Как Декарт проводил касательные

5

Как Декарт проводил касательные

Кандидат физико-математических наук
А. Д. ВЕНДУКИДЗЕ

Задача о проведении касательных — одна из важнейших задач геометрии. Этот задачей занимались еще древние греки, которые удалось в некоторых случаях успешно решить ее. В частности, они умели строить касательные к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе… Но у них не было общего метода, и в каждом отдельном случае приходилось действовать соответствующим образом — применять то или иное свойство проводимой касательной (например, в случае окружности опирались на тот известный факт, что касательная перепendlukularна к радиусу, проведенной в точку касания).

В 1637 году вышла одна из известнейших книг в истории науки — «Геометрия» Декарт. В ней автор, наряду с другими важными результатыми своего исследования, приводит и обшир метод проведения касательных — так называемый метод нормальной. (Историки установили, что Декарт владел им еще в 1629 году.) Цель настоящего статьи — познакомить читателя с этим методом.

Начнем с понятия нормали. Нормально линей в данной ее точке называется прямая, проходящая через эту точку перепendlukularно к касательной. В частности (и это важное для метода Декарт), если заданная линей — окружность, то нормаль есть прямая, идущая вдоль радиуса, имеющего конец точки касания. Понятно, что если нам удостоить нормаль, мы без труда построим и касательную. Именно так поступает Декарт: он строит сначала нормаль, а уже потом — касательную (отсюда и название его метода). Для построения нормали Декарт применяет им же разработанный метод координат, что дает ему возможность решить геометрическую задачу алгебраической путем. (Этим, кстати, как бы еще раз подчеркивается единство математики.)

Чтобы построить нормаль в точке $P(x_0; y_0)$ к алгебраической кривой $L$, заданной уравнением $F(x, y)=0$ (Декарт интересовано именно построение нормали, а не вывод ее уравнения), ищется точка пересечения $C(c; 0)$ нормали с осью абсцисс. Если $CP$ есть нормаль, то окружность с центром в точке $C$ и радиусом $CP$ касается данной кривой $L$ в точке $P$ (рис. 1); если центр окружности будет хотя несколько смещен из $C$ в другую точку оси абсцисс $C'$, то окружность радиуса $C'P$ встретиется с данной кривой $L$ в соседстве с точки $P$ по крайней мере еще в одной точке. Таким образом, искомая окружность должна с данной кривой $L$ две или более общие точки, слившиеся в одну. Koординаты точек пересечения кривой $F(x, y)=0$ и окружности $(x-c)^2+y^2=(x_0-c)^2+y_0^2$ находятся совместным решением их уравнения, для чего исключается одна из координат. При совпадении точек пересечения в $P$ корень $x=x_0$ (или $y=y_0$) результатирующего уравнения должен быть по крайней мере двойным, а это накладывает на искому воеличину $c$ определенное ее условие.

Конечно, современному читателю метод Декарт может показаться искусственным и неэфективным. Прежде всего, уравнение касательной к аналитической заданной кривой $F(x, y)=0$ абсциссно автоматически пишется при помощи произвольных (правда, при этом желательно уметь дифференцировать функцию, заданной нелевно). Но даже если и не знать произвольных (а Декарт их не знал), удобнее строить касательную, минуя промежуточные построения: вместе того чтобы описанным выше способом строить окружность, касающийся данной кривой, можно (и даже проще) сразу построить прямую, касающуюся данной кривой. Для нас метод Декарт представляет, в первую очередь, исторический интерес; во вторую очередь он интересен нам (как и Декарту) тем, что позволяет получиться в метода координат.

Свой метод Декарт позволяет на примерах, в том числе на примере эллипса. Рассмотрим и мы этот пример.

6

Рис. 2.

Напомним, что эллипсом называется линия, получная сжатем окружности к ее диаметру. В частности, если окружность $x^2+y^2=a^2$ скать к оси абсцисс, получится эллипс

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. \quad (1)$$

Здесь $b=ta$, где $t$ — коэффициент скатия (рис. 2).

Итак, дан эллипс (1), точка $P=(x_0; y_0)$ на нем, и нужно проверить касательную к эллипсу в этой точке.

Возьем окружность с центром в точке $C=(c; 0)$, проходящую через точку $P$. Ее уравнение имеет вид

$$(x-c)^2+y^2=(x_0-c)^2+y_0^2$$

(здесь $c$ — пока неизвестный параметр), или

$$x^2+y^2-2cx-x_0^2-y_0^2+2cx_0=0. \quad (2)$$

Параметр $c$ следует подобрать так, чтобы окружность (2) имела с эллипсом (1) в $P$ две слившиеся точки пересечения (рис. 3). Для этого необходимо и достаточно, чтобы система уравнения

$$\left\{ \begin{array}{l} b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0, \\ x^2+y^2-2cx-x_0^2-y_0^2+2cx_0=0 \end{array} \right.$$

имела решение $(x_0; y_0)$ и $(x_0; -y_0)$. (Здесь мы учитываем симметрию относительно оси абсцисс — см. рис. 3.)

Исключив $y^2$, получим относительно $x$ квадратное уравнение

$$(a^2-b^2)x^2-2a^2cx-a^2(x_0^2+y_0^2-2cx_0-b^2)=0.$$

Так как оно должно иметь единственный корень, его дискриминант должен равнять нулю, то есть

$$a^4c^2+a^2(a^2-b^2)(x_0^2+y_0^2-2cx_0-b^2)=0.$$

Поскольку $P=(x_0; y_0)$ — точка эллипса, то есть

$$b^2x_0^2+a^2y_0^2=a^2b^2,$$

мы после несложных преобразований приходим к уравнению

$$(a^2c-(a^2-b^2)x_0)^2=0,$$

откуда $c=\frac{(a^2-b^2)x_0}{a^2}$; центр искомой окружности найдет.

Радиус $CP$ найденой окружности лежит на нормали данного эллипса, и остается через $P$ проведи периодикур к $CP$. Это и будет искомая касательная. Найдем ее уравнение.

Предположим, что $0<x_0<a$ и $PT$ — отрезок касательной. Тогда из прямого треугольника $CPT$ (рис. 4)

$$PQ^2=CQ \cdot QT,$$

и так как

$$PQ=y_0,$$

$$CQ=OQ-OC=x_0-\frac{(a^2-b^2)x_0}{a^2}=\frac{b^2x_0}{a^2},$$

получаем $QT=\frac{a^2y_0^2}{b^2x_0^2}$, так что

$$OT=OQ+QT=x_0+\frac{a^2y_0^2}{b^2x_0^2}=\frac{a^2}{x_0}$$

(мы снова токдество $b^2x_0^2+a^2y_0^2=a^2b^2$).

Таким образом, мы нашли точку $T$ пересечения искомой касательной с осью абсцисс: $T=(a^2/x_0; 0)$. (Полученный результат верен и в том случае, когда $-a<x_0<0$, проверьте это!)

Зная две точки касательной $P$ и $T$, уже легко написать ее уравнение

$$y-y_0=k(x-x_0),$$

где угловой коэффициент $k$ находится из условия

$$k=\frac{y_0-0}{x_0-\frac{a^2}{x_0}}=\frac{x_0y_0}{x_0^2-a^2}=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$$

(мы опять воспользовались тем, что $(x_0; y_0)$ — точка эллипса, так что $x_0^2-a^2=-\frac{a^2y_0^2}{b^2}$).

Таким образом, уравнение искомой касательной имеет вид

$$y-y_0=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0).$$