Lời giải bài toán M1041—M1045; F1053—F1057

Kvant 1987, số 9 tr. 24-28 Thẻ 8FS1

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Lời giải bài toán
M1041 — M1045, F1053 — F1057

M1041. Trên mặt phẳng cho các biểu thức sau: a) bốn, b) ba đỉnh của một ngũ giác vuông. Sử dụng thước kẻ hai mặt, khôi phục các đỉnh còn lại của nó. (Với đường thẳng có hai cạnh, bạn có thể thực hiện tương tự như đường thẳng thông thường không chia, đồng thời vẽ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho một khoảng bằng chiều rộng của đường thẳng đó.)

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

M1042. Trong lớp tổ chức du lịch tải lại dây. Tất cả các loại đội có thể bao gồm học sinh của lớp này (một, hai, v.v. người, ngoại trừ đội của cả lớp) phải tham gia giải đấu một lần. Chứng minh rằng mỗi

Yếu tố chính của lời giải là cấu trúc của đường phân giác của góc, được hiển thị trong hình 1. Chúng ta cũng sẽ lợi dụng thực tế là bất kỳ cạnh nào của hình ngũ giác thuận tay phải đều có thể nhìn thấy được từ bất kỳ đỉnh nào của nó (ngoại trừ các đầu của cạnh đó) ở một góc π/5. Chúng tôi biểu thị hình ngũ giác cần thiết là ABCDE.

a) Gọi các đỉnh đã cho là A, B, C, D. Để dựng E, chỉ cần thay AE là phân giác của góc kề với góc BAC (∠BAC=π/5, ∠CAE=2π/5) và tương tự DE là phân giác của góc kề CDB (hình 2).

Rõ ràng chỉ cần xét 2 trường hợp: 1) cho các đỉnh A, B, C, 2) cho các đỉnh A, B, D. Trong trường hợp 1 (hình 3) ta dựng AE - phân giác của góc kề BAC, và AD - phân giác của góc EAC; Đỉnh D là giao điểm của AD và phân giác của góc kề ACB. Ta xây dựng E tương tự. Trong trường hợp 2 (hình 4), chúng ta có thể sử dụng tính chất AC và DC là phân giác của các góc BAD và BDF, trong đó DF là phân giác của góc kề ADB. Điều này cho phép bạn xây dựng đỉnh C và sau đó là E.

Một số độc giả đã không chú ý đến cụm từ cuối cùng của điều kiện và cho rằng, theo thông lệ trong nhiều sách về xây dựng hình học, thước kẻ hai mặt cho phép bạn vẽ hai đường thẳng song song cách nhau một khoảng bằng chiều rộng đi qua hai điểm A và B cho trước (như trong hình 5). Với sự hiểu biết này, tất cả các nhiệm vụ xây dựng đều có thể giải quyết được, có thể giải quyết được bằng một bộ công cụ truyền thống - la bàn và thước kẻ (nhưng đường tròn nên được coi là được xây dựng nếu tâm và đoạn bằng bán kính của nó được chỉ định). Sẽ rất thú vị khi tìm hiểu xem liệu điều này có đúng với “thước kẻ hai mặt” theo nghĩa bài toán của chúng ta hay không.

M. I. Gripichk

Hình 4.

Hình 5.

Hãy gọi thêm hai đội nếu một trong số họ bao gồm tất cả các học sinh không có trong đội kia. Mỗi học sinh trong lớp chỉ được tham gia vào một trong hai đội bổ sung, do đó, học sinh đó được bao gồm đúng một nửa số đội. Nhưng hãy sử dụng tất cả các lệnh để đếm số lượng tất cả các thành tích sắp tới. Như vậy, số tiết mục trùng với số tiết mục của mỗi học sinh, tức là tất cả học sinh sẽ biểu diễn trong mỗi tiết mục, tức là có thêm hai đội.

Hãy cho thêm lời giải. Hãy giả sử rằng trong một

Lệnh sẽ được thực hiện với sự ra lệnh của tất cả học sinh khác trong lớp.

M1043. Tập hợp tất cả các số nguyên có thể được chia thành ba tập con sao cho với bất kỳ số nguyên n nào, các số n, n−50, n+1987 đều thuộc ba tập con khác nhau không?

