Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

66

nikusa; $M$ là điểm tiếp xúc của quả bóng này với đế. Chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng phụ đi qua chiều cao của hình nón $SO$ và tâm của quả bóng $A$. Phần này có dạng như ở hình 8; các chữ cái $E$ và $N$ biểu thị điểm tiếp xúc của quả bóng với bề mặt bên của hình nón.

Chúng ta sẽ tìm chiều cao của hình nón $SO$ là tổng độ dài của các đoạn $SP$, $PL$ và $LO$. Từ tam giác vuông $PLA$
$$PL = \sqrt{PA^2 - LA^2} = \sqrt{PA^2 - OM^2},$$
và chúng ta tìm thấy các giá trị của đoạn $OM$ theo cách giống hệt như trong bài toán đầu tiên, bằng cách chiếu các quả bóng lên mặt phẳng của đáy hình nón (xem hình 1). Chúng tôi nhận được $PL = 2r\sqrt{6}/3$.

Từ sự giống nhau của tam giác $SEP$ và $PLA$
$$SP = \frac{PE \cdot PA}{LA} = r\sqrt{3}.$$
Vì $LO = r$ nên kết quả cuối cùng là $SO = r(\sqrt{3} + 2\sqrt{6}/3 + 1)$.

Bài tập

1. Trong một paramid hình tam giác đều có cạnh đáy có chiều dài $a$ và một góc kép ở đáy bằng $60^\circ$, ba quả bóng có bán kính bằng nhau được chèn vào sao cho mỗi quả bóng chạm vào hai quả bóng khác, mặt phẳng của đáy và hai mặt bên của paramid. Tìm bán kính của mỗi quả bóng.

Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

Mathematica
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Cơ và Toán)

1. Giải phương trình
   $$\cos \left( \frac{1}{\sin x} \right) = \frac{1}{2}.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$\log \sqrt{6} - \sqrt{2} (x^2 + 4x + 11 - 4\sqrt{3}) < 2.$$

3. Hai quả bóng chạm vào mặt phẳng $P$ tại các điểm $A$ và $B$ và nằm ở hai phía đối diện của mặt phẳng này. Khoảng cách giữa tâm của các quả bóng là 10. Quả bóng thứ ba chạm từ bên ngoài vào hai quả bóng đã cho và tâm của nó $O$ nằm trong mặt phẳng $P$. Được biết, $AO = BO = 2\sqrt{10}$, $AB = 8$. Xác định bán kính của quả cầu hình tam giác.

4. Một hình trụ tròn thẳng có bán kính $R$ nằm trên mặt phẳng và không giao nhau với nó, một quả cầu có bán kính $r$ nằm. Khoảng cách từ trục hình trụ đến tâm bóng là $\rho$. Tìm bán kính tối thiểu có thể có của quả bóng để đồng thời chạm vào hình trụ, mặt phẳng và quả bóng đã cho.

5. Cho một hình lập phương có đáy $ABCD$ và $A_1B_1C_1D_1 (AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1\parallel DD_1)$. Một quả cầu có bán kính $R = 0,5$ được ghi vào góc $A$ của hình lập phương. Tìm bán kính của một quả bóng nội tiếp góc $C_1$ của hình lập phương và tiếp tuyến với quả bóng đã cho nếu cạnh của hình lập phương đó là $a = 1,5$.

6. Năm quả bóng bằng nhau được đặt trong một hình nón. Bốn trong số chúng nằm trên đế của hình nón, và mỗi quả bóng trong số bốn quả bóng này chạm vào hai quả bóng còn lại nằm trên đế và mặt bên của hình nón. Quả bóng thứ năm chạm vào mặt bên của hình nón và bốn quả bóng còn lại. Tìm thể tích của hình nón nếu bán kính của mỗi quả bóng là $r$.

7. Hai quả cầu có bán kính $R$ nội tiếp một góc có độ lớn $60^\circ$, chạm vào nhau. Tìm bán kính của một quả cầu nội tiếp một góc và tiếp tuyến với cả hai quả cầu đã cho.

