Rene Descartes và tác phẩm "Hình học" của ông

15

RENEE MÔ TẢ
VÀ “Hình học” của nó

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. V. DOROFEEVA

Vào ngày 8 tháng 6 năm 1637, tại thành phố Leiden của Hà Lan, theo tiêu đề của Jean Maire, một cuốn sách dài đã được xuất bản với tựa đề “Diễn ngôn về phương pháp định hướng tâm trí và tìm ra chân lý trong khoa học”. Ngoài ra, Dioptics, Meteors và Geometry, là những ứng dụng của phương pháp này.” Tác giả của cuốn sách này là Rene Descartes. Khi đó ông đã 42 tuổi và được coi là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất châu Âu; tuy nhiên, “Diễn ngôn về Phương pháp” là tác phẩm được xuất bản đầu tiên của ông. Anh ấy còn mười ba năm nữa trong cuộc đời phía trước, những tác phẩm đáng kinh ngạc, nhưng ngay cả một phần nhỏ của tác phẩm được in đầu tiên - hình học - cũng đủ để làm nên tên tuổi của anh ấy. Cùng với Hình học của Descartes, phương pháp tọa độ đã đi vào khoa học.

Đường đời

Descartes sinh năm 1596 tại tỉnh Touraine, miền nam nước Pháp trong một gia đình danh giá nhưng nghèo khó. Năm 1597 mẹ ông qua đời. Khi Rene được tám tuổi, báo cáo đã gửi cậu đến trường Cao đẳng LaFlèche, ngay trước khi mở danh mục đặt hàng của Nesuits nhằm khai sáng tính hai mặt đặc quyền.

Trong năm năm đầu tiên ở trường đại học, họ dạy tiếng Latinh và tiếng Hy Lạp, lịch sử, văn học, và sau đó trong ba năm - triết học, logic, toán học và vật lý. Nhớ lại những năm tháng nghiên cứu của mình, Descartes đã viết trong Diễn văn về Phương pháp:

“Tôi đã học ở đó mọi thứ mà người khác đã nghiên cứu, và không hài lòng với thông tin được dạy, tôi đã xem qua tất cả những cuốn sách mà tôi đặt trong tay, trong đó đề cập đến những ngành khoa học hiếm gặp và thú vị nhất… Tôi đặc biệt thích toán học, tính trung thực và rất cao quý trong lý luận của tôi.”

Ông bắt đầu sớm chứng minh tính độc lập cần thiết trong phán đoán.

“Tôi thú nhận rằng tôi sinh ra đã có đầu óc như vậy nên niềm vui chính của tôi khi theo đuổi khoa học nằm ở chỗ tôi lắng nghe ý kiến ​​của người khác, nhưng thực tế là tôi luôn cố gắng tạo ra ý kiến ​​của riêng mình.”

Trong khi chăm chỉ nghiên cứu mọi thứ mà trường cung cấp, tự mình đọc những cuốn sách khoa học đến với mình, Descartes quá cố đã đồng thời cảm thấy thất vọng sâu sắc. Ông nghi ngờ độ tin cậy của kiến ​​thức nhận được. Giáo dục ở trường phổ thông và đại học thời đó mang tính chuyên môn hóa. Nó giả định niềm tin vào giáo huấn của nhà thờ, di sản của thời cổ đại, các cơ quan khoa học, tên gọi và các hiệp ước.

Sau khi tốt nghiệp đại học năm 1614, chàng trai trẻ đã suy nghĩ về kế hoạch cho cuộc sống tương lai của mình.

