Квант
Задачник «Кванта»

Список читателей, приславших правильные решения

Квант 1987, №9с. 29Тег 172B

29

Следовательно, потенциальная энергия гантелей (измеряемая по отношению к положению равновесия) зависит от угла поворота как

Πφ=2mg⋅Δh=mga2lφ2.\Pi_{\varphi} = 2mg \cdot \Delta h = \frac{mga^2}{l} \varphi^2.

(1)

Вычислим теперь кинетическая энергия. При малых колебанях можно пренебречь вертикальным составляющим скоростей шариков и считать, что векторы скоростей лежат в горизонтальной плоскости и равны по модулю v=bωφ=bφ′v = b\omega_{\varphi} = b\varphi' (ωφ\omega_{\varphi} — угловая скорость шариков в тот момент, когда угол поворота гантелей равен φ\varphi). Таким образом, кинетическая энергия зависит от угла поворота как

Kφ=2mv22=mb2(φ′)2.K_{\varphi} = 2 \frac{mv^2}{2} = mb^2(\varphi')^2.

(2)

Заметим, что формулы (1) и (2) аналогичны формулам, описывающим потенциальную и кинетическую энергию груза, колблющегося наружные жесткость kk:

Πx=12kx2,Kx=12M(x′)2,\Pi_x = \frac{1}{2} kx^2, \quad K_x = \frac{1}{2} M(x')^2,

где xx — отклонение от положения равновесия. Получая этот анализий, можно записать:

Πφ=mga2lφ2=mga2l(xb)2=12kx2,\Pi_{\varphi} = \frac{mga^2}{l} \varphi^2 = \frac{mga^2}{l} \left( \frac{x}{b} \right)^2 = \frac{1}{2} kx^2,

где x=bφx = b\varphi — отклонение шарика от положения равновесия, а

k=2mgla2b2;k = \frac{2mg}{l} \frac{a^2}{b^2};

соответствует,

K=mb2(φ′)2=m(x′)2=12M(x′)2,K = mb^2(\varphi')^2 = m(x')^2 = \frac{1}{2} M(x')^2,

где

M=2m.M = 2m.

Таким образом, гантель будет совершать круглые колбания с периодом

T=2πMk=2π2mlb22mga2=2πbalg.T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{2mlb^2}{2mga^2}} = 2\pi \frac{b}{a} \sqrt{\frac{l}{g}}.

М. М. Цыпин

Список читателей, приславших правильные решения

Вольшинство читателей, приславших решения задачи M1016—M1030, Ф1028—Ф1042, справились с задачи M1021, M1026, M1027, Ф1028, Ф1031, Ф1034, Ф1037—Ф1039, Ф1041, Ф1042.

Ниже мы публикуем фамилии тех, кто присладывает решения остальных задачи (цифры после фамилии — последние цифры номеров решенных задачи).

Математика
А. Абдрахманов (Алма-Ата) 16; А. Аветисан (с. Геганист АрмССР) 22; С. Агневич (Баранович) 23; А. Акимов (Евпатория) 22, 25; Д. Алиевский (Свердловск) 16; В. Андрюшенко (Винница) 22, 23, 25; К. Аношкин (Саратов) 24, 25; И. Аржанцев (Киев) 22; Ф. Арзыклов (с. Бальчики Андджанской обл.) 20; Д. Ароцер (Киев) 18; А. Афонин (Брест) 22, 23; А. Бабкин (Киев) 25, 28, 29; З. Бандик (Белград, СФРЮ) 17—19, 22; С. Барон (Цelinоград) 22, 23; Ю. Безачева (Краснойрск) 22, 24; А. Бейянку (СPP) 17—19, 28; И. Белозеров (Серпухов) 16, 18, 20, 25; В. Бергман (Баку) 22; Р. Бочев (Враца, НРБ) 22—25, 28, 29; Ф. Бразун (п. Гирей Краснодарского края) 22; В. Буайко (Киев) 22; Е. Бураковский (Киев) 23; К. Вербицикий (Москва) 22, 24, 28—30; А. Винчиук (Винница) 18, 20, 22—25; А. Винцок (Киев) 16, 28; А. Витяев (Новосибирск) 16, 18—20, 22, 28; В. Волододский (Омск) 16—20, 22—24, 28; В. Волчков (Шахтерск) 22—24; Д. Вольпер (Омск) 28, 29; Я. Воробец (Львов) 22, 23; М. Выборов (Киев) 28; С. Герасимов (Харьков) 28; М. Гольдшейд (Челябинск) 16—20, 29; А. Гороховский (Киев) 22, 25, 28, 29; Н. Григорьева (Цelinоград) 22; Р. Грипив (Львов) 18, 22, 23, 28, 29; З. Джабева (с. Махмудавар АзССР) 23; Т. Дидук (Цelinоград) 22, 23; Н. Дохолян (Тбилиси) 23; С. Дронов (Пушино) 25, 29; А. Дубинский (Москва) 16; Г. Дятлов (Новосибирск) 28; П. Евсельев (Майкоп) 22; В. Завражний (Фрунзе) 22; А. Залеский (Харьков) 28; С. Зелик (Краматорск) 22; Е. Зельцер (Киев) 16, 18, 23; И. Зефиров (Химки Московской обл.) 16, 18, 22, 23, 25; В. Иванов (Тбилиси) 22; С. Измалков (Харьков) 22—25, 28; И. Исрафилов (Баку) 23; А. Калинин (Саратов) 22; В. Калошин