8. Trong một hình nón tròn bên phải có hai quả cầu giống hệt nhau có bán kính $r$ chạm vào đáy hình nón tại các điểm đối xứng với tâm tương đối của đáy. Mỗi quả bóng chạm vào mặt bên của hình nón và một quả bóng khác. Chiều cao của hình nón gấp 4/3 lần đáy. Tìm thể tích của hình nón.

9. Bán kính của hình tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là 4 và $AC = BC$. Trên đường $AB$, một điểm $D$ được lấy, xóa khỏi các đường $AC$ và $BC$ ở khoảng cách tương ứng là 11 và 3. Tìm cosin của góc $DBC$.

10. Hai chuyến tàu xuất phát đồng thời cùng hướng từ các thành phố $A$ và $B$, nằm cách nhau 60 km và đồng thời tiếp cận ga $C$. Nếu một trong số họ tăng tốc độ thêm 25 km/h và người kia tăng 20 km/h thì họ cũng sẽ đến gần trạm $C$ cùng lúc, nhưng sớm hơn 2 giờ. Tìm tốc độ của tàu.

11. Tìm tất cả các cặp giá trị $a$ và $b$ mà hệ thống
    $$\begin{cases} x^2 - y^2 + a(x+y) = x - y + a, \\ x^2 + y^2 + bxy - 1 = 0 \end{cases}$$
    có ít nhất một gót chân lời giải $(x, y)$.

12. Hình cầu chạm vào các cạnh $AS, BS, BC$ và $AC$ của paramid tam giác $SABC$ tại các điểm $K, L, M$ và $N$ tương ứng. Tìm độ dài của đoạn $KL$ nếu $MN = 7$ s, $NK = 5$ s, $LN = 2\sqrt{29}$ s và $KL = LM$.

67

Tùy chọn 2
(Khoa Toán tính toán và Điều khiển học)

1. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \sqrt{x} + 3y = 9, \\ x - 1 = (\sqrt{x} + 1)y. \end{cases}$$

2. Có giá trị thực nào của $a$ mà
   $$a^2 - 4a + \sqrt{3} = -a\sqrt{2}$$
   Nếu những giá trị như vậy tồn tại thì có bao nhiêu?

3. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{(x+1)^2} 8 + 3 \log_4(x+1) \geq 9 \frac{1}{4}.$$

4. Giải phương trình
   $$(2 + 3 \cos 2x)(\sqrt{2 \cos 2x + 3 \sin x} + 3) - 2 \sin x + 1) = 0.$$

5. 24 khối bê tông lớn và 510 khối bê tông nhỏ cần được chuyển từ nhà máy đến công trường. Các khối được phân phối tự động, mỗi khối chứa 44 khối nhỏ và có sức chứa nhóm 10 tấn. Khối lượng của khối nhỏ là 0,2 tấn, khối lớn là 3,6 tấn, khối lớn thay thế cho 14 khối nhỏ. Tìm số lượng tài nguyên tối thiểu đủ để vận chuyển tất cả các khối.

6. Trong ABCD vẽ đoạn KMLN sao cho điểm K nằm trên cạnh AD, điểm M trên cạnh DC, điểm N trên cạnh AB, điểm L trên cạnh BC, O là giao điểm của các đường chéo KL và MN của tứ giác KMLN. Phần KMLN chia primida thành hai phần. Tìm tỉ số thể tích của các phần này nếu biết sự tương ứng sau đây giữa độ dài của các đoạn:
   $$4 \cdot OL = 3 \cdot OK, 25 \cdot ON = 24 \cdot OM,$$
   $$DK \cdot NA = KA \cdot BN = KA \cdot NA.$$

Tùy chọn 3
(giảng viên thực tế)

1. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{1}{2x} \geq \frac{1}{1-x}.$$

2. Giải phương trình
   $$4^{\sin x} + 2^{5-2\sin x} = 18.$$

3. Được biết, $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$, $\pi < \alpha < \frac{4\pi}{3}$. Tìm $\cos \alpha$ và $\mathrm{tg} \alpha$.