16

Trong những chuyến du hành, quan sát, thí nghiệm và đột phá, anh đã nhìn thấy con đường dẫn anh khám phá những bí mật của thiên nhiên. Descartes sau này đã viết:

“Tôi đã hoàn thiện việc nghiên cứu sách của mình và quyết định chỉ tìm kiếm khoa học mà tôi có thể tìm thấy trong bản thân mình hoặc trong cuốn sách vĩ đại của thế giới, và tôi đã sử dụng phần còn lại của tuổi trẻ để đi du lịch, nhìn thấy những cánh cửa và quân đội, gặp gỡ những người thuộc các quốc gia khác nhau, thu thập nhiều kinh nghiệm, thử thách bản thân trong những cuộc gặp gỡ mà số phận sẽ gửi đến, và khắp mọi nơi suy ngẫm về những đối tượng gặp phải để rút ra một số lợi ích từ những nghiên cứu như vậy.”

Sau khi tốt nghiệp đại học, Descartes dành một thời gian cho gia đình cha mình, rồi đến Paris, nơi đầu tiên ông sống cuộc sống xã hội được hứa hẹn cho một nhà quý tộc trẻ tuổi và nổi tiếng. Chẳng bao lâu sau, một bước ngoặt đã đến - Descartes tự cô lập mình trong chủ đề Paris Saint-Germain và chủ đề nghiên cứu khoa học. Năm 1616, ông nhận bằng cử nhân luật ở Poitiers.

Năm 1618, Descartes tình nguyện gia nhập quân đội chiến đấu chống lại kẻ thù chung là Pháp và Hà Lan - quân Tây Ban Nha-Áo. Từ năm 1619, ông thực hiện nghĩa vụ quân sự trong quân đội của Công tước xứ Bavaria. Năm 1620 Descartes ở Bohemia, năm sau ở Hungary. Lúc này anh chấp nhận lời giải rời bỏ nghĩa vụ quân sự và trở về Pháp, thăm Đức và Hà Lan.

Sau khi đến thăm cha mình, Descartes tiếp tục những trang viết của mình. Ông đã đến thăm Thụy Sĩ và Ý, nhờ đó thực hiện đầy đủ kế hoạch du lịch giáo dục mà ông đã hình thành khi còn trẻ. Từ năm 1625 Descartes định cư ở Paris. Trong suốt những năm này, ông liên tục gặp gỡ các nhà khoa học, chủ yếu là các nhà toán học và triết học, cũng như các học viên chế tạo dụng cụ quang học.

Ở Paris, Descartes đã phát triển nền tảng cho phương pháp khoa học của mình. Danh tiếng của nhà khoa học trẻ tăng lên nhanh chóng. Họ nói về nó như một hệ thống vật lý sáng tạo. Descartes cảm thấy cần có sự cô độc hoàn toàn để hoàn thành nghiên cứu của mình. Anh quyết định “tránh xa mọi nơi mà anh có thể quen biết”.

Năm 1628, Descartes chuyển đến Hà Lan, lúc đó đang trải qua thời kỳ thịnh vượng về kinh tế và văn hóa. Các thủy thủ của nó đã thực hiện các chuyến đi. Cảng biển và các thành phố lớn phát triển trong nước, nghề thủ công phát triển và các trường đại học xuất hiện. Những tác phẩm khoa học hay nhất được in tại các nhà in ở Hà Lan, bao gồm các tác phẩm Đối thoại của Copernicus và Halley. Và quan trọng nhất, đất nước này nổi bật bởi sự khoan dung tôn giáo cần thiết vào thời điểm đó và sự tự do đáng kể khỏi sự kiểm duyệt.

Descartes sống ở Hà Lan trong hai năm với công việc liên tục. Thời gian của anh ấy được phân bổ như sau: vào buổi sáng - những suy ngẫm dài và lời giải toán học

17

skikh bài toán, sau đó thí nghiệm về quang học, giải phẫu, y học, thực vật học, đồ vật - chữ cái. Ông tiếp tục trao đổi thư từ rộng rãi với các nhà khoa học xuất sắc của Pháp và Hà Lan.

