Рене Декарт и его «Геометрия»

15

РЕНЕ ДЕКАРТ
И ЕГО «ГЕОМЕТРИЯ»

Кандидат физико-mатематических наук
А. В. ДОРОФЕЕВА

Восьмого июня 1637 г. в голландском городе Лейдене в титографии Жана Мэре появился на свет книга с длиным по объцало своего времени названем «Рассужждение о метода, позволяющим направлять разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, Диоптика, Метеоры и Геометрия, которые являются приложениями этого метода». Автора этой книги звал Рене Декарт. Ему шел тогда сорок второй год и он по праву считался одним из крупнейших в Европе математиков; одноко «Рассужждение о метода» было его первым печатным трудом. Впереди у него были еще тринадцать лет жизни, удивительные сочинения, но даже одной небольший части первого печатного труда — геометрия — оказалось достаточно, чтобы нассгеда обессмерть его имя. Вместе с «Геометрией» Декарта в науку вошел метод координат.

Жизненный путь

Декарт родился в 1596 г. в провинции Турень на юге Франции в семье, принадлежащей знанному, но обедневшей роду. В 1597 г. умерла его мать. Когда Рене исполнилась восемь лет, отчет отправил его в коллеж г. ЛаФлеш, незадолго до этого открытий каталогической ordenом незуитов для просвещения привилегированного двоянства.

В течение первых пяты лет в коллеже преподавали латинский и греческий языки, историю, литературу, а затем в течение трех лет — философию, логику, математику и физику. Вспоминая годы учебы, Декарт в «Рассужении о метода» писал:

«Я изучал там все, что изучали другие, и, не довольствуюсь преподаваемыми сведениями, пробегал все подавшие мне под руки книги, трактовавшие о наиболее редкостьх и любопытнейших науках… Особенно нравилась мне математика верность и очень достоинство своих рассужений».

Он рано начал проявлять необходимую самостоятельность суджений.

«Признаюсь, я родился с таким умом, что главное удовольствие при научных занятиях для меня заключилось в том, что я выслушвал чужие мнения, а в том, что я всегда стремился создать свои собственные».

Приложно изучая все, что предлагала школа, прочтывая самостоятельно попадавшие к нему научные книги, онный Декарт в то же время испытывал глубокое разочарование. Он сомневался в достоверности полученных знаний. Обучение в школе и университетах было в то время сложистеским. Оно предполагало веру в церковное учение, наследие античности, научные авторитеты, имена, договора.

Окончив коллеж в 1614 г., юноша обдумывал план дальнейшей жизни.

16

В путьществиях, наблюданиях, экспериментах, развшелиях он видел путь, который приведет его к позаниню тайн приоды. Декарт писал впоследствии:

«Я совершенствовала книжные занятия и решился искать только ту науку, которую мог обрести в самом себе или же в великой книге мира, и употребил остаток моей юности на то, чтобы путьществовать, увидеть двери и армии, встречаться с людьми разных народов, положенный и собрать разнообразный опыт, испытать себя во встречах, которые пошлет судьба, и повсюду поразмыслить над встречашимися предметами так, чтобы извлечь какую-нибудь ползу из таких занятий».

По окончании коллежа Декарт неокончили время провел в семье отца, а затем отправился в Париж, где вначале вел обещную для молодого и знанного дворянина светскую жизнь. Вскоре наступил перелом — Декарт удинился в предмете Парижа Сен-Жермен и предмета занятия науковой. В 1616 г. он получил в Пуатье степень бакалавра права.

В 1618 г. Декарт вступил добровольцем в армию, срававшуюся против общего врага Франции и Голландии — испано-австрийских войск. С 1619 г. он нес военную службу в армии герцога Бавари. В 1620 г. Декарт находился в Богемии, в следующем году в Венгрии. В это время он принял решение оставить военную службу и вернулся во Францию, посетив Германию и Голландию.

Навестив отца, Декарт продолжил свои страницы. Он pobывал в Швейцарии и Италии, таким образом, в полной мере осуществил задуманный в юности план общеобразовательных путешествий. С 1625 г. Декарт обосновался в Париже. Все эти годы он постояно встречался с учеными, главным образом, математicians и философами, а также с мастерами-практиками, изготовляющими оптические инструменты.

В Париже Декарт разработал основы своего научного метода. Слава молодого ученого быстро росла. О нем говорили как о создательной физиосфской системе. Декарт почувствовал необходимость полного уединения, чтобы завершить исследование. Он решил, «удалиться от всех мест, где мог иметь знакомства».