Đáp số: không thể được. Ta sẽ tiến hành chứng minh bằng phản chứng. Giả sử rằng phân vùng được chỉ định trong các điều kiện tồn tại. Chúng ta sẽ viết m≈k nếu các số nguyên m và k thuộc cùng một tập con của phân vùng và m≠k nếu không. Hãy chứng minh rằng n≈n+1937 và n≈n−150

với mọi số nguyên n; từ đây sẽ theo sau 0~1937~2·1937~…~50·1937=
=646·150−50~645·150−50~…~50,
tức là 0~−50 và điều này mâu thuẫn với các điều kiện bài toán.

Hãy gọi một bộ ba số được biểu thị nếu nó chứa một số từ mỗi tập hợp con của phân vùng. Theo các điều khoản của troika
n−50, n, n+1987; n−100, n−50, n+1937 và
n+1937, n+1987, n+2·1987

đại diện cho bất kỳ n (1937=1987−50). Cụ thể, từ bộ ba thứ hai và thứ ba, rõ ràng là n+1937≠n−50 và n+1937≠n+1987, và từ bộ ba thứ nhất - đó là n≠n−50 và n≠n+1987. Điều này tuân theo tuyên bố của chúng tôi: n≈n+1937. Số n+1937 trong bộ ba thứ hai có thể được thay thế bằng n, tức là bộ ba n−100, n−50, n được biểu diễn. Thay n−50 cùng với n vào nó, chúng ta được một bộ ba đại diện khác n−150, n−100, n−50. Từ việc so sánh hai bộ ba này, phát biểu thứ hai như sau: n≈n−150.

S. V. Konyazin

M1044. Chứng minh rằng từ 4 số luôn có thể chọn được 2 số x và y
0≤x−y/1+xy≤1.

Gọi α, β, γ, δ là các arctang của các số này, sắp xếp theo thứ tự tăng dần; Sau đó
−π/2<α≤β≤γ≤δ<π/2<α+π.

Các điểm β, γ, δ chia đoạn [α; α+π] thành bốn đoạn. Độ dài của ít nhất một trong số chúng không vượt quá π/4; với x và y, chúng ta có thể lấy tiếp tuyến của đầu bên phải và bên trái của nó. Thật vậy, ví dụ, nếu β−α<π/4, thì xét đến β−α ≥0, chúng ta có 0<tg(β−α)<1 và đồng thời
tg(β−α)=tgβ−tgα/1+tgβtgα=x−y/1+xy.

(Trong trường hợp (α+π)−δ≤π/4, chúng ta cũng phải sử dụng đẳng thức tg(α+π−δ)=tg(α−δ).)

I. N. Sergeev

M1045. Ở một số quốc gia, một quốc gia nhất định, lãnh thổ của quốc gia đó

Chúng tôi sắp xếp thông báo như sau. Hãy chia tsersto thành 4 ô vuông có cạnh 1 km - các ô vuông hạng 1; Hãy chia mỗi ô vuông này thành

có hình vuông có cạnh 2 km, nhà vua quyết định gọi tất cả cư dân đến cung điện của mình để dự vũ hội lúc 7 giờ tối. Để làm điều này, vào buổi trưa, anh ta gửi một người đưa tin với lệnh có thể chuyển bất kỳ gợi ý nào cho bất kỳ cư dân nào, người này có thể chuyển bất kỳ gợi ý nào cho bất kỳ cư dân nào, v.v. Mỗi cư dân cho đến khi gợi ý đến đều ở nhà (ở một địa điểm đã biết) và có thể di chuyển với tốc độ 3 km/h theo bất kỳ hướng nào. Chứng minh rằng nhà vua có thể tổ chức thông báo để tất cả cư dân thành công đúng lúc vũ hội bắt đầu.

F1053. Trong dây thô chính mỏng có scolcite (ở hiện trường có độ nặng) một dây đồng nhất bên (xem hình). Mặt cắt AB và BC của đoạn ống thô là hình bán nguyệt có bán kính R, các điểm A, B, C nằm trên cùng một phương thẳng đứng; chiều dài dây l = 2πR. Tìm tất cả các điểm trên dây mà tại đó lực căng bằng 0 tại thời điểm đầu dưới của dây ở điểm C.

Giả sử tại thời điểm ghi dấu hình, dây có gia tốc a. Hãy tìm anh ấy.