Descartes đã trình bày kết quả của những ý tưởng triết học và thí nghiệm khoa học tự nhiên của mình trong một số tác phẩm đã mang lại cho ông danh tiếng rộng rãi. Ông đã dành rất nhiều nỗ lực để thúc đẩy việc giảng dạy, cố gắng truyền bá nó trong các trường phổ thông và đại học ở Hà Lan. Tuy nhiên, sự mới lạ và táo bạo của các ý tưởng khoa học đã khiến Descartes va chạm với sự giàu có của đạo Tin lành. Anh buộc phải rời Hà Lan.

Năm 1649, Descartes chấp nhận lời đề nghị của Nữ hoàng Thụy Điển Christina, người muốn tập hợp hai nhà khoa học xuất sắc từ châu Âu. Trong một bức thư của mình, anh ấy nói về việc một người “sinh ra trong khu vườn Touraine” chuyển đến Thụy Điển - “đất nước của gấu, tuyết và băng” sẽ khó khăn như thế nào. Ngay sau khi chuyển đi, Descartes bị bệnh và mắc bệnh viêm phổi. Ngày 11 tháng 2 năm 1650 ông qua đời. Năm 1663, các tác phẩm của Descartes bị đưa vào danh sách sách bị nhà thờ biên mục cấm. Mặc dù vậy, những ý tưởng khoa học của Descartes nhanh chóng lan rộng khắp châu Âu, có tác động sâu sắc đến tâm trí những người cùng thời với ông.

Người sáng lập phương pháp khoa học mới

Trong Diễn ngôn về Phương pháp, Descartes đã xây dựng “các quy tắc chính của phương pháp” và lưu ý: “Tôi đã lập một kế hoạch chắc chắn lời giải để tuân thủ chúng mà không có một sai lệch nào”. Đây là những quy tắc.

Đầu tiên: không chấp nhận bất cứ điều gì là đúng cho đến khi bạn thừa nhận nó là sự thật chắc chắn, nghĩa là cố gắng tránh phỏng đoán và thành kiến ​​và chỉ đưa vào con người bạn những gì xuất hiện trong tâm trí tôi một cách rõ ràng và rõ ràng đến mức không cách nào có thể gây ra nghi ngờ.

Thứ hai: chia từng khó khăn đang được giải quyết thành từng cột, càng nhiều càng tốt để giải quyết tốt hơn.

Thứ ba: hướng dẫn dòng suy nghĩ của bạn, bắt đầu từ những đối tượng đơn giản nhất và dễ nhận biết nhất, rồi tăng dần

Trang tiêu đề của ấn bản đầu tiên của “Bài giảng về phương pháp”.

làm việc từng chút một, như thể từng bước, cho đến khi đạt được kiến ​​​​thức về những điều phức tạp nhất, cho phép tồn tại trật tự ngay cả giữa những người không đi trước nhau theo trật tự tự nhiên của sự vật.

Và cuối cùng: lập danh sách kiểm tra thực tế ở mọi nơi cũng như tổng quan để đảm bảo không bỏ sót điều gì.

Descartes nhấn mạnh rằng một lý thuyết khoa học phải dựa trên những nguyên tắc rõ ràng và đơn giản. Cần nghiên cứu, mô tả, phân loại các hiện tượng tự nhiên, tiến hành thí nghiệm và tính toán toán học. Khi nghiên cứu thiên nhiên, bạn chỉ cần dựa vào sức mình chứ không nên chờ đợi sự giúp đỡ từ trên cao, sự mặc khải thần thánh. Những quan điểm này của nhà khoa học không tương thích với thần học và chủ nghĩa kinh viện.

Đối với bài tiểu luận “Diễn ngôn về phương pháp” Descartes đã viết ba phụ lục nhằm làm sáng tỏ và minh họa phương pháp khoa học của ông - “Dioptics”, “Thiên thạch” và “Hình học”. Vấn đề quang học

18

ki, lý thuyết về hiện tượng khí tượng, các nhà toán học có liên quan chặt chẽ đến các vấn đề thực tế mà các nhà hàng hải, kỹ sư, nhà thiên văn học và thợ thủ công trong việc chế tạo các dụng cụ quang học phải đối mặt vào thời điểm đó.