В 1628 г. Декарт переехал в Голландию, пережившую тогда пору экономического и культурного расцвета. Ее моряки совершали путешествия. В стране росли морские порты и крупные города, развивались ремесла, возникали университеты. В типографиях Голландии печатались лучшие научные труды, в том числе сочинения Коперника, «Диалоги» Галлея. А главное, страна отличалась необходимой в то время религиозной терпимостью и значительной свободой от цензуры.

Декарт прожил в Голландии два лет, заполненных непрерывным трудом. Его время распределялось так: утром — продолжительные размышления и решение математических

17

ских задач, затем опыты по оптике, анатомии, медицинне, ботанике, вещерами — письма. Он вели общирную переписку с выдающимся учеными Франции и Голландии.

Результаты философских задуманий и естественногоучных экспериментов Декарт изложил в ряде сочинений, которые принесли ему широкую известность. Он отдавал много сил проаганду учения, стремясь распространить его в школьах и университетах Голландии. Новизна и смелость научных идеей все-tаки приведели Декарт к столковению с протестанскими богатством. Он был вынужден покинуть Голландию.

В 1649 г. Декарт принял предложение шведской королевы Христины, желавший собрать при своем двое выдающихся ученых Европы. В одном из письем он говорил о том, как трудно человеку, «родившемся в садах Турени», переехать в Швецию — «страну медведей, снегов и льдов». Вскоре после переезда Декарт просудился, заболел воспалением легких. 11 февраля 1650 г. он умер. В 1663 г. сочинения Декарт были внесены в список книг, запрещенных каталогической церковью. Несмотря на это, научные идеи Декарт быстрого распространения по Европе, оказавая глубокое воздействие на умы его современников.

Основоположник нового научного метода

В «Рассужждение о метода» Декарт формулировал «главные правила метода» и отметил: «Я принял твердое решение построно соблюдать их без единого отступления». Вот эти правила.

Первое: не принимать за истинное что бы то ни было, прежде чем не признал это несомненно истинным, т. е. старatelю избегать последности и предубежения и включать в свои существия только то, что представляется моему уму так ясно и отчетливо, что никаким образом не может дать повод к сомнению.

Второе: делить каждую из расстатриаемых много трудностей на столбко частей, на сколько потребуется, чтобы лучше их разрешить.

Третье: руководить ходом своих мыслей, начиная с предметов простейших и легко познаваемых, и восхо-

Титульный лист первого издания «Рассужждение о метода».

дить мало-помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных, допуская существование порядка даже среди тех, которые в естественном порядке вещей не предшествуют друг другу.

И последнее: делать всюду настоящее перечни и также обозрые обозры, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено.

Декарт подчеркивал, что в основе научной теории должны лежать ясные и простые принципы. Необходимо изучать, описывать, классифицировать явления природы, проводить эксперименты и математические расчеты. Изучая природу, нужно полагаться лишь на свои силы, а не ждать помощи свыше,ójжественного откровения. Эти взгляды ученого были несовместимы с теологией и схоласткой.

К сочинению «Рассужждение о метода» Декарт написал три приложения, которые должны были развязывать и проиллюстрировать его научный метод,— «Диоптику», «Метеоры» и «Геометрию». Проблемы опти-

18

ки, теории метеорологических явлений, математики были тесно связаны с практическими задачами, стоящими в то время перед мореплавателями, инженерами, астрономами, мастерами по изготовлению оптических инструментов.

«Диоптрика» и «Метеоры»
В начале XVII столетия в науку вошли зрительные трубы и микросоны, открывшие широкий возможности проникновения в просторы все

ленной и в тайны микромира. Внименые ученых привлекли теоретические основы оптики. Голландец В. Снеллиус (1580—1620) открыл закон преломления света на границе двух сред и излагал его в лекциях, которые он читал в Лейденском университете. Этот же закон Декарт открыл, по-видимому, независимо от Снеллиуса, опубликовал и обосновал в своей «Диоптрике». Использов его, он создал теорию радиги.

В «Метеорах» Декарт объявил проискождение радиги благодаря тому, что правильно построил ход лучей в джедевой капле (см. рисок 1, принадлежащий Декарту). Эти объяснения, дополненные Ньюотоном, приводятся во всех современных учебниках. Декарт проводил эксперименты соферических стеклянным сосудом, помещенным на солнце, и на их основе построил свою теорию цветов. Если для наблюдается, нахождение в точке E (см. рис. 1), луч DE образует с солнечным лучом FD угол, примерно равный 42°, то эта часть сосуда кажется наблюдается ярко красной; при уменьшении угла появляется другие цветы радиги. Наряду с Кеплером, Гойгенсом и Ньюотом Декарт является создателем современной оптики.