Trong một khoảng thời gian ngắn Δt, sợi dây chuyển động sao cho đầu của nó, nằm ở điểm C, bị cuốn đi một khoảng Δx=v·Δt, trong đó v là giá trị vận tốc tức thời của sợi dây. Động năng của dây lúc đó tăng lên một lượng

$\Delta K = \frac{m(v + \Delta v)^2}{2} - \frac{mv^2}{2} \approx mv \cdot \Delta v$

(m là khối lượng của dây; chúng ta đã bỏ qua số hạng ~(Δv)²). Thế năng của dây đã thay đổi thành

$\Delta \Pi = \Delta m \cdot gh = m \frac{\Delta x}{l} gh = m \frac{v}{l} gh \cdot \Delta t,$

trong đó Δm là khối lượng của một đoạn dây có chiều dài Δx, nó “chuyển động” từ điểm A đến điểm C, tức là rơi từ độ cao h=4R. Theo định luật bảo toàn năng lượng ΔK=ΔΠ, tức là

$mv \cdot \Delta v = m \frac{v}{l} gh \cdot \Delta t.$

Từ đây, sợi dây được đặt tại một điểm nào đó và chúng ta sẽ tìm thấy nó để thu được các đoạn gia tốc của chúng (giống như cách chúng ta đã sử dụng ở trên). Nếu gia tốc của các đoạn là như nhau thì điều này

F1054. Hai thanh có hình dạng giống nhau được làm từ những vật liệu có tính chất đàn hồi khác nhau - Mô hình vật liệu của Young tương ứng với sự tương ứng của $E_1$ và $E_2$ . Các thanh được dán lại với nhau ở các đầu và phủ một lớp sơn giống nhau để mẫu thu được trông giống như một thanh đồng nhất. Mô hình Young nào của “chất” của thanh này sẽ được đo bởi một người thí nghiệm không biết rằng thanh đó là composite?

Một thanh composite gồm hai thanh đàn hồi mắc nối tiếp với độ cứng bằng $k_1$ và $k_2$ . Độ giãn dài $x$ của thanh composite khi bị kéo căng bằng $x_1+x_2$ , trong đó $x_1, x_2$ là độ giãn dài của thanh thứ nhất và thanh thứ hai. Vì lực kéo đối với các thanh thông thường là như nhau (các thanh đứng yên), nên theo định luật Hooke rằng

$k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2},$

trong đó $k$ là độ cứng của thanh composite.

Độ cứng liên kết với mô hình vật liệu thanh của Young:

$k_1 = E_1 \frac{S}{l}, k_2 = E_2 \frac{S}{l}, k = E \frac{S}{2l},$

trong đó $l$ là chiều dài của mỗi thanh, $S$ là diện tích mặt cắt ngang, $E$ là mô hình của Young về “chất” của thanh composite. Do đó, giá trị $E$ mà người thí nghiệm sẽ nhận được trong các phép đo,

$E = k \frac{2l}{S} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} \frac{2l}{S} = \frac{2E_1 E_2}{E_1 + E_2}.$

V. A. Davydov

F1055. Thiết bị điện P được nối vào mạng điện xoay chiều có hiệu điện thế 220 V thông qua tụ điện có công suất $C = 0,5$ uF (hình 1). Ampe kế hiển thị dòng điện $I = 0,01$ A, số chỉ của vôn kế là $U = 180$ V. Tìm công suất mà thiết bị tiêu thụ từ mạng. Coi ampe kế và vôn kế là lý tưởng.

Hình 1. Hình 2.

Trước tiên chúng ta hãy tìm giá trị hiệu dụng của điện áp trên tụ điện:

$U_C = IX_C = I \frac{1}{2\pi C} = 63,7 \text{ В}$

(ở đây $v = 50$ Hz là tần số dao động của dòng điện xoay chiều trong mạng). Bây giờ hãy vẽ sơ đồ vectơ*) của dòng điện và điện áp cho mạch này (hình 2). Từ sơ đồ, dễ dàng tìm được dwg của pha $\varphi$ giữa dòng điện $I$ và điện áp $U_0$ :

$\varphi = 90^\circ - \arccos \alpha = 90^\circ - \arccos \frac{U_0^2 + U_C^2 - U^2}{2U_0 U_C} \approx 46^\circ.$

Công suất tác dụng mà thiết bị P tiêu thụ bằng công suất tác dụng được giải phóng trong toàn mạch (không có nhiệt tỏa ra trong tụ điện), tức là.

$P = U_0 I \cos \varphi \approx 1,53 \text{ Вт.}$

A. R. Zilberman

*) Bạn có thể đọc về sơ đồ vectơ là gì và cách chúng được xây dựng, chẳng hạn như trong bài viết “Mạch điện xoay chiều” («Kvant», 1986, số 9).

