Решения задач М976—М980; Ф988—Ф992

44

atmospheric pressure (because the lower part of the chamber communicates with the atmosphere), is constantly heated to compensate heat losses to the surroundings. For a fixed power of the heater, such an aerostat floats at a determined altitude. How will this altitude change, if the heating power is increased, leading to an increase of $\Delta t=0.1$ °C in the mean temperature in the chamber, which initially equalled $t=57$ °C? The surrounding temperature is $t_0=17$ °C.

E. N. Yunosov, I. V. Yaminski

P1012. The left extremity of a long glass cylinder of radius $R$ is obstructed by an opaque thin disk with a vertical slit whose width $d$ can be changed. A beam of parallel light rays falls on the disk, forming the angle $\alpha$ with it (see figure Pisc. 4, p. 42); the disk’s illumination is $E$. A photoelement is placed at the other extremity of the cylinder. Plot the dependence of light flux registered by the photoelement on the width of the slit $d$. The refraction coefficient of glass is $n$.

A. A. Lapides

Решения задач

M976—M980; Ф988—Ф992

Поскольку $\angle QAE=\angle QBE=45^\circ$ и точки $A$ и $B$ лежат по одному сторону от отрезка $QE$, вокруг четырехугольника $ABEQ$ можно описать окружность (см. рисунок). Следовательно, $\angle AQE=180^\circ$ — $\angle ABE=90^\circ$, то есть треугольник $AQE$ — прямоугольный равноведренный и $AE=\sqrt{2}$ AQ. Аналогично $AF=\sqrt{2}$ AP. Отсюда, учитывая, что треугольник $AEF$ и $APQ$ имеют общий угол при вершине $A$, получаем, что они подобные с коэффициентом $\sqrt{2}$, и значит, площадь первого вдвое больше площади второго.

Э. Г. Готман

М977. Можно ли с помощью операций сложения, вычитания и умножения из многочленов $f(x)$ и $g(x)$ получить $x$, если: a) $f(x)=x^2+x$, $g(x)=x^2+2$; b) $f(x)=x^2+x$, $g(x)=x^2-2$; c) $f(x)=2x^2+x$, $g(x)=2x$; d) $f(x)=2x^3+x$, $g(x)=x^2$.

ОТВЕТ: в задаче 6) можно, в остальных задачах — нельзя.

Для решения задачи 6) заметим, что $f-g=x+2$, поэтому $(f-g)^2-2(f-g)-f=(f-g)(f-g-2)-f=x(x+2)-x^2-x=x$.

В остальных задачах мы воспользуемся тем, что если многочлен $x$ выражается через $f(x)$ и $g(x)$ с помощью операций сложения, вычитания и умножения, то любое число $a$ выражается таким же образом через числа $f(a)$ и $g(a)$.

a) Возьмем $x=-1$, тогда $f(x)=0$, $g(x)=3$. Оба

45

эти числа делятся на 3, поэтому и любое число, составленное из них при помощи сложения, вычитания и умножения, должно делиться на 3 и, следовательно, отлично от —1.

в) Дробное число $x=1/2$ не может выражаться рассматриваемым способом через целые числа $f(1/2)=1$ и $g(1/2)=1$.

г) Возьмем $x=\sqrt{2}$, тогда $f(x)=5\sqrt{2}$, $g(x)=2$. Любая допустимая условием задачи комбинации чисел $5\sqrt{2}$ и $2$ имеет вид $m+5n\sqrt{2}$, где $m$ и $n$ — целые. Но равенство $\sqrt{2}=m+5n\sqrt{2}$ невозможно, поскольку из него следовало бы, что $\sqrt{2}=m/(1-5n)$ — рациональное число.

С. И. Кублановский

M978. Можно ли в квадрат со сторонай 1 расположить два правильных треугольника со сторонами большие $\sqrt{2}/3$, не налегающих другу на другу?

ОТВЕТ: Нельзя. Достаточно доказать, что любой правильный треугольник со сторонай $\sqrt{2}/3$, лежащий в квадрат со сторонай 1, содержит центра квадрата ($\text{как внутреннюю точку}$).

Докажем это утверждение от противного. Если правильный треугольник $ABC$ не содержит центра квадрата $O$, то у него найдется такая сторона, скажем, $AB$, что треугольник и точка $O$ лежат по разные стороны от прямой $AB$ (см. рисунок). Проведем через $O$ прямую, параллельную $AB$, и опустим из точки $C$ перпендикуляр $CK$ на эту прямую. Пусть $H$ — точка его пересечения со сторонай $AB$, тогда

$$CH<CK\leq CO,$$

но расстояние $CO$, очевидно, не превыходит половины диагонали квадрата (так как точка $C$ лежит внутри квадрата). А поскольку $CH$ — высота треугольника, для длины его стороны мы получаем оценку

$$\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}CH<\frac{2}{\sqrt{3}}CO\leq\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Противоречие.

