Волны в сердце

Квант 1987, №9 с. 9-13 Тег TNZI

Возникало тахикардия и фибрилляция? Каков механизм нарушения регуляной волновой картины в сердце? На эти вопросы дает ответ математическая теория волн в возникнутое сердце.

Мы же попытаемся качественно обьясить механизм возникновения описных сердечных аритмий.

Волны возбуждания

Вы видели, как горит бикфордовый шнур? Волна горения без вдоль шнура, не затухая. «Форму» такой волны можно представить в виде зависимости температуры от времени в различных точках вдоль пути распространения. При прохождения фронта горения происходит резкое, ступенчатое повышение температуры, а после израсходования запаса горючего в данном месте температура возврашает к начальному значению. Понятно, что при встрече две волны горения газят друг друга.

Волны в живых организмах наполняют волну горения. Хорошим примером такой биологической волны служит имплус возбуждания, распространSIONся по нервному волокну. Этот электрический имплус без затухания и искажений по нервному волокну диаметром менее 0,025 мм и длиной до 1,5 м с постоянной скоростью, составляющей обусловлено десяти метров в секунду. Нервное волокно — проводник,

Рис. 1. Распространение волны электрического возбуждания по правому предсердию. Показаны последовательные положения фронта волны; цифрами указано время в миллисекундах.

но очень плотой. Электрическое сопротивление на единицу его длины составляет примерно $10^9 - 10^{10}$ Ом/см, что в этом миллионов раз больше сопротивления медного провода того же диаметра. Если бы по мере движения нервного импульса к нему не подводилась непрерывно энергия, он бы затухачебыстро. Электроимпulse механизмы, обеспечивающие подвод энергии и устойчивое распространение импульса, довольно сложны, и мы не будем их касаться.

Волны, распространяющиеся без затухания и сохраняющие свои характеристики постоянными за счет непрерывного подвода энергии извлекает называтель авторовами. Наглядным аналогом авторовного процесса служит распространение волны горения в среде, которая способна к последующему восстановлению своих свойств. Простейший пример подобного явления — это горение степи. При каждом прохождения волны пламени вся трава сгорает, но затем она медленно отрадает вовь, так что степь можно поджчь еще раз. Степь как «возбудимая среда» обладает свойством восстановления.

Отделные мышечные волокна сердца по своим электрическим характеристикам аналогичны нервному волокну. Мышечная ткань сердца состоит из плотно переплетенных волокон, электрические связанных друг с другом в участках контакта. Импульс возбуждения может переходить с одного волокна на другой, так что волны возбуждения способны распространять по сердечной ткани в любом направлении. В этом смысле сердечная ткань является возбудимой средой.

Аксиomatическая модель возбунимой среды

Летом 1945 года американский ученый Норберт Винер (тот самый Винер, который формировал основные положения кибернетики) гостил на дайте у своего друга Артура Розенблюта, директор Мексиканского института кардиологии. К тому времени было уже хорошо известно, что по сердцу распространются волны электрического возбуждения (они были открыты еще в начале нашего столетия) и что неокотые сердечные

Рис. 2. Последовательность смены состояний элемента возбунимой среды; белым показано состояние покоя; красным — возбуждение, сним — рефрактерности.

Рис. 3. Волна возбуждения в аксиomatической модели возбунимой среды.

Рис. 4. Максимальное частая последовательность волна возбуждения.

Рис. 5. Эффект подавления «медленных» источников. Показана временная развертка картины фронтов воли, испускаемых двумя источниками, которые имеют различные периоды. Левый высокочастотный подавляет правильный низкочастотный источник. Вверх отложено время t, по горизонтали — координата x вдоль прямой, соединяющей центры двух источников.

ариттими связаны с циркуляцией волн возбуждения вокруг атомических превращений. Занитересовавшись этим вопросом, Винер построил совместно с Розенблютом математической модель, позволившую им в процессе видение объяснить основные особенности процессов в возбунимых средах.

В модели Винера и Розенблюта поступируется, что возбунимая среда образована сетью из элементов, как-

дый из которых способен пребивать в трех состояниях — покоя, возбуждения и рефрактерности; переходы между состояниями осуществляются скачком, подчиняясь определенным правилам.

