Bài toán M996—M1000; F1008—F1012

41

Người giải quyết vấn đề lượng tử

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. Các nhiệm vụ được xuất bản trong đó là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. Những cái khó nhất bài toán được thay thế bằng dấu hoa thị. Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Đã đăng, không phải tất cả bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên.

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 15 tháng 10 năm 1986 đến địa chỉ: 103006 Moscow K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant».
Trong cột “Tới”, viết: “Bài toán lượng tử” số 8 - 86 và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M996, M997” hoặc “F1008”. Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) được phân bổ trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải trong phong bì này). Điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, hãy dán vào một phong bì riêng thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề lượng tử”, bài toán mới trong vật lý) hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái, vui lòng cho biết mã số trường và lớp mà bạn là giáo viên. Vui lòng viết họ và tên của bạn bằng chữ in hoa.
Bài toán M996 - M998 và M999 a) con số này đã được đưa ra tại Olympic Toán toàn Liên đoàn XX dành cho học sinh. Danh sách đầy đủ các bài toán Olympic có giải pháp sẽ được công bố trên «Kvant» số 11 cho năm nay.

M996—M1000; F1008—F1012

M996. Hai hình vuông giống hệt nhau tại giao điểm tạo thành một hình bát giác. Các cạnh của một hình vuông có màu xanh, hình còn lại có màu đỏ. Chứng minh rằng tổng độ dài các cạnh đồng bộ của một hình bát giác bằng tổng độ dài các cạnh màu đỏ của nó.

V. V. Proizvolov

M997. Chứng minh rằng tổng của tất cả các số có dạng $\frac{1}{mn}$, trong đó $m$ và $n$ là số tự nhiên, $1 \leq m < n < 1986$, không phải là số nguyên.

D. A. Mitkin

M998*. Chúng ta hãy xem xét tất cả các tứ diện $AXBY$ được mô tả gần một hình cầu nhất định. Chứng minh rằng, cho điểm cố định $A$ và $B$, tổng các góc của tứ giác $AXBY$, tức là tổng

$$\angle AXB + \angle XBY + \angle BYA + \angle YAX,$$

không phụ thuộc vào việc chọn điểm $X$ và $Y$.

I. F. Sharyzin

M999*. a) Chứng minh rằng với mọi số dương $a_1, a_2, \dots, a_n$ thì bất đẳng thức sau đúng:

$$\frac{1}{a_1} + \frac{2}{a_1 + a_2} + \dots + \frac{n}{a_1 + a_2 + \dots + a_n} < 4\left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}\right).$$

Chứng minh rằng hằng số 4 ở vế phải của bất đẳng thức 6) có thể thay thế bằng 2;
c không thể thay thế bằng số 2.

L. D. Kurlyandchik, A. S. Merkuryev

Các biên tập viên đã nhận được rất nhiều bài toán môn toán với sự trợ giúp của “Dành cho cuộc thi M1000”. Có khá nhiều con số trung bình thú vị - theo thời gian chúng sẽ được xuất bản trong Sách Vấn đề của Kvant.” Tuy nhiên, người có thẩm quyền đã không chọn được bất kỳ bài toán nào nổi bật rõ ràng trong số những người còn lại. Sau đó, chế biến thành một loại bài toán tương đối nhẹ, vẫn không mất đi độ tươi và vẻ đẹp. Và mặc dù tác giả không viết nó để tham gia cuộc thi nhưng chính bài toán này đã trở thành sự phong phú của “M1000”.

M1000. Trong cung $AB$ một đường gãy $AMB$ được ghi từ hai đoạn ($AM > MB$). Chứng minh rằng đáy đường vuông góc $KN$, thả từ giữa $K$ của cung $AB$ xuống đoạn $AM$, chia đoạn thẳng gãy làm đôi: $AH = HM + MB$ (hình 1, tr. 42).

Archimedes (Syracuse)

F1008. Thanh $AB$ được đặt bên trong hình trụ. Tại điểm $A$ thanh có bản lề, tại điểm $C$ nó tựa vào mép trên của hình trụ, các điểm $A$ và $C$ nằm trong mặt phẳng thẳng đứng đi qua các trục của hình trụ (hình 2); góc, đồng

42

tạo nên thanh có đường chân trời bằng α. Thanh được di chuyển dọc theo cạnh trên sao cho nó chạm vào điểm C’ và góc C’OC bằng φ. Hệ số ma sát tối thiểu bằng bao nhiêu thì thanh sẽ cân bằng ở vị trí này?

S. S. Krotov

F1009. Một đĩa phẳng có bán kính R, nằm trong mặt phẳng nằm ngang, bắt đầu chuyển động giữa hai sợi dây thẳng đứng, khoảng cách giữa chúng là R; chiều dài mỗi sợi là 2l, độ cứng k, các đầu sợi cố định (hình 3). Tìm lực tác dụng lên đĩa từ một phía của một sợi dây sau thời gian t, nếu tại thời điểm ban đầu các sợi dây được nới lỏng và chạm vào đĩa thì đĩa đang chuyển động với vận tốc không đổi v. Bỏ qua độ dày của đĩa; không tính đến việc đào tạo.

A. S. Rosenberg, học sinh lớp 9.

F1010. Hai sợi điện môi mang điện có chiều dài vô hạn đặt trong không gian giống như hai đường thẳng vuông góc nhau. Mật độ tuyến tính của suốt chỉ trên các sợi σ. Tìm lực tương tác giữa các sợi dây. Giả sử rằng các sợi chỉ rất mỏng và việc phân phối lại các suốt chỉ sẽ không xảy ra.

I. V. Shutovsky, học sinh lớp 10.

F1011. Một quả bóng bay, lực nâng được tạo ra bởi tác động nóng, được thiết kế sao cho thể tích của khoang được làm nóng của nó gần như không đổi và áp suất trong đó bằng với áp suất bên ngoài, vì khoang ở phần dưới của nó giao tiếp với khí quyển. Việc sưởi ấm trong buồng được thực hiện liên tục để bù lượng nhiệt cung cấp ra môi trường. Một quả bóng như vậy, ở nhiệt độ không đổi, lơ lửng trong khí quyển ở một độ cao nhất định. Độ cao nổi sẽ thay đổi bao nhiêu nếu với công suất gia nhiệt tăng lên, nhiệt độ không khí trung bình trong buồng tăng Δt=0,1 °C so với nhiệt độ ban đầu t=57 °C? Nhiệt độ môi trường t₀=17 °C.

E. N. Yunosov, I. V. Yaminsky

F1012. Đầu của một ống trụ thủy tinh dài bán kính R được đậy bằng một tấm truyền ánh sáng trong đó có một khe thẳng đứng; Chiều rộng d của khe có thể được thay đổi. Một chùm tia sáng song song (hình 4) chiếu vào tấm một góc α; sự chiếu sáng của tấm E. Ở đầu đối diện của hình trụ có một tế bào quang điện. Xây dựng đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của quang thông mà camera nhận được vào chiều rộng khe d. Chiết suất của thủy tinh n.

A. A. Lapides

Lưu ý về lời giải M970 (xem Im lặng số 6, trang 37). Qua thư của độc giả, chúng tôi phát hiện ra rằng điều kiện M970 có ​​thể được hiểu theo hai cách (từ “gần nhất với nó” ám chỉ điểm dừng “của bạn” hoặc điểm dừng vừa bị hủy). đáp số đúng cho n=32 (ở điểm a)) là 3, không phải 2. Cả hai cách giải thích đều đáng được chú ý và chúng ta sẽ quay lại với chúng.