О математическом творчестве школьников

25

О математическом творчестве ШКОЛЬНИКОВ

В нашем журнале довольно редко появляются статьи по математике, написанные школьниками. Это не потому, что старшеклассники не способны выполнить интересную и оригинальную математическую работу. Дело здесь в том, что большинство таких работ былоют узкоопещательными, часто опираются на внешрограммный материал, редко содержат общие математические идеи, полезные для большинства наших читателей. Кроме того, текст заметки в «Кванте» должен быть не только математических корректным и формально правильным, но быть написанным доходчию и ясно, занимательно и методические продуманно. Если наши опытные авторы не всегда справляются с таким требованием, то что же ожидать от научного矽их!

И все же в этом юбилейном, двухсотом номере журнала мы решили поместить пересказ несколько работ школьников (прислаанных в «Кванте» или расссказанных на различных конференции школьников), которые, как нам кажется, должны заинтересовать многие наших читателей. В этих работах есть и перешенные задачи для желающих проверить свои творческие силы.

Равно самопересекающийся ломанье

В работе Андрея Шанна (Москва, школа № 57), написанной в 1984 году, когда Андрей учился в сельом классе, решаются геометрические задачи о ломанях с равным количеством точек самопересечения на каждом звене. Дадим точное определение рассматриваемых ломаных: ломаными тита (n, m), где n≥3, m≥1, называются последовательности из n различных точек A₁, A₂, …, Aₙ (вершин) и n последовательно соединяющих эти точки отрезков A₁A₂, A₂A₃, …, Aₙ-1Aₙ, AₙA₁ (звеневе) таких, что каждое звено пересекаютровно m других звенев, притом в m различных внутренних точках. Например, на рисунке 1 показаны ломанные титы (6, 1), (5, 2) и (9, 2).

Задча 1. При каких n существует ломана тита (n, 1)?

ОТВЕТ: при всех четырех n (n≥6); для решения А. Шанн предъявляет ломаную тита (6, 1), а затем применяет к ней операцию вставки крестика (рис. 2, a) или вставки гармоники (рис. 2, б).

При нечетных же n не существует ломаных тита (n, 1). Верен более общий факт: если оба числа n и m нечетны, то ломаной тита (n, m) не существует. В самом деле, звеня ломаной тита (n, m) пересекаются только попарно, поэтому общее число точек пересечения равно nm/2, что невозможно, когда оба числа n и m нечетны.

Задча 2. Верно ли, что при всяком m существует (для некоторого n) ломаная тита (n, m)?

ОТВЕТ: да; А. Шанн решает эту задачу, начиная с того же примера ломаной тита (6,1), а затем применяет к ней операцию обведения (рис. 2 б, 2).

Задча 3. Для каких пар чисел (n, m) существует ломаная тита (n, m)?

Эта задача не решена до конца, хотя А. Шанн сильно продвинулся в ее решении, использует при этом разные варианты операции суммы (рис. 3). Результаты Андрея можно свести в следующую таблицу:

| ломаная тита (n, m) | существует | не существует | вопрос окрыт |
| :— | :— | :— | :— |
| m — четно | n≥2m+6 или n=m+3 | n≤m+2 | m+4≤n≤2m+5 |
| m — нечетно | n — четно и n≥8m+12 | n — нечетно или n≤m+2 | n — четно и m+3≤n≤8m+10 кроме n=4m+6 |

26

В редакции мы беседовали с А. К. Ковалджи (руководящим, вместе с Н. С. Келлиным, крупном Вечерней математической школи при МИСиСе, где занимается А. Шанин); он рассказал о некоторых других конструкциях, связанных с задачей 3, и оставил нам «таблицу белых пятен» для малых значений $n$ и $m$ (рис. 4). Мы надемемся, что наш читатель сумел постепенно заполнить эти белые пятна. Отметим еще, что имеются красивые задачи о различных классификации ломанных типа $(m, n)$, к которым журнал «Квант» еще намереен вернуться.

Обобщенное уравнение Маркова

Многих читателей занятересовала красивая теория, описывающая решения уравнения Маркова

$$x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz$$

В натуральных числах $(x, y, z)$, о которой рассказываюсь в статье М. Г. Крейна («Квант» 1985, № 4, с. 13). В конце этой статьи автор предлагает исследовать обобщение уравнения Маркова; на этот признав открытикнулся десятиклассик П. Вольф-