4. Tìm miền hàm
   $$y = \sqrt{\log \frac{1}{2}(3x^2 - 2x)}$$.

5. Bên trong tam giác vuông ABC (góc B là đường thẳng), lấy điểm D sao cho diện tích tam giác ABD và BDC lần lượt nhỏ hơn ba và bốn lần diện tích tam giác ABC. Độ dài của các đoạn AD và DC lần lượt bằng $a$ và $c$. Tìm độ dài đoạn BD.

6. Một quả cầu có bán kính 2 nội tiếp trong SABCD tứ giác đều có đỉnh S. Quả cầu thứ hai bán kính 1 chạm vào quả cầu thứ nhất, đáy của paramid và các ranh giới bên BSC và CSD. Tìm thể tích của paramid và góc lưỡng diện ở cạnh bên SC.

Tùy chọn 4
(Khoa Hóa học)

1. Giải phương trình
   $$(1 + 2 \sin x) \sin x = \sin 2x + \cos x.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$4\log_2 x + \log_2 \left(\frac{x^2}{8(x-1)}\right) \leq 4 - \log_2 (x-1) - \log_2^2 x.$$

3. Các cạnh của tam giác nằm trên các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị của hàm số $y = x^2 + 2x + 1$ tại điểm có hoành độ $a$ thỏa mãn điều kiện $-\frac{1}{2} \leq a \leq 0$. Tìm giá trị $a$ tại đó diện tích của tam giác lớn nhất.

4. Đáy của tứ giác paramid FABCD là hình vuông ABCD. Trên cạnh AF lấy điểm E sao cho đoạn CE vuông góc với cạnh AF. Hình chiếu O của điểm E lên đáy paramid nằm trên đoạn AC và chia nó theo tỷ lệ AO:OC=γ. Tìm sự khác biệt giữa thể tích của các paramit FABCD và EABD nếu biết rằng $\angle ADF = 90^\circ$ và AB=a.

5. Tìm tất cả các giá trị của $p$ cho mỗi giá trị trong đó bất đẳng thức lời giải đúng
   $$(p - x^2)(p + x - 2) < 0$$
   không chứa bất kỳ bất đẳng thức lời giải nào
   $$x^2 \leq 1.$$

Tùy chọn 5
(khoa sinh học)

1. Giải phương trình
   $$7\sin(2x - \frac{5}{2}\pi) + 9\cos x + 1 = 0.$$

2. Một chiếc bè khởi hành từ điểm A dọc theo sông. Cùng lúc đó, một con tàu được gọi đến từ điểm B, nằm ở hạ lưu so với điểm A. Gặp bè, tàu lập tức quay đầu và đi xuôi dòng. Tìm đoạn đường từ A đến B mà chiếc bè sẽ hoàn thành vào thời điểm con tàu quay trở lại điểm B, nếu tốc độ của con tàu khi đứng yên cao và dòng sông chảy với tốc độ cao.

3. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{3 \log_0.5 x}{2 - \log_0.5 x} \geq 2 \log_0.5 x + 1.$$

4. Diện tích hình thang ABCD là 30. Điểm P là trung điểm của cạnh AB. Chọn điểm R trên cạnh CD sao cho 2CD=3RD. Các đường thẳng AR và PD cắt nhau tại điểm Q. Tìm diện tích tam giác APQ nếu AD=2BC.

5. Tìm tất cả các giá trị của $a$ mà hệ thống
   $$\begin{cases} 9x^2 - 6xy + y^2 + 6x - 13y + 3 = 0, \\ 13x^2 + 6xy + 10y^2 + 16x + 2y - 4ax - 6ay + a^2 - 2a + 3 = 0 \end{cases}$$
   có ít nhất một lời giải.

69

5. Trong tam giác $ABC$, điểm $K$ ở cạnh $AB$ và điểm $M$ ở cạnh $AC$ được đặt sao cho
   $$\frac{AK}{KB} = \frac{2}{3} \text{ и } \frac{AM}{MC} = \frac{4}{5}.$$
   Tìm mối quan hệ trong đó giao điểm của đường $KC$ và $BM$ chia đoạn $BM$.
6. Tìm tất cả các giá trị của tham số $a$, với mỗi giá trị đó hệ thống
   $$\begin{cases} 3 \cdot 2|x| + 5|x| + 4 = 3y + 5x^2 + 3a, \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases}$$
   có một lời giải.