E. A. Карлов, И. K. Димитров

ОТВЕТ: a) $n-k$ должно быть нечетно; б) единственный исключительный набор (при нечетном $n-k$) $a_1=a_2=\dots=a_k=1/2$.

Пусть $a_1, a_2, \dots, a_k$ — исключительный набор. Положим $n_1=n-k+1$, $n_2=n_3=\dots=n_k=1$; тогда $n_1+n_2+\dots+n_k=n$ и одно из чисел $a_i n_i$ должно быть целым. Но при $i\geq 2$ числа $a_i n_i=a_i$ — не целые, поэтому $a_1(n-k+1)$ — целое, то есть число $a_1(n-k)$ — не целое. Положим теперь $n_1=n-k$, $n_2=2$, $n_3=\dots=n_k=1$. Единственное из произведений $a_i n_i$, которое должно быть целым для этих $n_i$, — это $a_2 n_2=2a_2$, следовательно, $a_2=1/2$. Точно так же доказывается, что $a_i=1/2$ при всех $i$. Но мы уже видели, что число $a_1(n-k+1)=(n-k+1)/2$ — целое; значит, $n-k$ — нечетное число.

E. A. Горин

M980. Внутри выпуклою a) многоугольника, b) многоугольника с вершинами $A_1$,

47

на конька $d=2$ мм. Найти силу треня между коньком и льдом. Удельная треня плавления льда $\lambda=3,3\times10^5$ Дж/кг, плотность льда $q=0,9$ г/cм$^3$. Считать тренло-proводность льда малой.

ление льда под коньком.

За малый промежуток времени $\Delta t$ хоккейст, движясь с постоянной скоростью $v$ ($\Delta t$ столбало, что изменением скорости за это время можно пренебречь по сравнению со значением самой скорости), проходит путь $\Delta x=v \cdot \Delta t$. Работа, совершая при этом силой треня, равна
$$A=F_{\text{тр}} \cdot \Delta x=F_{\text{тр}} v \cdot \Delta t.$$
Масса льда, растящего за это время под коньком, равна $\Delta m=\rho h d v \cdot \Delta t$. Количество тепла, которое потребовалось для плавления этой массы льда, —
$$\Delta Q=\lambda \cdot \Delta m=\lambda \rho h d v \cdot \Delta t.$$
Таким образом, $A=\Delta Q$, или
$$F_{\text{тр}} v \cdot \Delta t=\lambda \rho h d v \cdot \Delta t,$$
откуда
$$F_{\text{тр}}=\lambda \rho h d=3,3 \cdot 10^5 \cdot 0,9 \cdot 10^3 \cdot 3 \cdot 10^{-5} \cdot 2 \times 10^{-3} (\text{H}) \approx 17,8 \text{ H}.$$
Может показаться страным, что в полученное для $F_{\text{тр}}$ выражение не входит скорость движения хоккейста. В действительности искомая сила треня зависит от скорости, поскольку от нее зависит величины $h$. Следовательно, формулированные в задаче условия ответа в полне определенной скорости скольжения.

М. Г. Гаврилов

Ф989. Modelъ тленежки на гусенчном ходу поставили на наклонную плоскость с углом наклона $a=30^\circ$ и отпустили. Найти ускорение модели. Длина модели $l=50$ см, высота $h=2$ см. Гусенцы сделаны из резины, их масса составляет 80 % всей массы модели. Трене в механизме модели пренебрежимо мало.

При таком угле наклона резиновые гусенцы движутся по плоскости без прокалывания. Значит, тепло при движении не выделяется (отсутствует трене между гусенцами и поверхностью и нет треня в механизме модели).

Воспользовемся законом сохранения энергии. Для расчета кинетической энергии учетом, чтолина гусенцимо больше высоты модели, и будем считать, что при движении модели со скоростью $v$ нижняя половина гусенц немодвижна, а верхняя половина имеет скорость $2v$. Тогда кинетическая энергия модели —
$$E_{\kappa}=0,4 m \frac{(2 v)^2}{2}+0,2 m \frac{v^2}{2}=0,9 m v^2$$
($m$ — масса всей модели; $0,4 m$ — масса половины гусенц;; $0,2 m$ — масса модели без гусенц). За малый промежуток времени $\Delta t$ модель опустится на $\Delta h=v \cdot \Delta t \cdot \sin \alpha$, и ее кинетическая энергия увеличится на $\Delta E_{\kappa}=mg v \cdot \Delta t \cdot \sin \alpha$. Если за это время скорость модели увеличилась на $\Delta v$, то $\Delta E_{\kappa}=0,9 m (v+\Delta v)^2-0,9 m v^2 \approx 1,8 m v \cdot \Delta v$, то есть
$$mg v \cdot \Delta t \cdot \sin \alpha=1,8 m v \cdot \Delta v,$$
откуда находится ускорение
$$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{g \sin \alpha}{1,8} \approx 2,7 \text{ m/c}^2.$$
А. И. Вуздин