Бейн из Киевской физико-mатематической школи-интерната № 2; он расстривает уравнения вида

$$x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 = mx_1x_2\dots x_n,$$

где $n \geqslant 3$, $m$ — натуральное число. Подобно уравнению (1), здесь также каждое решение (если оно существует) естественным образом включается в бесконечное ветвящемся дерево решения. Для каждой решения $(a_1, a_2, \dots, a_k, \dots, a_n)$ в натуральных числах уравнения (2) по каждой его координате $a_k (1 \leqslant k \leqslant n)$ можно построить соедние решения $(a_1, a_2, \dots, a_k, \dots, a_n)$: под-

27

ставив в равенство (2) набор $(a_1, a_2, \dots, x, \dots, a_n)$, решить возникающее при этом квадратное уравнение $x^2 - px + q = 0$, у которого кроме корня $x = a_k$ должны быть второй корень $x = a'_k$. При этом, если $a_1 \geq a_2 \geq \dots \geq a_n$ и $k \geq 2$, то $a'_k > a_1$. Таким образом, из каждой решения можно получить новые, с большей максимальной координатой, и лишь по одной координате — максимальной — переходит к соседнему, «меньшему» решению. Такое движение вверх по дереву решений к меньшим решениям не может продолжаться неограниченно, в конце концов будет достигнут коренное решение $a_1 \geq a_2 \geq \dots \geq a_n$, для которого $a'_1 \geq a_1$, и в дальнейшем подъем невозможен (рис. 5).

II. Вольфбейн различает три типа коренных решений: (I) $a_1 = a_2 = \dots = a_n$; это, при $n = m$, решения вида (1, 1, …, 1), при $n = 3$, $m = 1$ — решение (3, 3, 3), при $n = 4$, $m = 1$ — (2, 2, 2, 2); других нет.

(II) $a'_1 > a_1$; например, при $n = 7$, $m = 5$ такое решение (2, 1, …, 1);

(III) $a'_1 = a_1$; например, при $n = 11$, $m = 5$ такое решение (4, 22, 1, …, 1).

Рассуждания П. Вольфбейна опираются на следующую доказанную им лемму: для коренного решения $a_1 \geq a_2 \geq \dots \geq a_n$ типа П или III обязательно выполняется неравенство

$$ma_3 a_4 \dots a_n < n.$$

Уравнение (2) при $n = m$ (как и уравнение (1), где $n = m = 3$) имеет лишь одно корневое решение (1, 1, …, 1), и из каждого его решения вида $a_1 > a_2 > \dots > a_k > a_{k+1} = \dots = a_n = 1$ внизходят веткировно к $k$ различным (не получаются друг из друга перестановкой координат) соседним решением. Что касается общего случая $m \neq n$, то П. Вольфбейн получил здесь лишь некоторые частиные результаты. Задача полного исследования уравнения (2) в общем случае ещежет своего решения.

Как продиферетировать функцию дробное число раз

Ученик 9-го класса СШ № 57 г. Москва Марат Ровинский придумал, как для любого вещественного числа $s$ определить по функции $f(x)$ новую функцию $-f^{(s)}(x)$ — таким образом, что:

1. Если $s$ — целое неотрицательное число, то $f^{(s)}x$ — $s$-я произвольная в точке $x$.

2. $f^{-1}(x) = \int_0^x f(t)dt$.

3. Если $f(x) = 0$ при $x \leq 0$, то $(f^{(s_1)})(s_2)(x) = f^{(s_1 + s_2)}$.

Из свойств 2 и 3 следует, что если $n$ — натуральное число, то

$$f^{-(n)}(x) = \int_0^x \left( \int_0^x f(t)dt \right) dx_{n-1}.$$

Например,

$$f^{-(2)}(x) = \int_0^x \left( \int_0^x f(t)dt \right) dx_{n-1}.$$

— выражение в скобках рассматривается как функция от переменной $x_1$, по которой затем произвольная интерпроввание.

Как известно,

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) - f(x-h)}{h}.$$

Исходным только для размышления Марата послужила формула

$$f^{(2)}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) - 2f(x-h) + f(x-2h)}{h^2}.$$

Нетрудно показать (по индукции), что

$$f^{(n)}(x) = \lim_{h \to 0} h^{-n} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k f(x-kh).$$

Напомним («Квант», 1986, № 1, c. 23), что $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ элементов.

28

ментов по $k$ — можно выписать по формуле

$$C_n^k = \frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}.$$

Заметим, что права часть этой формулы определяна при любых вещественных значениях $n$. Поэтому можно определить $C_s^k$ по формуле (2) для любых $s$. Например, $C_{-1}^k = (-1) \times (-2) \ldots (-k)/k! = (-1)^k$. Хотя числа $C_s^k$, если $s$ — не натуральное число, уже не имеют никакой комбинаторной интерпретации, для них выполнения все основные свойства биомпалных коэффициентов.

