Советуем прочесть

7

Рис. 4.

После элематриных преобразований окончательно получаем

$$\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1$$

— мы видим, что уравнение касательной как бы родственное уравнение эллипса.

Читатель, знающий произведение, мог все это предвидеть: ведь мы рассматривали эллипс — кривую второго порядка, а произведение уравнения такой кривой — линейные функции.

Хотя уравнение (3) и было выведено при условии $0 < |x_0| < a$, но и в случае $x_0 = 0$ и $|x_0| = a$ прямая, заданная уравнением (3), будет касательной эллипсу, — убедитесь в этом.

В заключение заметим, что уравнение касательной к эллипсу можно найти с помощью ползуясь тем, что эплипс получен сжатием из окружности. Точка $(x_0; y_0)$ эллипса (1) получена при скатании с коэффициентом $t = \frac{b}{a}$ к оси абсцисс из точки $(x_0; t^{-1} y_0)$ окружности $x^2 + y^2 = a^2$. Касательная к окружности в точке $(x_0; t^{-1} y_0)$ перепределилярна радиусу, идущеу в эту точку. Угловой коэффициент радиуса равен $\frac{t^{-1} y_0}{x_0}$; значит, угловой коэффициент касательной к окружности равен $-\left(\frac{t^{-1} y_0}{x_0}\right)^{-1} = -\frac{tx_0}{y_0}$. При скатании к оси абсцисс с коэффициентом $t$ касательная к окружности превращается в касательную к эллипсу, а ее угловой коэффициент уменшается в $t$ раз, то есть делается равным

$$-\frac{t^2 x_0}{y_0} = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}.$$

Однако это рассужждение использует очень частное геометрическое свойство эллипса — его родство с окружностью. Убедиться в общности метода Декарта читатель может, сделав у разженее: ползуясь этим методом, найти уравнение касательной к параболе $y^2 = 2px$ (в точке $(x_0; y_0)$).

Паркеты из правильных многоугольников

(Начало см. на с. 3)

Первая наша задача состоит в том, чтобы найти все решения уравнения (1) с целыми $m_i > 0$. Уравнение (1), сокращая на $2d$, удобно записать в виде

$$\sum m_i \left(1 - \frac{2}{i}\right) = 2.$$

Для каждой решения уравнения (2) надо исследовать соответствующие расположения многоугольников, применяющих к вершине. Например, решение $m_3 = 1, m_4 = 2; m_6 = 1,$

$$\left(1 - \frac{2}{3}\right) + 2 \left(1 - \frac{2}{4}\right) + \left(1 - \frac{2}{6}\right) = 2,$$

соответствует вершины, в которых ходится один треугольник, два квадрата и один шестугольник. Их легко расположить двумя существенно различными способами (рис. 5, а и б). Но легко показать (доказите), что расположению $\sigma$ не соответствует нижкой правильной паркет.

Указанный дано достаточно. Бери-teсь за работу!

Советует прочесть

В серии «Виблотечка «Квант» изделательства «Наука» готовится к выходу в свет книга «Рассказы о физике и физике» (выпуск 53). В этой книге собраны статьи, написанные в разных годы для читателей нашего журнала академиком И. К. Кикоиным, первым главным редактором «Кванта». Мы уверены, что знакомство с «Рассказами…» будет полезным и интересным и сегодняшим школьникам.