F1056. Trong mạch hiển thị ở hình 1, phím K₃ trước tiên được đóng và phím K₁ và K₂ mở. Tại một thời điểm nào đó, khóa K₁ bị đóng và sau một thời gian t₁ = 0,1 s thì khóa K₂ sẽ bị đóng. Sau một thời gian nữa t₂ = 0,2 s, khóa K₃ bị đóng. Bắt đầu: 1) điện áp tối đa trên tụ điện; 2) dòng điện chạy qua cuộn dây L₁ sau thời gian t₃ = 1 s sau khi đóng công tắc K₁. Đối với điện trở của dây, diode được coi là lý tưởng; L₁ = 1 H, L₂ = 0,5 H, C = 10 µF, U₀ = 10 V.

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

F1057. Một quả tạ gồm hai quả bóng có khối lượng m, được cố định ở hai đầu bằng một sợi dây mỏng có chiều dài 2b, được treo ở vị trí nằm ngang trên hai sợi dây không giãn có chiều dài l, khoảng cách giữa chúng là 2a (hình 1). Chu kỳ rung động xoắn nhỏ của quả tạ bắt đầu.

Sau khi đóng khóa K₁, một dòng điện xuất hiện trong cuộn dây L₁, dòng điện này tăng theo thời gian theo quy luật tuyến tính

$I_1 = \frac{U_0}{L_1} t.$

Điều tương tự sẽ xảy ra ở cuộn L₂ sau khi khóa K₂ được đóng. Tại thời điểm mở chìa khóa K₃ (hình 2)

$I_1 = \frac{U_0}{L_1} (t_1 + t_2) = 3 \text{ A},$

$I_2 = \frac{U_0}{L_2} t_2 = 4 \text{ A},$

và điện tích trên tụ bằng không.

Tại thời điểm điện tích của tụ điện đạt cực đại (sau này nó sẽ giữ nguyên như vậy - diode không cho tụ điện phóng điện), cùng một dòng điện I sẽ chạy qua cả hai cuộn dây, không bằng 0 (hình 3). Mạch điện bao gồm hai cuộn dây và hai pin là siêu dẫn và các pin triệt tiêu lẫn nhau, do đó từ thông, một mạch tùy ý, không thay đổi theo thời gian:

$L_1 I_1 - L_2 I_2 = L_1 I + L_2 I.$

Từ đây chúng ta nhận được đáp số cho câu hỏi thứ hai bài toán:

$I = \frac{L_1 I_1 - L_2 I_2}{L_1 + L_2} = \frac{2}{3} \text{ A}.$

Bắt đầu từ thời điểm chìa khóa K₃ được mở và cho đến khi điện tích tối đa qₘ được thiết lập trên tụ điện, pin đã hoạt động

$A = q_m U_0.$

Khi đó viết định luật bảo toàn năng lượng

$\frac{L_1 I_1^2}{2} + \frac{L_2 I_2^2}{2} + A = \frac{(L_1 + L_2) I^2}{2} + \frac{q_m^2}{2C},$

hoặc

$q_m^2 - 2CU_0 q_m - C (L_1 I_1^2 + L_2 I_2^2 - (L_1 + L_2) I^2) = 0,$

chúng tôi tìm thấy đáp số cho câu hỏi đầu tiên:

$q_m \approx 1,3 \cdot 10^{-2} \text{ KJ}, \ U_m = q_m / C \approx 1300 \text{ B}.$

Lời giải có thể trở nên rõ ràng hơn nếu bạn nhận thấy rằng hai pin có thể được thay thế bằng một pin (tức là các cực dương của pin được kết hợp).

A. R. Zilberman

Trong quá trình dao động tròn, quả tạ quay quanh trục thẳng đứng OO₁. Chúng ta hãy tìm hiểu thế năng và động năng của một quả tạ phụ thuộc như thế nào vào góc quay φ (hình 2).

Giả sử khi quay một góc φ thì trọng tâm của quả tạ tăng lên độ cao Δh (so với vị trí cân bằng). Như có thể thấy từ hình 2, Δh = l - h, trong đó

$h = \sqrt{l^2 - |BB_1|^2} \approx \sqrt{l^2 - a^2 \varphi^2}$

(vì góc quay φ nhỏ, |BB₁| ≈ aφ). Từ đây chúng tôi nhận được:

$l^2 - h^2 \approx a^2 \varphi^2 \iff \Delta h \cdot (l + h) \approx a^2 \varphi^2,$

Ở đâu

$\Delta h \approx \frac{a^2 \varphi^2}{l + h} \approx \frac{a^2 \varphi^2}{2l}$

(với φ Δh nhỏ và l + h ≈ 2l).