Квант
Математический кружок

Пифагоровы тетраэдры

Болтянский В. Г.

Квант 1986, №8с. 29-31Тег YAZW

29

Пифагоры тетраэдры

Член корреспондент АПН СССР
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ

Напомним, что треугольник называется пифагоровым, если у него один угол прямой, а отношение любых других сторон рационально (тогда, применяя подобие, можно из него получить прямой угольный треугольник с целыми длинами сторон). По аналогии с этим будем называть треугольр пифагоровым, если его плоские углы при одной из вершин прямые, а отношение любых двух ребер рационально (из него с помощью подобия можно получить треугольр с прямыми плоскими углами при одной из вершин и целыми длинами ребер).

В этой заметке мы выведем «увавение пифагоровых tetraэдров», то есть такоеувавение с трея неизвестными ξ, η, ζ, что любой пифагоров tetraэдр дает рациональное решение этогоувавения, и наоборот, любое рациональное решениеувавения дает пифагор tetraэдр. А затем, пользоваться этимувавением, найдем конкретные примеры пифагоровых tetraэдров.

Пифагоры треугольники

Сначала даим способ описания всех пифагоровых треугольников. На рисунке 1 треугольник OAB — прямой угольный; длины его катетов обозначены через a и b, а длина гипotenузы — через p (букву e резервируем для дальнейшего). Число ξ = a/b+p

условимся называть параметром прямой угольного треугольника OAB (или, точнее, параметром «относительное катета a»). Используя соответствие p²=a²+b², имеем

1+ξ2=(b2+2bp+p2)+a2(b+p)2=2p2+2bp(b+p)2=2pb+p.1+\xi^2 = \frac{(b^2+2bp+p^2)+a^2}{(b+p)^2} = \frac{2p^2+2bp}{(b+p)^2} = \frac{2p}{b+p}.

Из этих равенств непосредственно получаем формулы, выражающие отношения сторон прямой угольного треугольника через его параметр:

2ξ1−ξ2=ab,1+ξ21−ξ2=pb.\frac{2\xi}{1-\xi^2} = \frac{a}{b}, \frac{1+\xi^2}{1-\xi^2} = \frac{p}{b}.

Задача 1. Пусть α — величина угла OAB. Докажите, что параметр ξ треугольника OAB равен tg α/2, и дайте с помощью этого другое доказательство формул (2).

Задача 2. Докажите, что параметр ξ′ треугольника OAB относительно катета b (то есть ξ′ = b/a+p) связана с параметром ξ соответствием ξ′ = \frac{1-\xi}{1+\xi}. Дайте интерпретацию этого соответствия с помощью тригонометрических функций (см. задачу 1).

Из формул (1) (2) непосредственно вытекает следующие утверждения:

для того чтобы прямой угольный треугольник был пифагорным, необходимо и достаточно, чтобы число рациональных. В самом деле, если треугольник пифагов, то из (1) следует, что ξ рационально. Обратно, если ξ рационально, то согласно (2) отношения сторон рациональных, то есть треугольник пифагов.

Уравнение пифагорных tetraэдров

Пусть теперь OABC — tetraэдр, у которого плоские углы при вершине O прямые. Длины ребер, исходящих из вершины O, обозначаем через a, b, c, а длины трех других ребер — через p, q, r (рис. 2). Расмотрим параметры трех прямой угольных треугольников OAB, OBC, OCA:

ξ=ab+p,η=bc+q,ζ=ca+r.\xi = \frac{a}{b+p}, \eta = \frac{b}{c+q}, \zeta = \frac{c}{a+r}.

Тогда по формулам (2) можно выразить отношения сторон этих прямой угольных треугольников через их параметры:

Рис. 1. Рис. 2.

30

ab=2ξ1−ξ2,bc=2η1−η2,ca=2ς1−ς2;\frac{a}{b} = \frac{2\xi}{1-\xi^2}, \frac{b}{c} = \frac{2\eta}{1-\eta^2}, \frac{c}{a} = \frac{2\varsigma}{1-\varsigma^2};

pb=1+ξ21−ξ2,qc=1+η21−η2,ra=1+ς21−ς2.\frac{p}{b} = \frac{1+\xi^2}{1-\xi^2}, \frac{q}{c} = \frac{1+\eta^2}{1-\eta^2}, \frac{r}{a} = \frac{1+\varsigma^2}{1-\varsigma^2}.

Из (4) непредседательно вытекает, что параметры ξ,η,ς\xi, \eta, \varsigma удовлетворяют соответствию

2ξ1−ξ2,2η1−η2,2ς1−ς2=1.\frac{2\xi}{1-\xi^2}, \frac{2\eta}{1-\eta^2}, \frac{2\varsigma}{1-\varsigma^2} = 1.

Это и есть общанное «уравнение пифагоровых тетраэдров».

