Задачи пятидесятой Московской городской математической олимпиады

60

Кипяченим молока на его поверхности появляется плотная пенка. Кастрюля стоит на плите и нагревается от $t_1=98^\circ\text{C}$ до $t_2=99^\circ\text{C}$ за $\tau=0,5$ мин. Через какое время после этого молоко убежит? Общное молоко на 90% состоит из воды, удельная температура воздуха в комнате повышалась от $t_1=17^\circ\text{C}$ до $t_2=21^\circ\text{C}$, а влажность — от $\varphi_1=40\%$ до $\varphi_2=60\%$. При температуре $t_1$ давление насыщенных паров воды $p_1=1,94$ кПа, а при температуре $t_2$ — $p_2=2,49$ кПа. Молярная масса водыного пара $M=0,018$ кг/mоль. Сколько воды испарилось в комнате?

10 класс

1. Жюри олимпиды заседало в комнате площадью $S=20\text{ m}^2$ и высотой $H=3\text{ m}$. В результате жарких споров температура воздуха в комнате повышалась от $t_1=17^\circ\text{C}$ до $t_2=21^\circ\text{C}$, а влажность — от $\varphi_1=40\%$ до $\varphi_2=60\%$. При температуре $t_1$ давление насыщенных паров воды $p_1=1,94$ кПа, а при температуре $t_2$ — $p_2=2,49$ кПа. Молярная масса водыного пара $M=0,018$ кг/mоль. Сколько воды испарилось в комнате?

2. В цилиндрической коробке радиусом $R$ с гладкими стенками находится маленькая шайба, масса которой совпадает с массой коробки, причем расстояние от центра коробки до шайбы составляет половину радиуса коробки. В некоторых момент времени коробке сообщили скорость $u$, направленную вправа, а шайбе — такую же по модулю скорость, направленную впевно (рис. 10). Определите траекторию движения коробки по столе. Удары абсцилтоно упругие, трене отсутствует.

3. Коротkozамкнутая сверхпроводящая катушка имеет железный сердечник, который перемещается вдоль ее оси. Завинимость индуктивности $L$ катушки от смешения $x$ центра сердечника относительно центра катушки показана на рисунке 11. В начальном состоянии $x=0$ (сердечник вставлен в катушку), ток в катушке $I_H=1$ А. Затем сердечник вынимают. Чему будет равен ток в катушке после этого?

4. В исходном состоянии схемы (рис. 12) конденсаторы не заряжены. В момент $t=0$ ключ $K$ замыкают. Найдите заряд, протекший через дiod, если $R=10\text{ kOm}$, $C=1\text{ мКФ}$, внутренним сопротивлением батареи можно пренебреть. Волтамперная характеристика диода приведена на графике на рисунке 12.

Публикация подготовили А. И. Вуздин, С. С. Кротов, О. Ю. Овчинников

Задащий патидесной Московской городской математической олимпиады

Заключительный тур патидесной Московской городской математической олимпиады 15 февраля 1987 года в Московском университете. В нем участвовали 697 школьников 7—10 классов. Ниже приводятся задания этогоура (расчитанные на 4 часа). Пять из задач этогоска были включены в «Задачник «Квата», и в этом номере публикуются их решения.

7 класс

1. В марта 1987 года учитель решилровать 11 занятый математический кружка. Доказать, что если по субботам и воскресеньям