đảm bảo rằng công suất thực hiện thùng (tương ứng với việc thực hiện lựa chọn tham số $t$ , gần với $t_0$ ) khác ít nhất có thể với công suất $v_0$ , tương ứng với giá trị tốt nhất của tham số ( $t_0$ ). Người mua thậm chí còn quan tâm nhiều hơn đến điều này. Hóa ra điều này cũng đạt được với việc lựa chọn tham số $t$ như vậy, tại đó thể tích của thùng $v$ là lớn nhất.

Biết khái niệm đạo hàm, chúng ta có thể dễ dàng chứng minh thông điệp này của Kepler (Kepler khó tìm ra một bằng chứng chứng minh hơn nhiều so với chúng ta: xét cho cùng, cuốn sách của ông đã được xuất bản 70 năm trước khi phép tính vi phân ra đời). Hãy sử dụng nó như sau. Đặt $f(t)$ là một hàm nào đó của $t$ (để đơn giản, một hàm có đạo hàm bậc nhất tại $t > 0$ ); đặt $t_0$ là giá trị nào đó của đối số $t$ mà chúng ta chọn. Sau đó, với một mức tăng nhỏ $h$ , tức là với $t = t_0 + h$ , chúng ta có

$f(t) - f(t_0) = f'(t_0)h + \alpha(h) \cdot h,$

trong đó $\alpha(h) \rightarrow 0$ tại $h \rightarrow 0$ (xem “Đại số và nguyên tắc phân tích 9-10”, đoạn 22).

Từ đây chúng ta thấy: nếu $f'(t_0) \neq 0$ , thì độ lệch của $f(t)$ so với $f(t_0)$ sẽ là - đối với $h$ nhỏ - thực tế tỷ lệ thuận với $h$ . Nhưng nếu $t_0$ là điểm tối đa (hoặc tối thiểu) của một hàm nhất định thì độ lệch là $\alpha(h) \cdot h$ , trong đó $\alpha(h) \rightarrow 0$ là $h \rightarrow 0$ . Điều này có nghĩa là ở gần điểm cực trị ( $t_0$ ), độ lệch nhỏ của tham số $t$ so với $t_0$ ảnh hưởng đến sự thay đổi của hàm $f(t)$ yếu hơn nhiều (Kepler nói: “không nhạy cảm”) so với gần một giá trị khác của đối số $t$ , trong đó $f'(t) \neq 0$ . Liên quan đến trường hợp của chúng tôi (xem công thức (3)), điều này có nghĩa là thuận lợi nhất là chọn tham số $t$ sao cho ( $t = t_0$ ) để thùng hình trụ có công suất cao nhất ( $v_0$ ): trong trường hợp này, nếu cần thiết và không thể tránh khỏi trong thực tế, độ lệch của tham số $t$ so với $t_0$ độ lệch của công suất $v$ của thùng so với $v_0$ sẽ là “vô cảm”.

Kepler tìm thấy (cho trước $\lambda$ ) giá trị của tỷ lệ $t$ tại đó dung tích của thùng ( $v$ ) sẽ phù hợp nhất. Sử dụng khái niệm tùy ý, chúng ta có thể thực hiện việc này dễ dàng và nhanh hơn nhiều so với Kepler. Chúng ta hãy sử dụng công thức (2) cho $v$ . Sau đó

$v'(x) = \frac{1}{2} \pi(\lambda^2 - 3x^2),$

$x = \lambda / \sqrt{3}, 4y^2 = \lambda^2 - x^2 = 2\lambda^2 / 3, y = \lambda / \sqrt{6},$

$t_0 = x / y = \sqrt{2} \approx 1,41.$

(4)

Với giá trị này của tham số $t$ , dung tích của thùng hình trụ sẽ tối đa (đối với $\lambda$ nhất định) và sẽ bằng

$v_0 = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} \lambda^3.$

(5)

“Bây giờ tôi sẽ chuyển sang một trường hợp tổng quát hơn,” Kepler lý luận, khi “đinh tán” của thùng (các tấm tạo nên bề mặt bên của nó) sẽ cong (chứ không phải thẳng, như trong trường hợp thùng hình trụ). Một chiếc thùng như vậy có thể được tưởng tượng với độ chính xác vừa đủ vì được tạo thành từ hai hình nón cụt giống hệt nhau, được hình thành bởi các đáy lớn của chúng (hình 3).

Hình 3.

Đồng thời, tất nhiên, tôi sẽ cho phép một số tính toán sai sót, nhưng nếu thùng không ở rất gần khoảng cách $ND$ bằng với $\lambda$ đã cho, tôi sẽ chọn thùng có công suất cao nhất.”