Задание 1. Докажите, что

$$C_s^k + C_{s+1}^k = C_{s+1}^k + 1.$$

Задание 2. Докажите, что

$$\sum_{k_1+k_2=m} C_{s_1}^{k_1} \cdot C_{s_2}^{k_2} = C_{2s}^{m}.$$

Указание. Любые тожества такого сорта доказываются так: левая и правая части как функции переменной $s$ являются многочленами. Поэтому достаточно доказать, что они совпадают при натуральных значениях $s$.

При $s = -1$ формула (1) примет вид

$$f^{(-1)}(x) = \lim_{h \to 0} h \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k C_{-1}^k f(x-kh) = \lim_{h \to 0} h \sum_{k=0}^{\infty} f(x-kh).$$

(В формуле (1) можно считать, что суммирование по $k$ ведется тоже до бесконечности, либо $C_n^k = 0$ при $k > n$). Если $f(x) = 0$ при $x \leq 0$, то формула (3) является просто определением интеграла $\int f(t)dt$. В обшем случае нужно разбить отрезок от 0 до $x$ на $m$ равных частей и устремить $m$ к бесконечности, то есть

$$f^{(s)}(x) = \lim_{m \to \infty} \left( \frac{x}{m} \right)^{-s} \sum_{k=0}^{m} (-1)^k C_{s_1}^{k_1} f \times \left( x-k \frac{x}{m} \right).$$

(4) Тогда $(\alpha f + \beta g)^{(s)}(x) = \alpha f^{(s)}(x) + \beta g^{(s)}(x)$.

Задание 3. Докажите свойство 3.

Указание. Используйте результат задания 2.

Задание 4. Докажите, что для натурального $n$

$$f^{(-n)}(x) = \frac{1}{(n-1)!} \int f(t)(x-t)^{n-1} dt.$$

Задание 5. Докажите, что при $s > 1$ (1-$s$)-я произвольная функция, то действено равной 1, равна $x^{s-1}/\Gamma(s)$, где $\Gamma(s)$ — функция от $s$.

Функция $\Gamma(s)$ — грама-функция Эйлера — одна из важнейших математических функций. Она появляется всегда, когда необходимо определить $n!$ при не натуральных значениях $n$ ($\Gamma(n+1)=n!$ при $n \in N$). Важное свойство грама-функции — функциональное уравнение: $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$. Его легко вывести, воспользоваться свойством 3 дробной произвольной. Задание 6. Докажите, что при $s > 0$

$$f^{(-s)}(x) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^x f(t)(x-t)^{s-1} dt.$$

Вопросом об обобщении понятия $s$-ой произвольной на произвольные значения $s$ издавна занимались многочерей выдающес математики, в том числе Лейбници, Иоганн Бернулли, Эйлер, Фурье, Лиувилль и Риман.

Определение (4), данное М. Ровинским, совпало с одним из способов, который Лиувилль определил дробную произвольную в 30-х годах XIX века. Формула (5) известна как формула Римана — Лиувилля.

Общая неподвижная точка двух функций

В книге известного пользователя С. Улама «Коренные математические задачи» (M.: «Наука», 1964) имеется следующая гипотеза.

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ непрерывные функции, определенные на отрезке $[0; 1]$, принимающие значения, придолжие этого отрезку и также, что $f(g(x))=g(f(x))$ при всех $x \in [0; 1]$; тогда у функций $f$ и $g$ найдется общая неподвижная точка, то есть точка $x_0$, для которой $f(x_0)=g(x_0)=x_0$.

Эта задача была очень популярна среди студентов-mатематicians в середине 60-х — начале 70-х годов, однако все попытки ее решения оказались безспешными. Телегр известно, что гипотеза Улама не верна: есть контрпермер.

Ученик 9-го класса ФМШ-интерната № 18 при МГУ Андрей Слепухин по рекомендации своего учитель, кандидата физико-математических наук А. П. Веселова (кстати, выпускника ФМШ при МГУ), занялся гипотезой Улама в классе многочленов. Точнее, он решал следующую задачу.

Пусть $p(x)$ и $q(x)$ два многочлена также, что $p(q(x))=q(p(x))$ при всех $x \in R$. Верно ли, что существует такая точка $x_0 \in R$, что $p(x_0)=q(x_0)=x_0$, если известно, что сами многочлены $p(x)$ и $q(x)$ имеют неподвижные точки (это, например, значит, что уравнения $p(x)=x$ и $q(x)=x$ имеют корни).

Оказалось, что если бы один из многочленов $p(x)$ или $q(x)$ имеет четную степень, то общая неподвижная точка существует.

Для многочленов нечетной степени доказательство А. Слепухина «не проходит», так что для них вопрос остался открытым.