Задачи М1061—М1065; Ф1073—Ф1077

21

Задчи

M1061 — M1065, Ф1073 — Ф1077

M1061. В стране, где больше двух городов, некоторые пары городов соединены пересекающими дорогами. Известно, что для любых трех городов A, B, C по этой сети дорог можно проехать из A в B, не заездая в C. Докажите, что на всех дорогах можно установить одностороннее движение так, что из каждой города можно будет проехать в любой другой, дивяясь по установленным направлениям.

В. Е. Колосов

M1062. a) На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки E и D. Прямые BD и CE пересекаются в точке M, AM и BC — в точке P, AM и DE — в точке N. Докажите, что

$$\frac{PN}{NA} = 2 \cdot \frac{PM}{MA}.$$

6. На ребрах SA, SB и SC терраэдра SABC взяты точки D, E и F. Плокости ABF, BCD и CAE пересекаются в точке M, прямая SM пересекает плоскости ABC и DEF в точках P и N. Докажите, что

$$\frac{PN}{NS} = 3 \cdot \frac{PM}{MS}.$$

Т. А. Джортменадзе, Е. Я. Глейбман

M1063. Сколько существует различных целых чисел, которые можно представить в виде разности $a - \bar{a}$, где $a - n$-значное натуральное число ($10^{n-1} \leq a < 10^n$), $\bar{a}$ — число, полученное при записи цифр $a$ в обратном порядке? Например, если $a = 1917$, то $a - \bar{a} = 1917 - 7191 = -5724$. Укажите ответ для: a) $n = 4$; b) $n = 5$; b) любого натурального $n$.

Г. О. Эльстин

M1064. Какое максимальное количество точек самопересечения может иметь замкнутая $n$-венная плоская ломанная, если: a) $n$ нечетно; b) $n$ четно? (Предполагается, что никакие три вершины не лежат на одной прямой и что никакие три звена не пересекаются в одной точке.) Д. В. Фукс

M1065.* Будем рассматривать векторы $(x; y)$ с целыми неотрицательными координатами, причем хотя бы одна из координат отлична от 0. Изовем такой вектор образующий, если $|x - y| = 1$.

a) Докажите, что рассматривается вектор $(x; y)$ можно представить в виде суммы образующих (или он сам — образующий) тогда и только тогда, когда величины $k(x, y) = x + y - (x - y)^2$ неотрицательна.

6. Докажите, что число $n(x, y)$ различных (с точностью до порядка) представлен вектора $(x; y)$ в виде суммы образующих таблицу, чтобы мячик ударился о пол как можно дальше от начальной точки? Чему равно это максимальное расстояние?

А. В. Хельсис

22

We have been publishing Kvant’s contest problems every month from the very first issue of our magazine. The problems are nonstandard ones, but their solution requires no information outside the scope of the USSR secondary school syllabus. The more difficult problems are marked with a star (*). After the statement of the problem, we usually indicate who proposed it to us. It goes without saying that not all these problems are first publications. The solutions of problems from this issue (in Russian or in English) may be posted no later than December 1st, 1987, to the follo-

Ф1074. Папа Карло сделал для Буратино колпак из тонкой жестки. Колпак имеет форму конуса высотой $H=20$ см с углом $\alpha=60^\circ$ при вершине. Будет ли этот колпак держаться на голове у Буратино, если эта голова — гладкий шар диаметром $D=15$ см?

С. С. Кротов

Ф1075. Выполняя лабораторную работу, студент опустил в сосуд с водой кипятильник, включил его в сеть и стал каждые три минуты записьвать температуру. Данные этого опустения в таблице 1. Затем он охладил воду, положил в сосуд небольшой металлической образец и вновь провел измерения. Результаты этого опустения в таблице 2.

Определите по этим данным теплемкость образца. Напряжение в сети $U=35$ В, ток через кипятильник $I=0,2$ А, температура в комнате $t_0=20^\circ$ С.

Л. П. Баканина

Ф1076. Для исследования солнечной батареи используется многопредельный волтметр (он состоит из чувствительного микроамперметра и набора добавочных резисторов). Подключив его к батарее на пределе 1 В мы получаем показание $U_1=0,7$ В. Переключив волтметр на пределе 10 В, мы получим показание $U_2=2,6$ В. Что получилось бы на пределе 100 В? Известно, что при неизменном освещении солнечная батарея ведет себя как обычный источник, последовательно к которым подключен резистор большого сопротивления.

А. Р. Зильберман

Ф1077. По одной из гипотез звезды образуются из межзвездной среды (космическая пыль) путем скатания под действием gravитационной силы. Оцените время образования звезды из гигантского сферического облака космического пыли плотностью $\rho=2\cdot10^{-20}$ г/cм$^3$. Можно считать, что при скатании частицы не обгоняют друг друга. Гравитационная постоянная $G=6,67\cdot10^{-11}$ Н·м$^2$/кг$^2$.

В. Е.Скороваров

Problems

M1061—M1065, P1073—P1077

M1061. In a country of more than two cities some pairs of cities are connected by non-intersecting roads. It is known that for any three cities $A, B, C$ it is possible to travel from $A$ to $B$ on these roads without going through $C$. Prove that it is possible to choose directions of one — way traffic on all the roads so that any city may be reached from any other along the roads in the chosen directions.

V. K. Kolosov

M1062. a) Points $E$ and $D$ are chosen on sides $AB$ and $AC$ of triangle $ABC$. The lines $BD$ and $CE$ intersect at the point $M$, $AM$ and $BC$ at $P$, $AM$ and $DE$ at $N$. Prove that

$$\frac{PN}{NA} = 2 \cdot \frac{PM}{MA}.$$

b) Points $D, E$ and $F$ are chosen on the sides $SA, SB$ and $SC$ of the tetrahedron $SABC$. The planes $ABF, BCD$ and $CAE$ intersect at the point $M$, the line $SM$ intersects planes $ABC$ and $DEF$ at $P$ and $N$. Prove that

$$\frac{PN}{NS} = 3 \cdot \frac{PM}{MS}.$$

T. A. Djortmenadze, E. Ya. Gleibman