tứ diện Pythagore

29

tứ diện Pythagore

Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
V. G. BOLTYANSKY

Chúng ta hãy nhớ lại rằng một tam giác được gọi là Pythagore nếu nó có một góc vuông và tỷ lệ của các cạnh còn lại là hợp lý (khi đó, sử dụng sự tương tự, có thể thu được từ nó một tam giác vuông có độ dài các cạnh nguyên). Bằng cách tương tự với điều này, chúng ta sẽ gọi tam giác Pythagore nếu các góc phẳng của nó tại một trong các đỉnh là vuông và tỷ số của hai cạnh bất kỳ là hợp lý (từ đó, sử dụng tính tương tự, chúng ta có thể thu được một tam giác có các góc phẳng tại một trong các đỉnh và độ dài các cạnh nguyên).

Trong lưu ý này, chúng ta sẽ rút ra “sự tôn trọng đối với tứ diện Pythagore”, nghĩa là, mối quan hệ như vậy với các ẩn số ξ, η, ζ mà bất kỳ tứ diện Pythagore nào cũng cho một lời giải hợp lý của tôn trọng này, và ngược lại, bất kỳ nghiệm hợp lý nào của tôn trọng này đều cho một tứ diện Pythagore. Và sau đó, bằng cách sử dụng điều này, chúng ta sẽ tìm thấy các ví dụ cụ thể về tứ diện Pythagore.

tam giác Pythagore

Đầu tiên chúng ta đưa ra cách mô tả tất cả các tam giác Pythagore. Tại hình 1 tam giác OAB là tam giác vuông; chiều dài chân của nó được ký hiệu là a và b, và chiều dài cạnh huyền là p (chúng tôi dành chữ e cho phần sau). Số ξ = a/b+p

Chúng ta thống nhất gọi tham số của tam giác vuông là OAB (hay chính xác hơn là tham số là “chân tương đối a”). Sử dụng sự tương ứng p2=a2+b2, chúng ta có

$$1+\xi^2 = \frac{(b^2+2bp+p^2)+a^2}{(b+p)^2} = \frac{2p^2+2bp}{(b+p)^2} = \frac{2p}{b+p}.$$

Từ những đẳng thức này, chúng ta trực tiếp thu được các công thức biểu thị tỷ lệ các cạnh của một tam giác vuông thông qua tham số của nó:

$$\frac{2\xi}{1-\xi^2} = \frac{a}{b}, \frac{1+\xi^2}{1-\xi^2} = \frac{p}{b}.$$

Bài toán 1. Gọi α là độ lớn của góc OAB. Chứng minh rằng tham số ξ của tam giác OAB bằng tan α/2, và dùng kết quả này để chứng minh một công thức khác cho công thức (2).

Bài toán 2. Chứng minh rằng tham số ξ′ của tam giác OAB đối với cạnh b (tức là ξ′ = b/a+p) liên hệ với tham số ξ bởi tương ứng ξ′ = \frac{1-\xi}{1+\xi}. Giải thích sự tương ứng này bằng cách sử dụng các hàm lượng giác (xem bài toán 1).

Các phát biểu sau đây được suy ra trực tiếp từ công thức (1) (2):

Để một tam giác vuông là Pythagore thì cần và đủ số lượng hợp lý. Thật vậy, nếu tam giác là Pythagogian thì từ (1) suy ra ξ là hữu tỉ. Ngược lại, nếu ξ là số hữu tỉ thì theo (2) tỉ số các cạnh là số hữu tỉ, tức là tam giác Pythagogian.

Phương trình tứ diện Pythagore

Cho OABC là tứ diện có các góc phẳng tại đỉnh O là vuông. Độ dài các cạnh xuất phát từ đỉnh O được ký hiệu là a, b, c và độ dài của ba cạnh còn lại là p, q, r (hình 2). Xét các tham số của ba tam giác vuông OAB, OBC, OCA:

$$\xi = \frac{a}{b+p}, \eta = \frac{b}{c+q}, \zeta = \frac{c}{a+r}.$$

Sau đó, bằng cách sử dụng công thức (2), chúng ta có thể biểu thị tỷ lệ các cạnh của các tam giác vuông này thông qua các tham số của chúng:

Hình 1. Hình 2.

30

$$\frac{a}{b} = \frac{2\xi}{1-\xi^2}, \frac{b}{c} = \frac{2\eta}{1-\eta^2}, \frac{c}{a} = \frac{2\varsigma}{1-\varsigma^2};$$

$$\frac{p}{b} = \frac{1+\xi^2}{1-\xi^2}, \frac{q}{c} = \frac{1+\eta^2}{1-\eta^2}, \frac{r}{a} = \frac{1+\varsigma^2}{1-\varsigma^2}.$$

Từ (4) suy ra các tham số $\xi, \eta, \varsigma$ thỏa mãn sự tương ứng

$$\frac{2\xi}{1-\xi^2}, \frac{2\eta}{1-\eta^2}, \frac{2\varsigma}{1-\varsigma^2} = 1.$$

Đây là “phương trình tứ diện Pythagore” thông dụng.

