Kvant
Trường học trong Kvant

Trường học yêu thích bài toán

Kvant 1987, số 8tr. 44Thẻ 4QZ6

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

44

Chúng ta hãy nâng cả hai vế của đẳng thức vectơ a⃗+b⃗+c⃗=0\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 thành một hình vuông vô hướng. chúng tôi nhận được

a⃗2+b⃗2+c⃗2+2a⃗b⃗+2b⃗c⃗+2a⃗c⃗=0,\vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 2\vec{a}\vec{b} + 2\vec{b}\vec{c} + 2\vec{a}\vec{c} = 0,

trong đó a⃗b⃗=ab\vec{a}\vec{b} = ab cos α\alpha, b⃗c⃗=bc\vec{b}\vec{c} = bc cos β\beta, a⃗c⃗=ac\vec{a}\vec{c} = ac cos γ\gamma, α\alpha, β\beta, γ\gamma là các góc giữa các vectơ tương ứng.

Từ đây

a2+b2+c2=−2(a⃗b⃗+b⃗c⃗+a⃗c⃗)⩽2(∣a⃗b⃗∣+∣b⃗c⃗∣+∣a⃗c⃗∣)<2(ab+bc+ac)=(a+b+c)2−(a2+b2+c2)=1−(a2+b2+c2)a^2 + b^2 + c^2 = -2(\vec{a}\vec{b} + \vec{b}\vec{c} + \vec{a}\vec{c}) \leqslant 2(|\vec{a}\vec{b}| + |\vec{b}\vec{c}| + |\vec{a}\vec{c}|) < 2(ab + bc + ac) = (a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2) = 1 - (a^2 + b^2 + c^2)

(hãy nghĩ xem tại sao sự bất bình đẳng nghiêm ngặt lại xuất hiện trong lý luận của chúng ta).

Vì vậy, 2(a2+b2+c2)<12(a^2 + b^2 + c^2) < 1, a2+b2+c2<1/2a^2 + b^2 + c^2 < 1/2, đó là những gì được yêu cầu.

Bất đẳng thức này cũng chính xác, tức là không thể lấy hằng số k<1/2k < 1/2 sao cho bất đẳng thức a2+b2+c2<ka^2 + b^2 + c^2 < k đúng cho tất cả các vectơ thỏa mãn điều kiện bài toán. Trên thực tế, hãy để k=1/2−εk = 1/2 - \varepsilon. Chúng ta hãy lấy ba vectơ thẳng hàng có độ dài ε\varepsilon, 1/2−ε1/2 - \varepsilon, 1/21/2 tương ứng với các vectơ có độ dài ε\varepsilon và 1/2−ε1/2 - \varepsilon theo một hướng và một vectơ có độ dài 1/21/2 theo hướng ngược lại. Chúng thỏa mãn điều kiện bài toán, nhưng đồng thời

ε2+(12−ε)2+(12)2=12+2ε2−ε>12−ε=k.\varepsilon^2 + \left(\frac{1}{2} - \varepsilon\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + 2\varepsilon^2 - \varepsilon > \frac{1}{2} - \varepsilon = k.

Vấn đề chúng ta đã thảo luận cho phép có những khái quát hóa tự nhiên sau:

Chứng minh rằng tổng bình phương các cạnh của nn-giác có chu vi 1:

a) không nhỏ hơn 1/n1/n;
b) nhỏ hơn 1/21/2;
b) câu nói ở điểm 6) có thể được sử dụng không?