Tùy chọn 11
(Khoa Tâm lý học)

1. Tổng gót đầu tiên của các số hạng của cấp số nhân lớn hơn 3/2 tổng ba số hạng đầu tiên của nó. Số hạng thứ năm của một cấp số nhân bằng số hạng thứ ba của nó nhân với 4. Tìm số hạng thứ tư của nó nếu biết rằng dấu của cấp số cộng là dương.
2. Giải phương trình
   $$\log_2(x^2 - 2x - 1) - \log_2(x - \frac{1}{2}) = 1.$$
3. Một đội thợ sơn đã quét vôi trần các phòng học và hội trường của trường, diện tích trần hội trường lớn gấp 3 lần diện tích trần phòng học. Về phần đội làm việc tại hội trường, số họa sĩ nhiều hơn về phần làm việc trong lớp học là 6 người. Khi công việc quét vôi toàn bộ trần hội trường hoàn thành, bộ phận tổ trong lớp vẫn đang làm việc. Số lượng họa sĩ tối đa có thể có trong một nhóm là bao nhiêu nếu tất cả họ bắt đầu làm việc cùng một lúc và làm việc với năng suất như nhau?
4. Giải phương trình
   $$\sqrt{\frac{3}{4} - \cos x} = \sqrt{\frac{3}{4} - \cos 3x}.$$
5. Trong một tứ giác lồi $ABCD$ các đường chéo cắt nhau tại điểm $O$. Diện tích của các hình tam giác $BOC, COD, AOD$ bằng 20, 40, 60 tương ứng. Tìm góc $BAO$ nếu biết rằng $AB=15$, $AO=8$ và góc $BOA$ lớn hơn 31°.
6. Chứng minh rằng mọi bất đẳng thức lời giải
   $$\sqrt{x-1} \equiv \sqrt{3} \sqrt{x^2-1} > 2$$
   thỏa mãn bất đẳng thức
   $$x+2\sqrt{x-1} + \sqrt{3} \sqrt{x^2-2x^2} + 1 > 1 + 2\sqrt{x^2-1}.$$
   Tùy chọn 12
   (Khoa tuyến tính cấu trúc và ứng dụng của Khoa Ngữ văn)
7. Giải phương trình
   $$2\cos 2x + 4\cos x = \sin^2x.$$
8. Giải phương trình
   $$\log_5 - x^2(2x^2 - 8x - 2) = 1 + \log_5 - x^22.$$
9. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{2x^2 - 15x - 17} > x + 3.$$
10. Các đường trung tuyến $AM$ và $BE$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $O$. Điểm $O, M, E, C$ nằm trên cùng một đường tròn. Tìm $AB$ nếu $BE = AM = 3$.
11. Giải bất đẳng thức
    $$\frac{9}{3x+2} > \frac{1 + \log_3(x+6)}{x}.$$
    Vật lý
    Khoa Vật lý
12. Một khớp nối được gắn bằng lò xo với trục $OO'$ (hình 1) có thể trượt dọc theo thanh mà không ma sát. Bằng cách biểu diễn thanh với vận tốc góc không đổi $\omega$, vị trí khớp nối sẽ được trộn dọc theo thanh. Vận tốc góc $\omega$ phải thỏa mãn điều kiện nào để độ dịch chuyển này nhỏ so với chiều dài của lò xo ở trạng thái không biến dạng? Trọng lượng ly hợp $m$, độ cứng của lò xo $k$.
13. Một bán cầu nhẵn có bán kính $R$ (hình 2) được chuyển động dọc theo mặt phẳng nằm ngang bởi một lò xo với tốc độ chuyển động không đổi. Tại một thời điểm nào đó, đỉnh bán cầu chạm vào điểm dưới cùng của một quả bóng nhỏ, quả bóng này được giữ cho đến thời điểm này và tại thời điểm tiếp xúc sẽ được thả ra. Vào phút nào-

70

Với một giá trị nhỏ của tốc độ của bán cầu, liệu nó có cản trở sự rơi tự do của quả bóng không? Gia tốc trọng trường g.

