Секрет Старого Бондаря

Квант 1986, №8 с. 15-18 Тег KU0Q

мени, там наполняют бочку, отсутствия колчеств во листьх в нее «амфор» (емкость, приятых за единицу измерения), а затем выжигают на бочке вместе — чтобы, не дай бог, не пришлось выполнять эту утомительную процедуру еще раз.

А тут… Парень просовывает медный оконечник линейки через наливное отверстие полной бочки (рис. 1),

Пис. 1.

поперек до «пятки» (самой нижней точки) деревянного днища, и по той пометке на линейке, которая оказалась у наливного отверстия (у верхней точки «пуза» бочки), сразу называет вместе бочки. Бочки были разные— большие и маленькие, более «пузатые» и совсем «худощавые»,— но это не беспокоило парня, он одинаково быстро и уверенно выдавал ответ. «Нужели желания?» — промелькнул в голове у Кеплера.

— Не беспокоитесь, господин математик его величества,— сказал парень, как бы прочитав мысль Кеплера. — Этот способ измерения емкости установлен у нас в Линце городским властями, и их бондарей ручается за точность измерения.

— Нужели для любых бочки?

— Начет любых не знаю, но для бочки здесь, в Австрии,— наверняка,— составил парень.

— Но на каком основании ты так уверен в правильности этого способа?

— ЧERO не знаю, того не знаю. Не стану врать. Говорят, много лет назад жил здесь Старый Бондарь, он предложил вот этот способ. А почему он так предложил — не знаю.

О том, как Кеплер разгадел секрет авторских бондарей, он расскаал в книге «Новая стереометрия винных бочек, приемущественного австрийских, как имеющих самую выгодную форму, и исключительно удобное употребление для них кубического линейки, с присоединением дополнительная к архимедовой стереометрии». Хотя книга была опубликована 370 лет назад (1615 г.), она, как мы увидим, получила и сейчас.

Рис. 2.

цилиндрический бочки (рис. 2). Пусть $ND=\lambda$ ,лина образующей $AB$ равна $2x$ , диаметр дища $AD$ равен $2y$ ; тогда

$x^2+4y^2=\lambda^2,$

(1)

и вместе бочки можно найти по формуле

$v=\frac{1}{2}\pi(\lambda^2-x^2)x.$

(2)

Нетрудно выразить вместе бочки через расстояние $\lambda$ и отношение $(t)$ длины образующей к диаметру дища $(t=x/y)$ . Из (1) и (2) следует, что

$v=2\pi\lambda^3t(4+t^2)^{-\frac{3}{2}}.$

(3)

«Из этих формул видно,— расудил Кеплер,— что емкость цилиндрической бочки не определяется только расстоянием $\lambda$ ; чтобы можно было пользоваться способом австрийских бондарей, мы должны иметь дело с бочками, для которых отношение $t$ зафиксировано $(t=t_0)$ . Каким же образом лучше всего выбрать это отношение? Как выгоднее всего выбрать соответствие между длиной образующей и диаметром дища? Рассуждаем с точки зрения винодela. Он занитесован в выборе— среди всевозможных значений параметра $t$ — такого значения $(t_0)$ , чтобы среди всех бочек, у которых расположение $ND$ равно $\lambda$ , выбранная им бочка имела самый большой объем $(v_0)$ : тогда он может вычислить ее емкость по формуле (3), а если

окажется, что при изготовлении бочки бондарь не сумел точно соблюдати идеальное отношение $t_0$ , а немного отступил от него ( $t \approx t_0$ , но $t > t_0$ или $t < t_0$ ), то вINDел тоже не прогадает: реализная емкость бочки $v$ будет обязательно менше $v_0$ . Таким образом, вINDел назовет объем $v_0$ (и получит с покупателя соответствующее плату), а на самом деле отдаст покупателю немного меньше количество вина, а именно $v$ .

Но, с другой стороны, уважающий себя вINDел не заинтересован в том, чтобы обманнуть покупателя; он заинтересован в том, чтобы емкость реализации бочки (соответствующей реализации выбору параметра $t$ , близком к $t_0$ ) по возможности менше отличалась от емкости $v_0$ , соответствующей лучшей значению параметра ( $t_0$ ). Еще больше в этом заинтересован покупатель. Оказывается, что это тоже достигается при таком выборе параметра $t$ , при котором объем бочки $v$ наиболее.

Владея понятим производной, мы можем легко обосновать это сообщение Кеплера (Кеплеру было намного труднее, чем нам, найти обоснование: ведь его книга вышла за 70 лет до рождения дифференциального исчисления). Воспользовемся следующим образом. Пусть $f(t)$ — какая-нибудь функция от $t$ (ради простоты — такая, которая имеет при $t > 0$ производную первого порядка); пусть $t_0$ — какое-нибудь выборное нами значение аргумента $t$ . Тогда, при малом приращении $h$ , то есть при $t = t_0 + h$ , имеем

$f(t) - f(t_0) = f'(t_0)h + \alpha(h) \cdot h,$

где $\alpha(h) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$ (см. «Алгебра и начала анализа 9—10», п. 22).