Theo phương án lời giải do Kepler đề xuất, chúng ta có thể biểu thị dung tích (v) của thùng theo khoảng cách λ, theo bán kính (y) nhỏ hơn đáy của hình nón cụt và theo khoảng cách z=NF (F là đáy của đường vuông góc rơi từ điểm D nhỏ hơn đáy của hình nón cụt đến đáy lớn hơn). Chúng ta hãy thực hiện các phép tính này bằng cách sử dụng công thức tính thể tích của hình nón cụt và lưu ý rằng chiều cao của hình nón cụt là $DF=\sqrt{\lambda^2-z^2}$ . Các phép biến đổi đơn giản dẫn chúng ta đến công thức
$v=\frac{2}{3}\pi\left(y^2+(z-y)^2+y(z-y)\right)\times\sqrt{\lambda^2-z^2}.$
(Kepler đã cố gắng tìm ra tỷ lệ nào giữa các kích thước của thùng (nói cách khác, ở giá trị nào của y và z đối với một λ cho trước), sự liên kết của thùng sẽ hoàn thiện nhất. Chúng ta có thể nhận được kết quả của Kepler bằng cách giải bài toán sau:

Nhiệm vụ a. Chứng minh, bằng cách sử dụng khái niệm tùy ý, rằng trong số một loại thùng có giá trị λ cho trước của khoảng cách ND, loại thùng tương thích nhất là thùng hình trụ, có một đĩa tạo thành đường kính lớn hơn tại $\sqrt{2}$ . (Lời giải xem trang 63.) Bây giờ chúng ta hãy tính đến thông điệp của Kepler rằng “gần điểm cực đại của nó, một thay đổi nhỏ trong đối số của hàm sẽ có tác động không nhạy cảm đến sự thay đổi giá trị của nó”. Trong trường hợp của chúng tôi, điều này có nghĩa là nếu kích thước của thùng hơi lệch so với kích thước của thùng hiện có (nghĩa là hình trụ, với tỷ lệ $AB:AD=\sqrt{2}$ ), thì những sai lệch này “không nhạy cảm” ảnh hưởng đến công suất của thùng. Do đó, thể tích của một thùng ít khác biệt so với thể tích của thùng “tốt nhất” có thể được tính bằng cùng một công thức (5).

“Giờ thì rõ rồi,” Kepler nghĩ, thùng “Áo” là gì: đây là loại thùng có hệ số ANB xấp xỉ $\sqrt{2}$ lần đường kính của nó. Vì khi chọn độ dài của “đinh tán” $PNQ$ , người ta cũng phải tính đến độ dày của hai đáy và thực tế là phần đinh tán phải mở rộng ra ngoài mép của đáy một chút, trên thực tế, điều này có nghĩa là đinh tán phải dài khoảng một lần rưỡi chiều dài đường kính của đáy.”

Hơn nữa, Kepler đã nói rõ cách tìm thể tích của “thùng Áo” bằng thước thông thường: bạn cần thay đổi khoảng cách ND và tính thể tích của thùng $v_0$ bằng công thức (5). “Không phải là người làm rượu đặt tên cho thể tích của thùng mà không cần tính toán! - Kepler nghĩ. - Rõ ràng, thực tế là chiếc thước không phải là loại dùng để dạy học, các dấu hiệu trên đó được đặt khác với chiếc thước thông thường. Chiếc thước này được lập trình như thế nào?…

Đầu tiên, chúng tôi cần cho bạn biết loại “vò amphora” có thành mỏng mà Vnodeel đang nói đến. Đây có lẽ cũng là một loại thùng nào đó, nhưng tổng thể của nó được lấy làm đơn vị thể tích. Nhưng nếu thùng của Áo thích chế tạo tất cả các thùng sao cho tỷ lệ giữa chiều dài và đường kính của đế là tối ưu (khoảng 1,5), thì trong quá trình sản xuất thùng tiêu chuẩn, “amphora”, họ cũng phải chịu tỷ lệ tương tự. Đặt thùng tham chiếu (hình 4) có khoảng cách $N_1D_1$ bằng $\lambda_1$ . Sau đó

Hình 4.

chúng ta có (xem (5)) $1=(\pi/3\sqrt{3})\lambda_1^3$ . Tính đến (5), chúng tôi thu được công thức gần đúng về dung tích của bất kỳ thùng “Áo” nào: $v_0=(\lambda/\lambda_1)^3$ (amphoras). Điều này có nghĩa là để tìm $v_0$ , chúng ta không chỉ cần biết $\lambda$ mà còn biết mối quan hệ $\lambda/\lambda_1$ là đủ. Và thậm chí không phải bản thân mối quan hệ này mà là hình khối của nó. Các số $(\lambda/\lambda_1)^3$ cho các $\lambda$ khác nhau phải được áp dụng cho thước, tức là thước không được chia độ đều mà theo “luật khối”. Ở khoảng cách từ đầu đồng (hình 5), bằng $\lambda_1$ , $2\lambda_1$ , $3\lambda_1$ , v.v., đặt dấu: 1; $8=(2^3)$ ;

Hình 5.