Ф990. Телловой двигатель представляет собой наполнитель газом цилиндр с поршнем, движение которого ораганчено упорами AA и BB

48

(рис. 1). Газ медленно нареваяют, пока поршень не коснется упоров BB, после чего основание пружины смещают из положения BB в положение ГГ. Затем сосуд медленно охлаждают до тех пор, пока поршень не коснется упоров AA. Тогда основание пружины смещают назад до BB, цилиндр снова нареваяют и т. д. Найти КПД этого движения. Цилиндр заполнен Zeileм; площадь поршня S=10 cm²; жесткость пружины k=10 H/m, длина ее не расстоянием состояний l₀=60 cm. Внешнее давление приять равным нулю.

в равновесии.

Учтем, что длина пружины в нерастворном состоянии равна расстоянию от левой стены сосуда до линии BB (см. данные, приведенные на рисунке 1), поэтому при расширинии газа (при движении поршня от упоров AA до упоров BB) сила упругости пружины пропорциональна объему газа — F_ypр=kx=kV/S, и значит, давление газа —

$$p_{1\rightarrow 2} = \frac{k}{S^2} V.$$

На этом участке объем газа увеличивается от V₁=2·10⁻⁴ m³ до V₂=4·10⁻⁴ m³. Давление газа возрастает от p=k/S²V₁=2·10³ Pa до p₂=k/S²V₂=4·10³ Pa (см. рис. 2).

После того как основание пружины смещили из BB в ГГ, сила упругости пружины уменьшилась. В результате при охлаждении сосуда газа начинает скиматться не сразу, а лишь после того, как давление газа на поршень упадет настолько, что сила давления газа становится равной силе упругости пружины. Это произойдет при p₃=10·0,3/10⁻³ Па=3·10³ Па (см. рис. 2). При дальнейшем охлаждении газ будет скиматться, и давление будет меньше по закону

$$p_{3\rightarrow 4} = \frac{k}{S^2} (V-V_0),$$

где V₀ — объем, занимаемый газом в случае, когда пружина, закрепленая в положении ГГ, оказывается нерастворной: V₀=0,1·10⁻³ m³=1·10⁻⁴ m³. Таким образом, p₄=k/S²(V₁-V₀)=1·10³ Па.

После того как основание пружины переместит из положения ГГ в положение BB, сила упругости возрастет. Поэтому при последующем нагревании газа он начинает расширяться лишь с того момента, когда сила давления газа возрастет до значения силе упругости. Это произойдет при p=p₁=2·10³ Па; в дальнейшем процесс повторяется (см. рис. 2).

Работу газа за один цикл можно найти как площад параллелограмма на рисунке 2:

$$A=0,2 \Pi a \cdot m^3=0,2 \text{Дж.}$$

Тепло газ получает на участках 1→2 и 4→1; учитывая, что газ одноатомный, находится:

$$Q=Q_1+Q_2=A_{1\rightarrow 2}+\Delta U_{1\rightarrow 2}+\Delta U_{4\rightarrow 1}=\frac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1)+\frac{3}{2}vR(T_2-T_1)+\frac{3}{2}vR(T_1-T_4)=\frac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1)+\frac{3}{2}(p_2V_2-p_4V_4)=2,7 \text{Дж.}$$

Таким образом, КПД этого движения —

$$\eta=\frac{A}{Q} \cdot 100 \% \approx 7,4 \%.$$

Полезную работу в этом цикле «симмают» с движением основания пружины — когда

49

Да газ нагрет и его давление велико, он совершает работу большую, чем работа внешних сил при обратном смецении основания пружины.

А. Р. Зильберман

Ф991. В схеме, приведенной на рисунке 1, $U_0=2,4$ В, $R=600$ Ом, $r=200$ Ом, диоды $D_1$ и $D_2$ имеют одинаковые волт-amperные характеристики (красноя кривая на рисунке 2). На эти ток через диод $D_2$.

◆
Будем решать задачу графических.

Разобъем схему на две части — батарейка и резistor (Б+P) (рис. 1a) и цепь с нейнейными элементами (p+Д₂+Д₁) (рис. 16) — и построим их волт-amperные характеристики.

Для участика (Б+P) зависит I(U) нахождение легко:

$$I = \frac{U_0 - U}{R}$$

(при $U \leqslant U_0$)

— прямая $I_{B+P}$ на рисунке 2.