Отсюда видим: если $f'(t_0) \neq 0$ , то отклонение $f(t)$ от $f(t_0)$ будет — при малых $h$ — практическим пропорциональным $h$ . Но если $t_0$ — точка максимума (или минимума) для данной функции, то отклонение равно $\alpha(h) \cdot h$ , где $\alpha(h) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$ . Это значит, что вблизи точки экстремума ( $t_0$ ) мало отклонение параметра $t$ от $t_0$ сказывается на изменении функции $f(t)$ существенно слабее (Кеплер говорит: «нечувствительно»), чем вблизи другого значения аргумента $t$ , где $f'(t) \neq 0$ . Применительно к нашему случае (см. формулу (3)) это означает, что выгоднее всего выбор параметра $t$ так ( $t = t_0$ ), чтобы цилиндрическая бочка имела наиболее наиболее высокую вместимость ( $v_0$ ): в этом случае при необходимости и неизбежных на практике — отклонения параметра $t$ от $t_0$ отклонение емкости $v$ бочки от $v_0$ будет «нечувствительным».

Кеплер находится (при заданном $\lambda$ ) то значение относения $t$ , при котором вместимость бочки ( $v$ ) будет наиболее подходящей. Используя понятие произвольной, мы можем это сделать значительно легче и быстрее, чем Кеплер. Воспользовемся формулой (2) для $v$ . Тогда

$v'(x) = \frac{1}{2} \pi(\lambda^2 - 3x^2),$

$x = \lambda / \sqrt{3}, 4y^2 = \lambda^2 - x^2 = 2\lambda^2 / 3, y = \lambda / \sqrt{6},$

$t_0 = x / y = \sqrt{2} \approx 1,41.$

(4)

При таком значении параметра $t$ вместимость цилиндрической бочки будет максимальной (при заданном $\lambda$ ) и будет равна

$v_0 = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} \lambda^3.$

(5)

«Обращусь теперь к более общему случае, — рассудал Кеплер, когда «клепки» бочки (доски, составляющие ее боковую поверхность) будут изогнутыми (а не прямолинейными, как в случае цилиндрической бочки). Такую бочку можно с достагоно хорошего точностью представить себе как составленную из двух одинаковых усеченных конусов, составивных свои большими основаниями (рис. 3).

Рис. 3.

При этом я, конечно, допущу некоотropy неоччитать, но если бочка не очень расстояние $ND$ равно заданному $\lambda$ , выберу ту, которая имеет наиболее высокую вместимость.»

Следуя этому плану решения, предложенному Кеплером, мы можем выразить емкость (v) бочки через расстояние λ, через радиус (y) меньше основания усеченного конуса и через расстояние z=NF (F — основание перpendикуляра, опущенного из точки D меньше основания усеченного конуса на большие основание). Проделаем эти выкладки, воспользовавшись формулой для объема усеченного конуса и учтывая, что высота усеченного конуса равна $DF=\sqrt{\lambda^2-z^2}$ . Несложные преобразования приводят нас к формуле
$v=\frac{2}{3}\pi\left(y^2+(z-y)^2+y(z-y)\right)\times\sqrt{\lambda^2-z^2}.$
(Kеплер суммел выяснить, при каких соотношениях между размерами бочки (инчете говора, при каких значениях y и z при заданном λ) вместеность бочки будет наиболее целиком. Мы могли бы получить результат Кеплера, решив следующее задачу:

Задча а. Докажите, пользоваться понятем произвольной, что среди бочки указанного вида с заданным значением λ расстояния ND наиболее вместемо оказывается цилиндрическая бочка, у которой образующая в $\sqrt{2}$ большие диаметра дишица. (Решение см. на с. 63.) Теперь учетем сообщение Кеплера, что «вблизи своей точки максимума мало изменение аргументов функции нечувствительно сказывается на изменении ее значения». Применительно к нашему случае это означает, что если размеры какой-нибудь бочки мало отклоняются от размеров наличишей бочки (то есть цилиндрической, с относением $AB:AD=\sqrt{2}$ ), то эти отклонения «нечувствительно» сказывается на емкости бочки. Поэтому объем бочки, мало отличишейся от «наилучшей», можно вычислить по той же формуле (5).

《Теперь понятно, — подумал Кеплер, что такое «австрийская» бочка: это бочка, у которой образующая ANB длине диаметра примерно в $\sqrt{2}$ раз. Так как при выборе длины «клепки» $PNQ$ следует еще учеть толщину двух дниц и то, что клепка должна немного выходит за край дниц, то на практике это означает, что клепка должна примерно в полтора раза длине диаметра дниц.»