Задача 3. Докажите, что если три положительных числа ξ,η,ς\xi, \eta, \varsigma каждый из которых меньше единицы, удовлетворяют уравнению (6), то существует тетраэдр с прямыми плоскими углами при одной из вершин, для которого (при обозначениях рисунка 2) справедливый равенства (3) (а потом и равенства (4), (5)).

Задача 4. Докажите, что если ξ,η,ς\xi, \eta, \varsigma — решение неопределенного уравнения (6), то числа

ξ′=1−ξ1+ξ,η′=1−η1+η,ς′=1−ς1+ς\xi' = \frac{1-\xi}{1+\xi}, \eta' = \frac{1-\eta}{1+\eta}, \varsigma' = \frac{1-\varsigma}{1+\varsigma}

также составляют решение этого уравнения («сопряжение решения»). Докажите, что если каждое из чисел ξ,η,ς\xi, \eta, \varsigma положительное и меньше 1, то и каждое из чисел ξ′,η′,ς′\xi', \eta', \varsigma' обладает этим свойством. Каково геометрическое взаимодействие двух сопряженных решений уравнения (6)?

Задача 5. Докажите, что если ξ,η,ς\xi, \eta, \varsigma — решение неопределенного уравнения (6), причем каждое из чисел ξ,η,ς\xi, \eta, \varsigma положительное и меньше 1, то тетраэдр OABCOABC, о котором говорится в задаче 3, может быть получен следующим образом: из точки OO проведется три взаимно перпендикулярных отрезка OA,OB,OCOA, OB, OC, имеющих длины

OA=1,OB=1−ξ22ξ,OC=1−η22ηOA = 1, OB = \frac{1-\xi^2}{2\xi}, OC = \frac{1-\eta^2}{2\eta}

Задача 6. Числа ξ,η,ς\xi, \eta, \varsigma составляют решение неопределенного уравнения (6). Возможно ли, чтобы два из этих чисел были разположены, а третье и разположены? Дайте геометрическую интерпретацию ответа.

Задача 7. Числа ξ,η,ς\xi, \eta, \varsigma составляют решение неопределенного уравнения (6), причем каждое из них положительное и меньше 1. Докажите, что если ξ=m/n,η=p/q\xi = m/n, \eta = p/q (где m,n,p,qm, n, p, q — натуральные), то тетраэдр с прямыми плоскими углами при одной из вершин и длинами выходящих из этой вершины ребер

a=4mnpq,b=2pq=(n2−m2),c=(n2−m2)(q2−p2)a = 4mnpq, b = 2pq = (n^2-m^2), c = (n^2-m^2)(q^2-p^2)

является пифагородым.

Из формул (3)—(5) непредседательно вытекает следующие утверждения: для того чтобы тетраэдр OABCOABC с прямыми плоскими углами при вершине OO был пифагородным, необходимо и достаточно, чтобы параметры ξ,η,ς\xi, \eta, \varsigma (удовлетворяющие уравнению (6)) были разположены. В самом деле, если тетраэдр

ab=2ξ1−ξ2,bc=2η1−η2,ca=2ς1−ς2;\frac{a}{b} = \frac{2\xi}{1-\xi^2}, \frac{b}{c} = \frac{2\eta}{1-\eta^2}, \frac{c}{a} = \frac{2\varsigma}{1-\varsigma^2};

пифагород (то есть отношение любых двух его ребер рационально), то из (3) следует, что ξ,η,ς\xi, \eta, \varsigma рациональны. Обратно, если ξ,η,ς\xi, \eta, \varsigma рациональны, то согласно (4), (5) относение любых двух ребер рационально, то есть тетраэдр пифагород.

Поиск пифагоровых тетраэдров

Мы видим, что задача нахождения пифагоровых тетраэдров алгебраических равносильна задаче нахождения рациональных решений неопределенного уравнения (6) при условиях 0<ξ<1,0<η<1,0<ς<10 < \xi < 1, 0 < \eta < 1, 0 < \varsigma < 1. Легко убедиться прямой проверкой, что следующее тройки являются решениями.

Таблица 1.

| | ξ\xi | η\eta | ς\varsigma |
| :— | :— | :— | :— |
| 1) | 5/6 | 2/11 | 3/13 |
| 2) | 5/8 | 1/11 | 9/13 |
| 3) | 1/7 | 9/11 | 5/16 |
| 4) | 5/6 | 6/11 | 1/17 |
| 5) | 8/9 | 1/11 | 5/17 |
| 6) | 2/5 | 5/11 | 7/18 |
| 7) | 3/4 | 1/10 | 11/21 |
| 8) | 2/13 | 17/22 | 9/25 |
| 9) | 3/7 | 3/8 | 11/25 |
| 10) | 21/23 | 1/24 | 11/25 |
| 11) | 7/18 | 1/22 | 23/25 |

Это дает возможность найти одинаковы пифагородных тетраэдров. Для вычисления длины ребер можно воспользоваться методом задачи 7 (производа, если нужно, сокращение на общий множитель). Ребра этих тетраэдров перечислены в таблице 2.