$27=(3^3)$ , v.v. Và nói chung - ở khoảng cách $k\lambda_1$ (k là số dương bất kỳ) đánh dấu bằng $k^3$ . Nếu bây giờ tôi nhét một cây thước như vậy vào thùng để đồng của nó

phần đầu nằm ở phần gót của đáy (D), sau đó dấu số ở đầu nối đổ đầy (N) chỉ cho biết có bao nhiêu amphorae trong thùng cùng nhau.

Vào mùa thu năm 1615, theo yêu cầu của Kepler, tại tòa thị chính Linz, ông đã gặp người đứng đầu xưởng đóng thùng.

“Thưa ông Elder,” Kepler bắt đầu, “Tôi quan tâm đến phương pháp mà những người chăn nuôi và sản xuất rượu vang Áo sử dụng để đo lường tính nguyên vẹn của thùng.”

“Ông thấy đấy, nhà toán học của Bệ hạ,” người đứng đầu phản đối, “đây là một bí mật tùy tiện của xưởng chúng tôi.” Bí mật này đã được truyền từ thế hệ Cooper này sang thế hệ tiếp theo, kể từ thời Old Cooper.

“Tôi nghĩ rằng ngày xưa có một nhà hình học xuất sắc nào đó đã dạy phương pháp này cho những người thợ đóng thùng của bạn.” Nhưng tôi nghĩ rằng tôi có thể làm sáng tỏ bí mật của anh ấy.

“Vậy thì hãy nói cho tôi biết, thưa ông, nhà toán học của Bệ hạ, theo ý kiến của ông, bí mật của Old Bondar là gì, và tôi hứa sẽ xác nhận những gì ông nói là đúng.”

Kepler trả lời: “Những suy ngẫm đã dẫn tôi đến kết luận rằng khi chế tạo một cái thùng có kích thước bất kỳ, các bạn, những người làm việc ở Linz, chỉ sử dụng một thông điệp: rằng chiều dài của các thanh gỗ phải lớn hơn một lần rưỡi so với đường kính của đáy.”

“Hoàn toàn đúng!” Cooper ngạc nhiên xác nhận.

— Và ngoài ra, để đo dung tích của thùng, bạn hãy dùng thước kẻ trên đó có các vạch chia theo “định luật khối”.

“Và đó là sự thật,” người đứng đầu xưởng đóng thùng xác nhận với vẻ ngạc nhiên hơn nữa, nhìn Kepler một cách nguy hiểm. “Ông không phải là người có khả năng thấu thị sao, ông Kepler?” Tôi nghe nói rằng bạn, với tư cách là một ngôi sao hoàng gia, có thể đọc được quá khứ và tương lai bằng vị trí của các ngôi sao. Bạn có thực sự cần tìm ra bí mật của Old Bondar với sự trợ giúp của chiêm tinh học không?

“Không, tôi đã tính toán nó bằng toán học,” Kepler trả lời, và cuộc trò chuyện kết thúc ở đó.

Chà xát khô

(Để bắt đầu, xem trang 8)

Với chuyển động đồng đều của cây cung, sợi dây sẽ bị nó cuốn đi và căng ra. Cùng với lực căng của dây, lực ma sát giữa dây và dây bị mang đi. Khi độ lớn của lực ma sát đạt giá trị lớn nhất thì dây bắt đầu xuyên qua dây cung. Nếu lực ma sát không phụ thuộc vào tốc độ tương đối của dây cung và dây thì rõ ràng độ lệch của dây so với vị trí cân bằng sẽ không thay đổi.

Nhưng khi bị đâm, cây giảm đi. Do đó sợi dây bắt đầu chuyển động về vị trí cân bằng. Trong trường hợp này, tốc độ tương đối của dây bị cuốn vào và điều này càng làm giảm lực ma sát. Khi dây dao động và di chuyển theo hướng ngược lại, tốc độ của nó so với cung giảm đi và cung lại cuốn vào dây. Mọi thứ đều lặp lại. Đây là cách mà vảy bình phát sinh. Những dao động này là không đáng kể, vì năng lượng mà dây bị mất đi trong quá trình chuyển động của nó mỗi lần bù đắp cho công của lực ma sát, lực này làm dây mạnh hơn đến vị trí mà dây bị đứt.

Điều này có thể biện minh cho một bài viết về ma sát khô - một hiện tượng mà bản chất của chúng ta vẫn chưa hiểu đầy đủ, nhưng chúng ta có thể mô tả với sự trợ giúp của các định luật được đáp ứng với độ chính xác thỏa đáng. Điều này cho chúng ta cơ hội giải thích nhiều hiện tượng vật lý và thực hiện các phép tính cần thiết khi thiết kế máy móc.