Задачи М996—М1000; Ф1008—Ф1012

Квант 1986, №8 с. 41-42 Тег A8S1

Задачик кванта

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи垦андарты, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наболее трудные задачи отмещаются звездочки. После формирования задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Размещается, не все эти задачи публикуются впервые.

Решения задачи из этого номера можно отправлять не позднее 15 октября 1986 года по адресу: 103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант».
В графе «Кому» написите: «Задачик » Кванта» № 8 — 86 и номера задач, решения которых вы посылаете, например «M996, М997» или «Ф1008». Решения задачи из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. В письмо включите конверт с написанием на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения). Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присвайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте помещите: «Задачик » Кванта», новая задача по физике) или «…новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школьных и класс, в котором вы учитель. Фамилию и имя пишите печатными буквами.
Задачи M996 — M998 и M999 a) этого номера предлагались на XX Всесоюзной математической олимпиде школьников. Полный список задачи олимпиды с решениями будет опубликован в «Кванте» № 11 за этот год.

M996—M1000; Ф1008—Ф1012

M996. Два одинаковых квадрата в пересечении образуют восьмиугольник. Стороны одного квадрата сине, другого — красные. Докажите, что сумма длины синх сторон восьмиугольника равна сумме длин его красных сторон.

В. В. Произвольов

M997. Докажите, что сумма всех чисел вида $\frac{1}{mn}$ , где $m$ и $n$ — натуральные числа, $1 \leq m < n < 1986$ , не является целым числом.

Д. А. Митькин

M998*. Расмотрим все тетраэдры $AXBY$ , описанные около данной сферы. Докажите, что при фиксированных точках $A$ и $B$ сумма углов четырехугольника $AXBY$ , то есть сумма

$\angle AXB + \angle XBY + \angle BYA + \angle YAX,$

не зависит от выбора точек $X$ и $Y$ .

И. Ф. Шарыzin

M999*. a) Докажите, что для любых положительных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ выполено неравенство

$\frac{1}{a_1} + \frac{2}{a_1 + a_2} + \dots + \frac{n}{a_1 + a_2 + \dots + a_n} < 4\left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}\right).$

Докажите, что константу 4 в правой части неравенства 6) можно заменить на 2;
в нельзя заменить числом 2.

Л. Д. Курляндчик, А. С. Меркурьев

Редактиция получила много задачи по математике с помощью «На конкурс М1000». Средние их было немало интересных — со временем они будут опубликованы в «Задачике » Кванта». Однако авторитетноеjorи не сумело выбрать какую-нибудь одну задачу, явно выделяющегося среди остальных. Тогдаjorи обрабатывание на сравнительно малозвесную задачу, до сих пор не потеряшую свою свежести и красоты. И хотя автор не письвал ее на конкурс, именно эта задача стала обилиной «M1000».

M1000. Вдуг $AB$ вписана ломана $AMB$ из двух отрезков ( $AM > MB$ ). Докажите, что основание перпендикулара $KN$ , опущенного из середины $K$ дуги $AB$ на отрезок $AM$ , делит ломанную пополам: $AH = HM + MB$ (рис. 1, с. 42).

Архимед (Сиракузы)

Ф1008. Стержень $AB$ помещен внутри цилиндра. В точке $A$ стержень закреплен шарнирно, в точке $C$ он опирается на верхнюю кромку цилиндра, точки $A$ и $C$ лежат в вертикальной плоскости, проходящей через оси цилиндра (рис. 2); угол, ко-

торый составляет стержень с горизонтом, равен α. Стержень смешают по верхней кромке так, что он касается ее в точке C’ и угол C’OC равен φ. При каком минимальном коэффициенте треня стержень будет находиться в этом положении в равновесии?

С. С. Кротов

Ф1009. Плоский диск радиуса R, расположенный в горизонтальной плоскости, начинают продвигать между двумя вертикальными нитями, расстояние между которых R;лина каждой нити 2l, жесткость k, концы нитей закреплены (рис. 3). Найти силу, действующего на диск со стороны одной нити через время t, если в начальной момент нити были нерастины и касались диска, диск движют с постоянной скоростью v. Толщиной диска пренебречь; трене не учитывать.

А. С. Розенберг, ученик 9 кл.

Ф1010. Две диэлектрические загруженные нити бесконечной длины расположены в пространстве как две скрещивающиеся перpendикularные прямы. Линейная плотность загрудов на нитях σ. Найти силу взаимодействия нитей. Считать, что нити очень тонкие и перераспределение загрудов не проискодит.

И. В. Шутовский, ученик 10 кл.

Ф1011. Воздуший шар, подъемная сила которого создается горячим воздейством, устроен так, что объем его обогреваемой камеры практически постоянен, а давление в ней равно внешнему давлению, так как камера в нижней своей части сообщается с атмосферой. Обогрев в камере производится постоянно для компенсации теплоподачи в окружающей среду. Такой шар при постоянной мощности нагреваемой плавает в атмосфере на опеределенной высоте. Насколько изменится высота плавания, если при увеличении мощности нагреваателя средняя температура воздуха в камере увеличится на Δt=0,1 °C от начальной температуры t=57 °C? Температура окружающей среды t₀=17 °C.

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Ф1012. Торец длиного стеклянного цилиндра радиуса R закрыт светопроприницаемой пластинкой, в которой имеется вертикальная щель; ширину d щеллю можно менять. На пластинку под углом α падает пучок параллельных световых лучей (рис. 4); освещенность пластинки E. У противоположного торца цилиндра находится фоотелемент. Построить график зависимости светового потока, принимаемого фоотелементом, от ширины щеллю d. Показатель преломления стекла n.

А. А. Лапидес

Замечание к решению М970 (см. «Кваит» № 6, с. 37). Из писем читателей мы обнаружили, что условие М970 можно понять двояко (слова «ближайшие к ней» отнесится к «своей» остановке или к только что отмененной). Правильный ответ при n=32 (в пункте a)) — 3, а не 2. Обе трактовки заслуживают внимание, и мы еще вернемся к ним.