Как реализуется эти состояния?
В отсутствие внешних воздействий элемент неограниченно должно сохранять состояние покоя. Внешним воздействием его можно перевести из этого состояния в состояние возбуждения. Пробы определение времени $\tau_{\text{воэб}}$ в таком состоянии, элемент переходит к состоянию рефрактерности, в котором он является невозбудимым. Состояние рефрактерности длится время $\tau_{\text{peф}}$ ; по процессии этого времени способность к возбуждению восстанавливается — элемент переходит в состояние покоя. (Все эти переходы схематически изображены на рисунке 2.)

Дополнительное предложение модели состоит в том, что возбуждение может передаться от возбуждаемых элементов к соседним, находящимся в состоянии покоя. В результате по среде распространения волны возбуждения (рисунок 3). Скорость $c$ распространения этих волн построена.

Модель Винера — Розенблюта задает определение поведение волн возбуждения в среде.

Существует минимальный временной интервал следования волн возбуждения. Этот период $T_{\text{min}}$ равен сумме длительного состояния возбуждения и рефрактерности: $T_{\text{min}} = \tau_{\text{воэб}} + \tau_{\text{peф}}$ . Если волны следуют с минимальным периодом, т. е. с максимальным возможной частотой, то все элементы среды находятся в двух состояниях: один — в возбужденном, другие — в состоянии рефрактерности (рисунок 4). Minimalный пространственный интервал следования волн — $L_{\text{min}} = cT_{\text{min}} = c(\tau_{\text{воэб}} + \tau_{\text{peф}})$ .
При стольновении волны газят друг друга. Это легко понять — ведь при стольновении возбужденные элементы оказываются «зажатыми» между двумя надвигающимся областями рефрактерности.
Волны возбуждения не отражаются от границ. Это утверждение доказывает аналогично предыдущему.
«Быстры» источники волн подавляют деятельности всех более «медленных» источников. («Быстры» — это источники, испускающие волны часть, через малые промежутки времени.) Убедимся в этом.

Пусть в среде имеются два периода действияющих источника, которые испускают волны через интервалы времени $T_1$ и $T_2$ . На рисунке 5 изображена временная развертка картины волн от этих двух точных источников. Левый источник испускает волны возбуждения чаше, чем правый (т. е. $T_1 < T_2$ ). С течение времени точка встречи и гашения двух фронтов смешается в направлении к низкочастотному правому источнику, пока он не оказывается подавленным. Таким образом, по процессии достаточно большого времени в среде «выживает» лишь самый «быстрый» из источников.

Волна возбуждения может неограниченно долго циркулировать по колыцу или вокруг ответствия в возбуждимой среде.

Возьмем узкую полоску возбуждения среды и свернем ее в колыцо. Если длина полоски $l > L_{\text{min}}$ , то по колыцу неограниченно долго может циркулировать волна возбуждения (рисунок 6,a). Перiod ее циркулиции $T = l/c$ .

Станем теперь увеличивать внешний радиус колыца и устремим его к

бесконечности. Тогда вместо колыца мы получим ответные ввозбудимой среде (рисунок 6,6). Что произдет с волной возбуждания в колыце, когда мы будем растяивать его таким образом? Она будет продолжать вращение, но ее фронт изогнется.

Дейстительно, фронт волны возбуждания не может представлять собой прямую радиальную линию, вращующую вокруг ответия с какой-то угловой скоростью $\omega$ . Ведь в таком случае на расстоянии $r$ от центра ответия скорость фронта равнась бы $c=\omega r$ и неограниченно возрастала с увеличением $r$ . Однако скорость распространения волн $c$ постоянна. Это означает, что удаленные участки фронта станут отставать, и он примет со временем форму спирали.

Таким образом, вокруг ответия ввозбудимой среде может сколь годно долго вращаться без затухания спиральная волна. Перiod ее вращения — это время, затрачиваемое на прохождение импульса возбуждания по всему перimetру $l$ ответия, т. е. $T=l/c$ . Если ответие круглое и радиус его $R$ , то $T=2\pi R/c$ , а частота вращения $\omega=2\pi/T=c/R$ .