“Dioptrics” và “Thiên thạch”
Vào đầu thế kỷ 17, kính viễn vọng và vi sóng đã đi vào khoa học, mở ra nhiều khả năng thâm nhập vào sự rộng lớn của mọi thứ.

lennoy và đi sâu vào những bí mật của thế giới vi mô. Các nhà khoa học chú ý đã bị thu hút bởi nền tảng lý thuyết của quang học. Người Hà Lan W. Snellius (1580-1620) đã khám phá ra định luật khúc xạ ánh sáng ở ranh giới của hai môi trường và trình bày nó trong các bài giảng của ông tại Đại học Leiden. Descartes đã phát hiện ra định luật tương tự, dường như độc lập với Snell, đã xuất bản và chứng minh nó trong Dioptrics của ông. Sử dụng nó, ông đã tạo ra lý thuyết radiga.

Trong “Thiên thạch”, Descartes đã công bố nguồn gốc của radiga do ông đã xây dựng chính xác đường đi của các tia trong giọt nước djedeva (xem hình 1, thuộc sở hữu của Descartes). Những lời giải thích này, được Newton bổ sung, được đưa ra trong tất cả các sách giáo khoa hiện đại. Descartes đã tiến hành thí nghiệm với một bình thủy tinh hình cầu đặt dưới ánh mặt trời và dựa trên đó, ông đã xây dựng nên lý thuyết về màu sắc của mình. Nếu quan sát thấy rằng, khi ở điểm E (xem hình 1), tia DE tạo một góc xấp xỉ 42° với tia mặt trời FD, thì phần này của bình có vẻ có màu đỏ tươi; Khi góc giảm, các màu radiga khác xuất hiện. Cùng với Kepler, Heugens và Newoth, Descartes là người sáng tạo ra quang học hiện đại.

Trong ứng dụng “Meteora”, các nhà khoa học đã cố gắng tìm ra quy luật hình thành mây, tuyết, mưa đá, sét và khám phá bản chất của gió. Anh ta không thể giải quyết vấn đề bài toán đặt ra trước mắt anh ta ở bất kỳ mức độ nào bởi vì ở thời đại đó họ vẫn chưa biết gì về hiện tượng điện. Công lao chính của Descartes nằm ở chỗ ông đã giải thích các hiện tượng tự nhiên với sự trợ giúp của khoa học, không có chỗ cho sự suy đoán, thành kiến ​​và mê tín.

“Hình học” của Descartes
Phụ lục thứ ba này của “Bài giảng về phương pháp” đã phổ biến tên tuổi của nhà khoa học này ở mức độ lớn hơn những khám phá khác của ông. Descartes đã tạo ra phương pháp tọa độ, với sự trợ giúp của các công nghệ kết nối hình học và đại số được thiết lập. Ngược lại, phương pháp giải đại số bài toán bằng hình học của ông là sử dụng lý thuyết phương trình đại số với lời giải hình học bài toán.

19

Thành phần chính của “Hình học” là một đoạn. Nếu chúng ta thêm phân đoạn $b$ vào phân đoạn $a$, chúng ta sẽ nhận được một phân đoạn mới $a+b$ - tổng của các phân đoạn $a$ và $b$ (hình 2). Làm cách nào để xác định tích của các phân đoạn $ab$? Đối với người Hy Lạp cổ đại, $ab$ là diện tích của hình chữ nhật có cạnh $a$ và $b$ (hình 3). Descartes đã phá vỡ truyền thống hàng thế kỷ này, dẫn đến nhiều bất tiện. $ab$ của anh ấy cũng là một phân đoạn; nó được tìm thấy từ tỷ lệ $x/a=b/1$. hình 4 cho thấy cách Descartes xây dựng đoạn $x=ab$. Tương tự, từ tỷ lệ $x/1=a/b$ người ta có thể thấy đoạn $a$ có thể được chia thành đoạn $b$ như thế nào.