Рис. 1.

Рис. 1a.

Рис. 16.

Рис. 2.

В нейнейной цепи сначала найдем зависимость I(U) для последовательно соедининых резистора $r$ и диода $D_2$ (p+Д₂). Нарисуем прямую $I_r = U/r$ и для каждого значения тока просуммируем значения падений напряжения на $r$ и на $D_2$. Получится кривая $I_{p+D_2}$ (см. рис. 2).

Теперь для каждого значения напряжения найдем полный ток в нейнейной цепи — просуммируем значения токов через $D_1$ и в участике (p+Д₂). Полученная кривая $I_{p+D_1+D_2}$ — волт-amperная характеристика нейнейной цепи, выделенной на рисунке 16. Заметим, что нам не надо строить всю кривую $I_{p+D_1+D_2}$ — достаточно кусочка в районе пересечения этой кривой с волт-amperной характеристикой участика Б+P (с прямой $I_{B+P}$). Точка пересечения этих линей — $U \approx 0,9$ В и $I_{o6\pi} \approx 2,5$ мА — дает значения напряжения и полного тока в цепи (p+Д₁+Д₂). Ток через диод $D_1$ при напряжении 0,9 В равен $I_1 = 1,5$ мА; значит, ток через резistor $r$ и диод $D_2$ равен

$$I_2 = I_{o6\pi} - I_1 = 0,9$$ мА.

Р. З. Алексадров

50

Ф992. При съемке кадра из фильма «Гулливер в стране лилипутов» актера, израющено роль Гулливера, помещили на расстоянии 4 м от кинокамеры с короткофокусным объектом, а актера, исполяншего роль лилипута, — на расстоянии 40 м. На какое расстояние нужно навести объект камеры, чтобы изображение обих зEROев на киноленте были одинаково четки?

Почему при такой съемке использовется короткофокусный объект? Оцените фокусное расстояние такого объектава, если известно, что обычная (некомбинированная) съемка людей с расстояния 5 м проводится объектом с фокусным расстоянием 50 см и глубина резкости при этом 0,5 м.

Будем считать объектив тонкой линзой. На рисунке (см. с. 51) приведена схема построения изображения на пленке в кинокамере.

Изображения обих героев фильма будут одинаково четкими, если любые две точки лилипута и Гулливера, например $A_2$ и $A_1$, будут представлены на киноленте световыми пятнышками одинакового радиуса.

Дейстительные изображения точек $A_1$ и $A_2$, расположенных на расстояниях $d_1$ и $d_2$ от линзы (объектива), находятся в точках $B_1$ и $B_2$ на расстояниях $f_1$ и $f_2$ соответственно. Если экран (кинопленку) помещить в плоскости $BC$ на расстоянии $f$ от линзы, то изображения точек $A_1$ и $A_2$ будут одинаково размыты — вместе точек $B_1$ и $B_2$ на экран будет пятна одинакового радиуса $r = |CB|$. Следовательно, изобрания кинокамеры следует на точку $A$, расположенную на расстоянии $d$ от линзы, такую, что ее изобрание попадет в точку $B$.

Из подобия треугольников $B_1CB$ и $B_1KO$, $B_2CB$ и $B_2KO$ следует:

$$\frac{f-f_1}{f_1} = \frac{r}{R}, \quad \frac{f_2-f}{f_2} = \frac{r}{R},$$

где $R = |OK|$ — радиус диафрагмы объектава (эта величина в основном определлении необходимой глубиной резкости и условиями освещения), и отсюда получаем:

$$\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{2}{f}.$$

С другой стороны, из формулы лилипута следует, что

$$\frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_1}, \quad \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_2}, \quad \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d},$$

где $F$ — фокусное расстояние лилипуты. Подставив эти выражения в (1), получим:

$$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{2}{d},$$

откуда

$$d = 2 \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2}.$$

Подставляя численные значения $d_1=40$ м и $d_2=4$ м, находим, что при комбинированной съемке объективы на точку, находящуюся на расстоянии $d=7,3$ м от объектава.

В конечный ответ не входит величина фокусного расстояния объектава. Зачем же требовать, чтобы он был короткофокусным?

Выразим величины $r/R$ через $d_1$, $d_2$ и $F$:

$$\frac{r}{R} = \frac{(d_1-d_2)F}{2d_1 d_2 - F(d_1 + d_2)};$$

так как $F \ll d_1$, $d_2$, то для получения оценки можно считать, что

$$\frac{r}{R} = \frac{d_1 - d_2}{2d_1 d_2} F,$$

и, следовательно, размытость изображения точек, находящихся на расстоянии $d_1$ и $d_2$ от линзы, прямо пропорциональна фокусному расстоянию.