Итак, мы познакомились с моделью Винера — Розенблюта. Как же объяснить с ее помощью возникновение сердечных аритми?

Спиральные волны и сердечные аритми

Степки предсердия достаточно тонкие, поэтому ткань сердца здесь можно считать двумерной возбудимой средой. В результате нарушения кровоснабжения после инфарктма миокарда небольшие области сердечной ткани могут отмирать, теляя способность к проведению волн возбуждания. Эти области играют роль ответий ввозбудимой среде сердечной ткани.

К чему приведет циркуляция волны возбуждания вокруг одного из этих ответий? Ответ зависит от того, как соотносятся перiod циркуляции с частотой волн, испускаемых синусом узлом. Если частота вращения спиральной волны выше, чем частота генерации волн синусовым узлом, то спиральная волна является более быстроисточником и подавляет детельность синусового узла. Посокльку радиуса ответий — пораженных

Рис. 7. Рождение спиральной волны (D — область с повышенной рефрактерностью). а) — исходное положение двух волн; б) — второй волна не входит в область D, возникла разрыв фронта; с) — возбуждание начнет распространять внутренность области D; д) — спиральная волна через достаточно большой промежуток времени.

участков сердца — достаточно малы, а частота циркуляции волны обратно пропорциональна радиусу отверстия, так обычно и проискодит. Волна, врашшающая вокруг отверстия, захватывает все предсердие. Нормальный режим работы сердца нарушается. На смену ему установливается «трепетание» предсердия, т. е. развивается сердечная ариттия.

Спиральные волны могутрождаться из разрывов фронта волн возбуждания. Предположим, что в среде имеется область $D$ , элементы которого обладают повышенной длительностью рефрактерного состояния. Пусть по среде движутся подряд друг за другом две волны возбуждания, отделенные небольшим временным интервалом (рисунок 7,a). После прохождения первой волны через область $D$ находящиеся в ней элементы надолго остаются в состоянии рефрактерности. Возбуждание от второй волны не может пронкнуть в эту область — фронт волны рвется (рисунок 7,б). Через какое-то время состояние рефрактерности в области $D$ закониться и элементы, находящиеся в этой области, вовь прибретут способность к возбужданию. Если к этому времени вторая волна еще не миновала область $D$ , то возбуждание от фронта этой волны начинает распространяться внутри области $D$ (рисунок 7,б). Затем волна будет закручивать вокруг области разрыва (рисунок 7,с), и с теми временем формируется спиральная волна, показанная на рисунке 7,д.

Сердечная ткань неоднородна по своим свойствам, в том числе и по длительности рефрактерного состояния. Неоднородность еще более возрастает в результате нарушения нормального питания клеток после инфаркта. При обычном режиме работы сердца интервал между очередными волнами возбуждания составляет 1 секунду, а длительность рефрактерного состояния — порядка 0,1 с. Поэтому разрос в значениях рефрактерности, свойственный живой ткани, не приводит в обычных условиях к разрыву фронта волн возбуждания. При некоторых порожжениях сердечной ткани, однако, в ней генерируется синусовый узлом дополнительная волна, отделенная от предыдущего очень малым временным интервалом. Если этот временной интервал достаточно короток (меньше суммы максимальной продолжительности рефрактерного состояния и длительного состояния возбуждания), фронт такой волны разорвется на границе области с повышенной рефрактерностью, и родится спиральная волна. На рисунке 8 показано образование спиральной волны из разрыва фронта в эксперименте с положкой ткани, взятой из сердца кролика.

Время жизни спиральной волны в неоднородной среде конечно. Из-за неоднородности среды центров волны со временем смещается, blijдает по среде. Рано или поздно волна выходит на границу среды и исчезает. С исчезновением спиральной волны приступ ущшенного сердцебиения заканчивается.

Возможен, однако, и другой исход. На фронте волны возбуждания — на рукуве спиральной волны — могут образовать вторичные разрывы при прохождения области с повышенной рефрактерностью. В результате будет произходить размижение спиральных волн. Если скорость размижения волн превышает скорость их исчезновения на границах, число спиральных волн будет возрастать со временем, пока все среда не будет за-