Descartes đã giới thiệu trục hoành độ - đường thẳng mà trên đó điểm $O$, điểm bắt đầu của báo cáo, được bù và chọn một đoạn nhất định làm đơn vị (hình 5). Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể thay đổi độ dài của bất kỳ đoạn nào. Điều này có nghĩa là đối với Descartes, mỗi đoạn tương ứng với một số dương - độ dài của nó. Anh ta thực hiện các phép toán với các đoạn và về bản chất, đây là các phép toán với số thực dương: độ dài của các đoạn được cộng, thay đổi, độ dài của đoạn này được chia cho độ dài của đoạn khác.

Sự hiện diện của trục x cho phép bạn thiết lập kết nối giữa các đường và phương trình. Đặt $F(x,y)=0$ là phương trình đại số $*$), ví dụ: $3y-2x-6=0$. Chúng ta hãy vẽ trên trục hoành một đoạn có độ dài bằng $x$. Từ phương trình $F(x,y)=0$ ta tìm giá trị tương ứng $y$ và vẽ nó trên một đường thẳng vuông góc với trục. Chúng tôi nhận được điểm $M$ (hình 6). Các số $x$ và $y$ được gọi là tọa độ của điểm $M$.

Nếu các giá trị của $x$ thay đổi thì các giá trị tương ứng của $y$ cũng thay đổi và điểm $M$ khi di chuyển sẽ mô tả một đường nhất định $L$.

Kết luận của Descartes: phương trình đại số $F(x,y)=0$ ứng với một đường thẳng $L$ nào đó trên mặt phẳng.

Ví dụ: phương trình $3y-2x-6=0$ của chúng tôi tương ứng với một đường thẳng và phương trình $xy-1=0$ của chúng tôi tương ứng với một hyperbola.

Trước nghiên cứu của Descartes, số âm chỉ gặp trong toán học ở các phương trình đại số lời giải. Chúng không bằng số dương.

*) Đó là phương trình có dạng $F=0$, trong đó $F$ là đa thức.

Phương pháp tọa độ đã đưa Descartes đến cách giải thích hình học về số âm.

Xét phương trình $y^2=x$. Mỗi số dương $x$ ở đây tương ứng với hai giá trị $y$. Đường tương ứng được mô tả tại hình 7. Các đoạn $AK$ và $KB$ nằm ở hai phía đối diện của trục hoành. Họ thuyết phục chúng ta một cách rõ ràng rằng tọa độ âm có quyền tồn tại như tọa độ dương.

Ý tưởng cơ bản của hình học Descartes là các tính chất hình học của đường thẳng có thể được xác định bằng tích của các phép biến đổi đại số của phương trình của chúng. Ví dụ: để tìm giao điểm của đường tròn $(x-2)^2+y^2=1$ và parabol $y^2=2x-3$, bạn cần giải hệ
$$\begin{cases} (x-2)^2+y^2=1, \\ y^2=2x-3. \end{cases}$$

Sử dụng đại số, chúng ta nhận được $(x-2)^2+2x-3=1$. Do đó $x_1=0$, $x_2=2$. Sau đó, chúng tôi tìm thấy $y^2=-3$ hoặc $y^2=1$.

Phương trình $y^2=1$ có hai nghiệm: $y_1=1$ và $y_2=-1$. Trong thuật ngữ của Descartes, $y_1=1$ là nghiệm “đúng” và $y_2=-1$ là nghiệm “sai”. Tuy nhiên, như hình 8 cho thấy, từ quan điểm hình học, cả hai nghiệm đều hoàn toàn bằng nhau.

Phương trình $y^2=-3$, theo thuật ngữ của Descartes, có hai nghiệm “tưởng tượng”. Đây là cái mà ông gọi là số phức (xem bài viết về chúng của L. S. Pontryagin trong «Kvant» Số 2, 1985).

Các gốc “tưởng tượng” không tương ứng với bất kỳ điểm nào trên hình 8. Vậy thì tại sao lại nói về chúng? Họ mang lại gì cho toán học? Đối với những điều này