Задачи на исследование

20

вопросы Декарт ответил так: с помощью «воображаемых» корней можно построить общую теорию алгебраических уравнений.

В «Геометрии» Декарт изложил и свою теорию алгебраических уравнений. Он начал ее с указания, что их удобнее всего записать в форме, ставшей теперь для нас привченной, — с правой стороны равной нулю:

$$a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n = 0.$$

Он формулировал теорему о том, что алгебраическое уравнение степени $n$ имеетровно $n$ корней, если учитывать положительные, отрицательные и комплексные («воображаемые») корни. Это основная теорема алгебры, которую до Декарта, в начале XVII века, высказали П. Роте и А. Жирар.

Декарт первым стал обозначать данные величины начальных буквами алфавита $a, b, c$, неизвестные — последними буквами $x, y, z$. Он простил обозначение степени, и оно прияло знакомый нам вид $a^3, x^2$ и т. п.

Распространение и влияние «Геометрии»

Сочинение «Рассудение о метода» было опубликовано в 1637 г. на французском языке. Современники Декарта восприняли его «Геометрию» с большим энтузизмом. Вскоре она была переведена на латинский язык — международный язык науки той эпохи. За короткое время «Гео-ритер» выдержала четые издания. Всемнадцатом столетии она была настолько книгой каждой творческой работающего математика.

Декарт считал, что математика должна изучать лишь кривые, заданные алгебраическим уравнениями, потому что для исследования других линей нет общего метода. Примером алгебраической кривой может служить декартов лист. Его уравнение $x^3 + y^3 - 3ax y = 0, a \neq 0$. Между тем в математике большешую роль играют и неалgebraические (трансцендентные) кривые: спираль Архимеда, квадратриса, трактиса, циклопа и другие. Декарт не включаил их в свою «Геометрию».

Это ограничение Декарт предоставили Ньютона и Лейбницц, разработавшие во второй половине XVII века общепримеры исследований трансцендентных кривых. С помощью метода координат они стали изучать синусоиду, логарифметическую, показательную и другие функции.

Метод координат плоскового развивающего дальше. Вскоре появился ось ordinат, а в XVIII веке и стереометрия; в XIX веке возникла «многомерная» геометрия, «бесконечномерная» геометрия в XX веке. Сегодня без метода координат невозможно себе представить ни математику, ни физику.

Труды Декарта, его философские, математические и космологические идеи вызывают глубокий интерес и обсуждение в наших дни. В этом его величение ученого.

Задания на исследование

Предлагаем читателем несколько задач о средних величины проекций многоугольников и многогранников. С их помощью можно, в частности, решить задачи M1030, отличнуюся от помещенного в «Кванте» № 6.

а) Обозначим через $p_M(l)$ длину проекции выпуклого многоугольника $M$ на прямую $l$. Доказите, что среднее значение $p_M(l)$ по всем прямым, проекциям через заданную точку, равно $p/\pi$, где $p$ — пещертр многоугольника $M$. (По определению, это среднее значение равно $\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} p_M(l_u) da$,

где $l_u$ — прямая, составляющая с фиксированной осью $l_0$ угол $a$.)

В следующих двух задачах рассматриваются средние по всем направлениям в пространстве; о том, что под ними помещается, рассказываюсь в стате Ю. Ионина и А. Плотчина «Среднее значение функции» («Кванте», 1977, № 7, с. 26).

Обозначим через $s_M(P)$ и $t_M(l)$ соответственное проекции выпуклого многоугольника $M$ на плоскость $P$ и длину его проекции на прямую $l$.

6. Чему равно значение $s_M(P)$, усредненное по всем плоскостям $P$, проходящим через заданную точку?

в*) Чему равно значение $t_M(l)$, усредненное по всем плоскостям $P$, проходящим через заданную точку?

Подсказка: нетрудно понять, что ответ в заданях а) — в) имеет размерность см, см², см³ соответствующего. Какие «геометрические величины», связанные с многоугольником или многогранником, имеют такую размерность?

А. В. Гончаров