A. A. Konishkov

Trường học yêu thích bài toán

lớp tám

  1. Tìm tất cả các giá trị nguyên của xx mà biểu thức 7x+13x+4\frac{7x+1}{3x+4} lấy giá trị nguyên.
  2. Chứng minh rằng số 210+5122^{10} + 5^{12} là hợp số.
  3. Chứng minh rằng trong bất kỳ hình ngũ giác lồi nào, bạn có thể chọn ba đường chéo để từ chúng tạo thành một hình tam giác.
  4. Cho một hình ngũ giác đều P1P_1 nội tiếp trong một hình tròn và một hình ngũ giác đều P2P_2 ngoại tiếp hình tròn này và chạm vào nó tại các đỉnh của hình ngũ giác P1P_1. Chúng ta hãy vẽ qua các đỉnh của hình ngũ giác P1P_1 và vẽ lại các đường thẳng về các cạnh của nó. Chúng sẽ tạo thành một hình ngũ giác đều P3P_3. Chứng minh rằng nếu a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 là các cạnh của ngũ giác P1,P2,P3P_1, P_2, P_3 thì a32=a22−a12a_3^2 = a_2^2 - a_1^2.
  5. Hai đáy của hình thang có chiều dài là 3 và 15. Có thể bán kính của một hình tròn nội tiếp hình thang có chiều dài là 4 không?

lớp chín

  1. Chứng minh rằng phương trình xy+yz+zx=1xy + yz + zx = 1 có vô số lời giải là số nguyên.
  2. Giải hệ phương trình bằng số dương

{x1+x2+⋯+xn=3,1x1+1x2+⋯+1xn=3.\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_n = 3, \\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n} = 3. \end{cases}

  1. Trong tam giác nhọn ABCABC vẽ các đường cao AA1,BB1,CC1AA_1, BB_1, CC_1, cắt nhau tại điểm HH. Chứng minh công thức bán kính RR của đường tròn ngoại tiếp:

R=12AH2⋅A1HB1H⋅C1H.R = \frac{1}{2}AH^2 \cdot \frac{A_1H}{B_1H \cdot C_1H}.

  1. Các điểm CC và DD nằm trên một đường thẳng, nhưng các điểm AA và BB không nằm trên đường thẳng đó. Dùng compa và thước kẻ, tìm điểm MM trên đường thẳng này sao cho ∠BMD=2∠AMC\angle BMD = 2\angle AMC.
  2. Được biết, tga1⋅tga2…tgan=1tg a_1 \cdot tg a_2 \dots tg a_n = 1. Tìm giá trị lớn nhất có thể có của sản phẩm sina1⋅sina2…sinansin a_1 \cdot sin a_2 \dots sin a_n.

lớp mười

  1. Giải hệ phương trình

x12=x3,x22=x4,…,xn2=xn−1=xn,xn2=xn−1=xn,xn2=xn−1=xn,xn2=xn−1=xn,xn2=xn−1=xn,xn2=xn−1=xn,xn2=xn−1=xn,xn2=xn−1x_1^2 = x_3, x_2^2 = x_4, \dots, x_n^2 = x_n - 1 = x_n, x_n^2 = x_n - 1 = x_n, x_n^2 = x_n - 1 = x_n, x_n^2 = x_n - 1 = x_n, x_n^2 = x_n - 1 = x_n, x_n^2 = x_n - 1 = x_n, x_n^2 = x_n - 1 = x_n, x_n^2 = x_n - 1

  1. Từ hình vuông ABCDABCD từ cạnh aa họ cắt ra bốn hình tròn phẳng nhất, sao cho đường thẳng và hình vuông có một góc chung AA. Kích thước phẳng nhất của hình chữ nhật là gì?

  2. Có thể sử dụng một mặt phẳng để thu được một hình tam giác đều không?

  3. Bốn tia ló ra từ điểm OO trong không gian sao cho góc giữa hai tia bất kỳ bằng nhau. Tìm góc này.

  4. Tại số tự nhiên nào nn thì số n2(1,1)n\frac{n^2}{(1,1)^n} sẽ phẳng nhất?

Zadchit 2, 3, 6, 9-11, 13, 15 được L. D. Kurlyandchik gợi ý cho chúng tôi, bài toán 1, 5 - P. P. Gornusha, bài toán 4 - T. N. Demina, bài toán 8 - Yu. N. Khokhlenko, bài toán 7, 14 - V. A. Yasinsky, bài toán 12 - E. G. Gotman.