Bài toán 3. Chứng minh rằng nếu ba số dương $\xi, \eta, \varsigma$, mỗi số nhỏ hơn một thỏa mãn phương trình (6), thì tồn tại một tứ diện có các góc phẳng vuông tại một trong các đỉnh mà (với ký hiệu hình 2) đẳng thức (3) (và sau đó là các đẳng thức (4), (5)).

Bài toán 4. Chứng minh rằng nếu $\xi, \eta, \varsigma$ — lời giải của phương trình vô định (6) thì các số

$$\xi' = \frac{1-\xi}{1+\xi}, \eta' = \frac{1-\eta}{1+\eta}, \varsigma' = \frac{1-\varsigma}{1+\varsigma}$$

cũng tạo thành lời giải của phương trình này (“liên hợp lời giải”). Chứng minh rằng nếu mỗi số $\xi, \eta, \varsigma$ đều dương và nhỏ hơn 1 thì mỗi số $\xi', \eta', \varsigma'$ đều có tính chất này. Tương tác hình học của hai phương trình lời giải liên hợp (6) là gì?

Bài toán 5. Chứng minh rằng nếu $\xi, \eta, \varsigma$ - lời giải của phương trình vô định (6) và mỗi số $\xi, \eta, \varsigma$ đều dương và nhỏ hơn 1, thì tứ diện $OABC$, được thảo luận ở bài toán 3, có thể thu được như sau: từ điểm $O$ ba đoạn thẳng vuông góc với nhau được rút ra $OA, OB, OC$ có độ dài

$$OA = 1, OB = \frac{1-\xi^2}{2\xi}, OC = \frac{1-\eta^2}{2\eta}$$

Bài toán 6. Các số $\xi, \eta, \varsigma$ tạo thành lời giải của phương trình vô định (6). Có thể tìm được hai trong số những số này và số thứ ba không? Đưa ra cách giải thích hình học của đáp số.

Bài toán 7. Các số $\xi, \eta, \varsigma$ tạo thành lời giải của phương trình bất định (6), và mỗi số đều dương và nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng nếu $\xi = m/n, \eta = p/q$ (trong đó $m, n, p, q$ là tự nhiên) thì một tứ diện có các góc mặt phẳng vuông tại một trong các đỉnh và độ dài của các cạnh nổi lên từ đỉnh này

$$a = 4mnpq, b = 2pq = (n^2-m^2), c = (n^2-m^2)(q^2-p^2)$$

là Pythagore.

Các phát biểu sau đây được suy ra trực tiếp từ các công thức (3)–(5): để tứ diện $OABC$ có góc phẳng tại đỉnh $O$ là Pythagore thì điều cần thiết và đủ là các tham số $\xi, \eta, \varsigma$ (thỏa mãn phương trình (6)) được sắp xếp. Thật vậy, nếu tứ diện

$$\frac{a}{b} = \frac{2\xi}{1-\xi^2}, \frac{b}{c} = \frac{2\eta}{1-\eta^2}, \frac{c}{a} = \frac{2\varsigma}{1-\varsigma^2};$$

Pythagoras (nghĩa là tỷ lệ của hai cạnh bất kỳ của nó là hữu tỉ), thì từ (3) suy ra rằng $\xi, \eta, \varsigma$ là hữu tỉ. Ngược lại, nếu $\xi, \eta, \varsigma$ là hữu tỉ thì theo (4), (5) mối quan hệ của hai cạnh bất kỳ là hữu tỉ, tức là tứ diện Pythagore.

Tìm kiếm tứ diện Pythagore

Chúng ta thấy rằng bài toán tìm tứ diện Pythagore đại số tương đương với bài toán tìm lời giải phương trình vô định (6) trong điều kiện $0 < \xi < 1, 0 < \eta < 1, 0 < \varsigma < 1$. Dễ dàng kiểm chứng bằng cách xác minh trực tiếp rằng các bộ ba sau đây là nghiệm.

Bảng 1.

| | $\xi$ | $\eta$ | $\varsigma$ |
| :— | :— | :— | :— |
| 1) | 5/6 | 2/11 | 3/13 |
| 2) | 5/8 | 1/11 | 9/13 |
| 3) | 1/7 | 9/11 | 5/16 |
| 4) | 5/6 | 6/11 | 1/17 |
| 5) | 8/9 | 1/11 | 5/17 |
| 6) | 2/5 | 5/11 | 7/18 |
| 7) | 3/4 | 1/10 | 11/21 |
| 8) | 2/13 | 17/22 | 9/25 |
| 9) | 3/7 | 3/8 | 11/25 |
| 10) | 21/23 | 1/24 | 11/25 |
| 11) | 7/18 | 1/22 | 23/25 |

Điều này giúp có thể tìm thấy tứ diện Pythagore giống hệt nhau. Để tính độ dài của các cạnh, bạn có thể sử dụng phương pháp bài toán 7 (đạo hàm, nếu cần, giảm theo hệ số chung). Các cạnh của các tứ diện này được liệt kê trong Bảng 2.