Заметим еще, что если пифагород тетраэдр OABCOABC дополнитель с ребрами OA,OB,OCOA, OB, OC, то получится «пифагород» парале-

31

лепипед, то есть прямогольный параллелипед с разнородными (или целыми) длинами всех ребер и всех диагоналей граней. На рисунке 3 показан параллелипед, получащийся таким образом с помощью второго из приведенных выше пифагоровых tetraэдров. Оdnako диагональ этого параллелипеда имеет irrationalную длину. Существует ли прямогольный параллелипед, у которого все ребра, все диагонали граней и диагональ всего параллелипеда имеют целые длины, неизвестно.

Рис. 3.

Задача 8. Докажите, что десять из приведенных одинаковатей решений уравнения (6) является попарно сопряженными (в смысле определения, приведенного в задаче 4). Найдите решение, «сопряжение» к одинаковатому решению; найдите соответствующий пифаговный параллелипед.

Задача 9. Изовем прямогольный параллелипед «пифаговым параллелипедом второго рода», если все его ребра, а также диагональ параллелипеда имеют разнородные длины. Докажите, что если x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 — длины ребер прямогольного параллелипеда, а yy — длина его diagonали, то он в том и только в том случае является пифаговым параллелипедом второго рода, если она числа (параметры))

ξ1=x1x3+y,ξ2=x2x3+y\xi_1 = \frac{x_1}{x_3 + y}, \quad \xi_2 = \frac{x_2}{x_3 + y}

рациональные. Докажите, что для этого параллелипеда справедливый соответствие

x1y=2ξ11+ξ12+ξ22,x2y=2ξ21+ξ12+ξ22,\frac{x_1}{y} = \frac{2\xi_1}{1 + \xi_1^2 + \xi_2^2}, \quad \frac{x_2}{y} = \frac{2\xi_2}{1 + \xi_1^2 + \xi_2^2},

x3y=1−ξ12−ξ221+ξ12+ξ22.\frac{x_3}{y} = \frac{1 - \xi_1^2 - \xi_2^2}{1 + \xi_1^2 + \xi_2^2}.

Задача 10. Обобщая результат задачи 9, доказите, что любое разнородное решение неопределенного уравнения

x12+x22+⋯+xn2=y2x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 = y^2

имеет вид

x1=k⋅2ξ1,x2=k⋅2ξ2,…,xn−1=k⋅2ξn−1,x_1 = k \cdot 2\xi_1, \quad x_2 = k \cdot 2\xi_2, \dots, \quad x_{n-1} = k \cdot 2\xi_{n-1},

xn=k(1−ξ12−⋯−ξn−12),y=k(1+ξ12+⋯+ξn−12),x_n = k(1 - \xi_1^2 - \dots - \xi_{n-1}^2), \quad y = k(1 + \xi_1^2 + \dots + \xi_{n-1}^2),

где ξ1,…,ξn−1\xi_1, \dots, \xi_{n-1} — произвольные разнородные числа (параметры) и коэффициент kk также разнороден. Можно ли вы дать геометрическую интерпретацию этого результат?

Задача 11. Обобщите результат задачи 10 на неопределенное уравнение

x12+⋯+xp2=y12+⋯+yq2x_1^2 + \dots + x_p^2 = y_1^2 + \dots + y_q^2

(то есть дайте формулы для нахождения всех разнородных решений).

В заключении остановимся на вопросе о том, как были найдены указывающие выше 11 разнородных решений уравнения (6). Для этого была использована электронная вычислительная машина. Алгоритм для вычисления на ЭВМ был составлен на основе следующих сообщений. Пусть

ξ=ab,η=cd,ξ=ef,\xi = \frac{a}{b}, \quad \eta = \frac{c}{d}, \quad \xi = \frac{e}{f},

(7)

где a,b,c,d,e,fa, b, c, d, e, f — натуральные числа. Идея алгоритма — перебрать все такие шестерики, придавая каждому из шести чисел значения 1, 2, …, 25, по формулам (7) найти соответствующее тройки (ξ,η,ζ\xi, \eta, \zeta) и из них отобрать те, которые удовлетворяют уравнению (6). В действительности целесообразнее, освобождение от значенияелей, вести вычисления не с ξ,η,ζ\xi, \eta, \zeta, а с натуральными числами a,b,c,d,e,fa, b, c, d, e, f. Дело в том, что при работе с разнородными числами ξ,η,ζ\xi, \eta, \zeta компьютер заменил бы их некоторыми десятичными приближениями, которые точно не удовлетворяют бы уравнению (6).

Задача 12. Напишите алгоритм на учебном алгоритмическом языке. Попробуйте его усовершенствовать, чтобы избежать (на самом деле не нужно) полного перебор всех шестериков a,b,c,d,e,fa, b, c, d, e, f.