Более того, Кеплер стал ясно, как найти объем «австрийской бочки» с помощью обычной линейки: надо изменить расстояние ND и вычислить емкость бочки $v_0$ по формуле (5). «Не ведь винодел называл объем бочки без вычислений! — размышлял Кеплер.— Видимо, дело в том, что линейка — необучная, пометки на ней расставлены не так, как на общий линейке. Каким же образом эта линейка прогradирована?…

Сначала надо бы сообщить, что это за тиннстенная «амфора», о которой говорил внодеел. Вероятно, это тоже какой-нибудь бочонок, но его вместеимость принимается за единицу объема. Но если австрийские бочки предопчитают все бочки делать так, чтобы отношение длинны к диаметру основания было оптимальным (около 1,5), то при изготовлении этаlonного бочонка, «амфоры», они вредили от того же соотношения. Пусть для этаlonного бочонка (рис. 4) расстояние $N_1D_1$ равно $\lambda_1$ . Тогда

Рис. 4.

имеем (см. (5)) $1=(\pi/3\sqrt{3})\lambda_1^3$ . Учитывая (5), получаем для емкости любой «австрийской» бочки такого хорошего приближенного формулу: $v_0=(\lambda/\lambda_1)^3$ (амфор). Значит, чтобы найти $v_0$ , нам достаточно знать не $\lambda$ , а относение $\lambda/\lambda_1$ . И даже не само это относение, а его куб. Числа $(\lambda/\lambda_1)^3$ при различных $\lambda$ и надо нанести на линейку, то есть градиировать линейку не равномерно, а по «кубическому закону». На расстоянии от медного оконечника (рис. 5), равном $\lambda_1$ , $2\lambda_1$ , $3\lambda_1$ и т. д., ставить пометки: 1; $8=(2^3)$ ;

Рис. 5.

$27=(3^3)$ и т. д. И вообще — на расстоянии $k\lambda_1$ (к — любое положительное число) ставить пометку, равную $k^3$ . Если я теперь вставлю вот такую линейку в бочку так, чтобы ее медный

оконечник упирался в пятку дница (D), то числовая пометка у наливного ответствия (N) как раз указывает, сколько амфор вместе в бочку.»

Осенью 1615 года по просббе Кеплера в городской ратуше Линца состоялась его встреча со старостой цеха бондарей.

— Господин староста,— начал Кеплера,— меня интересует способ, который австрийские бондари и винодели пользовются для измерения вместености бочек.

— Видите ли, господин математик его величества,— возразил староста,— это произвольный секрет нашего цеха. Эта тайна переходит от одного поколения бондарей к следующему, еще со времен Старого Бондаря.

— Я так и полагал, что когда-то существовал некий превосходный геометр, научивший этому способ ваших бочаров. Но думало, что я сумел разгадать его секрет.

— Тогда скажите, господин математик его величества, в чем, по Ващему мнению, состоит секрет Старо-го Бондаря, и я обещаю подтвердить то, что в ваших словах будет истинным.

— Размышления привели меня к выводу,— ответил Кеплера,— что при изготовлении бочки любых размеров вы, бочары Линца, пользовесь только одним сообщением: чтобы длина клепок была в полтора раза больше, чем поперечник дница.

— Совершенно истинно!— с удивлением подтвердил бочар.

— А кроме того, для измерения емкости бочки вы пользовесь линейкой, на котором деления расположены по «кубическому закону».

— И это правда,— с еще большим удивлением подтвердил староста цеха бондарей, с опасной взглянув на Кеплера.— Да не ясноидец ли вы, господин Кеплер? Я слышал, что вы, как королевский зведец, умете читать прошлое и будущее по расположению звезд. Нужели секрет Старого Бондаря вы разгадали с помощью астроlogии?

— Нет, я его вычислил с помощью математики,— ответил Кеплер, и на этом разговор окончился.

Сухое тренение

(Начало см. на с. 8)

При равномерном движении смычка струна увлекается им и натягивается. Вместе с натяжением струны увлечивается сила треня между смычком и струной. Когда величина сили треня становится максимально возможной, струна начинает прокалывать относительно смычка. Если бы сили треня не зависяла от относительной скорости смычка и струны, то, очевидно, отклонение струны от положения равновесия не изменялось бы.

Но при прокалывании трене уменшается. Поэтому струна начинает движаться к положению равновесия. При этом относительная скорость струны увлечивается, а это еще уменшается сили треня. Когда же струна, совершив колбание, движется в обратном направлении, ее скорость относительно смычка уменшается, и смычок опять захватывает струну. Все повторяется. Так возникла колбанная струпы. Эти колбания незначительные, так как энергия, потеряная струной при ее движении, каждый раз восполяет работу силы треня, подтверждающий струну до положения, при котором струна срывается.

Этим можно и закономить статью о сухом трении — явлении, природу которого мы еще не понимаем достагоно хорошего, но умеем описывать с помощью законов, выполяющихся с удовлетворительной точностью. Это дает нам возможность обьяснять многое физическое явление и делать расчета, необходимые при конструкировании машин.