Chúng ta cũng hãy lưu ý rằng nếu tứ diện Pythagore $OABC$ bổ sung với các cạnh $OA, OB, OC$, thì chúng ta sẽ có một đường song song “Pythagore”

31

lepiped, nghĩa là một hình chữ nhật song song với chiều dài khác nhau (hoặc toàn bộ) của tất cả các cạnh và tất cả các đường chéo của các mặt. hình 3 thể hiện hình song song thu được bằng cách sử dụng hình thứ hai trong tứ diện Pythagore ở trên. Tuy nhiên, đường chéo của hình song song này có độ dài không hợp lý. Người ta không biết liệu có một hình chữ nhật song song trong đó tất cả các cạnh, tất cả các đường chéo của các mặt và đường chéo của toàn bộ hình song song có độ dài nguyên hay không.

Hình 3.

Bài toán 8. Chứng minh rằng mười trong số các phương trình lời giải giống nhau đã cho (6) là liên hợp từng cặp (theo nghĩa của định nghĩa ở bài toán 4). Tìm lời giải, “liên hợp” của lời giải giống hệt nhau; tìm đường song song Pyphagian tương ứng.

Bài toán 9. Chúng ta hãy gọi một hình chữ nhật song song là “hình song song Pyphagian loại hai” nếu tất cả các cạnh của nó, cũng như đường chéo của hình song song, có độ dài không giống nhau. Chứng minh rằng nếu $x_1, x_2, x_3$ là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật song song và $y$ là độ dài đường chéo của nó thì đó là hình song song Pythagogian loại hai khi và chỉ nếu nó là một số (tham số))

$$\xi_1 = \frac{x_1}{x_3 + y}, \quad \xi_2 = \frac{x_2}{x_3 + y}$$

hợp lý. Chứng minh rằng đối với song song này có một sự tương ứng hợp lý

$$\frac{x_1}{y} = \frac{2\xi_1}{1 + \xi_1^2 + \xi_2^2}, \quad \frac{x_2}{y} = \frac{2\xi_2}{1 + \xi_1^2 + \xi_2^2},$$

$$\frac{x_3}{y} = \frac{1 - \xi_1^2 - \xi_2^2}{1 + \xi_1^2 + \xi_2^2}.$$

Bài toán 10. Tổng quát hóa kết quả của bài toán 9, chứng minh rằng mọi lời giải không đồng nhất của phương trình vô định

$$x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 = y^2$$

trông giống như

$$x_1 = k \cdot 2\xi_1, \quad x_2 = k \cdot 2\xi_2, \dots, \quad x_{n-1} = k \cdot 2\xi_{n-1},$$

$$x_n = k(1 - \xi_1^2 - \dots - \xi_{n-1}^2), \quad y = k(1 + \xi_1^2 + \dots + \xi_{n-1}^2),$$

trong đó $\xi_1, \dots, \xi_{n-1}$ là các số không đồng nhất tùy ý (tham số) và hệ số $k$ cũng không đồng nhất. Bạn có thể đưa ra một giải thích hình học về kết quả này?

Bài toán 11. Tổng quát hóa kết quả của bài toán 10 thành phương trình vô định

$$x_1^2 + \dots + x_p^2 = y_1^2 + \dots + y_q^2$$

(nghĩa là đưa ra công thức tìm tất cả các lời giải không đồng nhất).

---

Để kết luận, chúng ta hãy tập trung vào câu hỏi làm thế nào tìm được 11 phương trình lời giải không đồng nhất (6) được chỉ ra ở trên. Đối với điều này, một máy tính điện tử đã được sử dụng. Thuật toán tính toán trên máy tính được biên soạn dựa trên các thông báo sau. Cho phép

$$\xi = \frac{a}{b}, \quad \eta = \frac{c}{d}, \quad \xi = \frac{e}{f},$$

(7)

trong đó $a, b, c, d, e, f$ là số tự nhiên. Ý tưởng của thuật toán là đi qua tất cả sáu số như vậy, cho mỗi số trong số sáu số có giá trị 1, 2, …, 25, sử dụng công thức (7) để tìm bộ ba tương ứng ($\xi, \eta, \zeta$) và từ chúng chọn ra những số thỏa mãn phương trình (6). Trên thực tế, sẽ tốt hơn, giải phóng khỏi ý nghĩa, thực hiện các phép tính không phải với $\xi, \eta, \zeta$ mà bằng các số tự nhiên $a, b, c, d, e, f$. Vấn đề là khi làm việc với các số không đồng nhất $\xi, \eta, \zeta$, máy tính sẽ thay thế chúng bằng một số phép tính gần đúng thập phân chắc chắn không thỏa mãn phương trình (6).

Bài toán 12. Viết thuật toán bằng ngôn ngữ thuật toán giáo dục. Hãy cố gắng cải thiện nó để tránh (thực tế là không cần thiết) phải tìm kiếm đầy đủ tất cả sáu số $a, b, c, d, e, f$.