В приложении «Метеоры» ученыystemилися выяснить законы образования обlakов, снега, града, молнии, исследовать природу ветра. Он не мог сколько-нибудь полно решить поставленную перед собой задачу уже потому, что в ту эпоху еще ничего не знали об электрических явлениях. Главная заслуга Декарт заключится в том, что он объясил явления природы с помощью науки, не оставляя места домыслам, предрассудкам и суевериям.

«Геометрия» Декарта
Это третье приложение к «Рассуждению о метода» обссертило имя ученого в большей степени, чем другие его открытия. Декарт создал метод координат, с помощью которого устанавливают технологии связи геометрии и алгебры. Его метод решать алгебраические задачи с помощью геометрии, наоборот, использовать теорию алгебраических уравнений при решении геометрических задач.

19

Основной элемент «Геометрии» — отрезок. Если к отрезку $a$ приложить отрезок $b$, то получится новый отрезок $a+b$ — сумма отрезков $a$ и $b$ (рис. 2). А как определить произведение отрезков $ab$? У древних греков $ab$ — это площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ (рис. 3). Декарт нарушил эту многоvekовую традицию, приводящую ко многим неудобствам. У него $ab$ — это тоже отрезок; он находится из пропорции $x/a=b/1$. На рисунке 4 показано, как Декарт построил отрезок $x=ab$. Аналогично из пропорции $x/1=a/b$ видно, как можно разделить отрезок $a$ на отрезок $b$.

Декарт введен ось абсцисс — прямую, на которой отмещена точка $O$, являющаяся началом отчета, и выбрал некоторый отрезок за единичный (рис. 5). С его помощью можно изменить длину любого отрезка. Значит, у Декартка каждому отрезку соответствует положительное число — его длина. Он проводит операции с отрезками, а по существу, — это операции с положительным действительным числам: длины отрезков складываются, переменнойются, длина одного отрезка делится на длину другого.

Наличие оси абсцисс позволяет установить связь между линиями и уравнениями. Пусть $F(x,y)=0$ — алгебраическая уравнение $*$), например, $3y-2x-6=0$. Отложим на оси абсцисс отрезок, длина которого равна $x$. Из уравнения $F(x,y)=0$ найдем соответствующее значение $y$ и отложим его на прямой, перпендикулярной оси. Получаем точку $M$ (рис. 6). Числа $x$ и $y$ называются координатами точки $M$.

Если значения $x$ меняются, то меняются соответствующие значения $y$, и точка $M$ при своем движении описывает некоторую линию $L$.

Вывод Декарта: алгебраическому уравнению $F(x,y)=0$ соответствует некоторая линия $L$ на плоскости.

Например, нашему уравнению $3y-2x-6=0$ соответствует прямая, уравнению $xy-1=0$ — гипербола.

До исследований Декарта отрицательные числа встречались в математике лишь при решении алгебраических уравнений. Они не были равноправны с положительным числами.

*) To есть уравнение вида $F=0$, где $F$ — многочлен.

Метод координат привел Декарт к геометрической интерпретации отрицательных чисел.

Рассмотрим уравнение $y^2=x$. Каждый положительному числу $x$ здесь соответствует два значения $y$. Соответствующая линяя изобразена на рисунке 7. Отрезки $AK$ и $KB$ лежат по разные стороны от оси абсцисс. Они наглядно убедают нас в том, что отрицательные координаты имеют такое же право на существование, как и положительные.

Основная идея геометрии Декарта состоит в том, что геометрические свойства линей можно выяснить, произведение алгебраических преобразований их уравнений. Например, чтобы найти точки пересечения окружности $(x-2)^2+y^2=1$ и парабoles $y^2=2x-3$, нужно решить систему
$$\begin{cases} (x-2)^2+y^2=1, \\ y^2=2x-3. \end{cases}$$

Используя приемы алгебры, получаем $(x-2)^2+2x-3=1$. Отсюда $x_1=0$, $x_2=2$. Затем находим $y^2=-3$ или $y^2=1$.

Уравнение $y^2=1$ имеет два корня: $y_1=1$ и $y_2=-1$. По терминологии Декарта, $y_1=1$ — «истинный» корень, а $y_2=-1$ — «ложный» корень. Но, как показывает рисунок 8, с точки зрения геометрии оба корня совершенно равновравны.

Уравнение $y^2=-3$, по терминологии Декарта имеет два «воображаемых» корня. Так он называл комплиексные числа (см. о них статью Л. С. Понтрягина в «Кванте» № 2, 1985).

«Воображаемым» корням не соответствуют никакие точки на рисунке 8. Зачем же тогда о них говорить? Что они дают математике? На эти