Паркеты из правильных многоугольников

4

Рис. 2.

постройте самостояльно возможно больше правильных паркетов.

Основная задача

Оказывается, что все разнообразие правильных паркетов можно описать. Если длина $h$ стороны многоугольников паркета задана, то существует только конечное число различных (не накладывающихся друг на друга) правильных паркетов. Сколько именно, я не хочу вам говорить.

Перечислить их все и тем самым ответить на вопрос об их числе — это и есть основная задача, которую вам предстоит решить.

Некоторые указания

Решения задачи естественно начать с исследования устройства вершин паркета. Правильный $n$-угольник имеет $n$ внешних углов (рис. 4), сумма которых равна четыREM прямым углам (убедитесь в этом сами). Поэтому каждый угол правильного $n$-угольника равен

$$a_n = 2d - \frac{4d}{n} = 2\left(1 - \frac{2}{n}\right)d.$$

В верхние паркета должны сохранять многоугольники с суммой углов, равной 4d. Так,

$$a_3 = \frac{2}{3}d, \ a_4 = d, \ a_6 = \frac{4}{3}d, \ a_8 = \frac{3}{2}d,$$

и для паркетов, изображенных на рисунках 1 и 2, имеем:

$$4a_4 = 4d,$$
$$6a_3 = 4d,$$
$$3a_6 = 4d,$$
$$a_4 + 2a_8 = 4d,$$
$$a_3 + 2a_4 + a_6 = 4d.$$

В обшем же случае, обозначая через $m_n$ число прилегающих к верхне $n$-угольников, мы должны получить

$$\sum m_i a_i = 4d,$$

(1)

где в сумму мы включаем слагаемые с теми номерами $i$, для которых $m_i > 0$, а $a_i = 2(1 - 2/i)d$.

(Окончание см. на с. 7)