3. Trên một bề mặt nằm ngang hoàn toàn nhẵn có một khối lập phương nối bên ngoài với một bức tường thẳng đứng (hình 3). Đường thẳng OO’ đi qua trung điểm các cạnh đối diện của hình lập phương và đường tâm của lò xo. Một viên đạn bắn theo hướng OO’ trúng vào giữa bức tường của khối lập phương và mắc kẹt trong đó. Đồng thời, khối lập phương bắt đầu dao động với chu kì T và biên độ A. Vận tốc của viên đạn trước khi va chạm là bao nhiêu? Khối lượng của khối lập phương là M, khối lượng của viên đạn là m. Định luật Hooke được thỏa mãn.

4. Quả bóng chứa m=0,3 kg gel. Sau một thời gian, do rò rỉ gel và nhiệt độ tuyệt đối giảm 10% nên áp suất trong xi lanh giảm 20%. Có bao nhiêu phân tử gel rò rỉ từ quả bóng? $N_A=6 \cdot 10^{23}$ /mol, $M_{\text{He}}=0,004$ kg/mol.

5. Không khí ẩm, có khối lượng (cùng với hơi nước) m, chiếm thể tích V ở nhiệt độ T và áp suất p. Áp suất hơi bão hòa ở nhiệt độ này là p₀. Khối lượng mol của không khí khô là M₁ và của hơi nước là M₂. Xác định độ ẩm tương đối của không khí. Hơi bão hòa được coi là một loại khí lý tưởng.

6. Một điện tích dương q phân bố đều trên một vòng mỏng bán kính r₀. Điện tích dương Q di chuyển dọc theo trục AC, vuông góc với mặt phẳng của chốt và đi qua tâm B của nó (hình 4). Điện tích này phải có tốc độ tối thiểu bao nhiêu tại điểm A, nằm cách tâm vòng B một khoảng d, để đến được điểm C, nằm trên trục AC ngoài vòng zm? Khối lượng điện tích m. Điện thế chính xác q₀ tại một điểm nằm cách điện tích một khoảng r bằng φ=q₀/(4πε₀r).

7. Ở phần giữa của một tụ điện phẳng, khoảng cách giữa các bản tụ là d=10 cm, một thanh điện môi có chiều dài l=1 cm (hình 5) nằm dọc theo điện trường. Ở hai đầu thanh có hai điện tích chính xác cùng kích thước q=10⁻¹¹ C nhưng trái dấu. Xác định hiệu điện thế giữa các bản của tụ điện nếu để làm cho bề mặt của thanh quay một góc 90° quanh trục đi qua tâm (tức là đặt nó ngang qua điện trường), thì cần thực hiện công A = 3 10⁻¹⁰ J.

8. Công việc nào sẽ được thực hiện bởi một nguồn dòng điện một chiều có EMF = 100 V, có trong mạch như hình hình 6, sau khi đóng phím K đến thời điểm quá trình sạc lại tụ điện bằng tụ C₁ đã hoàn thành? C₁=2·10⁻⁵ F, C₂=2×10⁻⁵ F.

9. Hai gương phẳng tạo thành hai góc α=120°. Một nguồn sáng chính xác S (hình 7) nằm trong mặt phẳng chia góc làm đôi. Khoảng cách giữa các ảnh tối thiểu đầu tiên của nguồn bằng H. Khoảng cách giữa các ảnh sẽ là bao nhiêu nếu góc α giảm đi một nửa?

10. Trên mặt trước của một tấm phẳng song song làm bằng thủy tinh có chiết suất n, một chùm ánh sáng lệch có dạng hình nón có góc ở đỉnh γ (hình 8) rơi xuống. Đường kính của điểm được chiếu sáng trên mặt trước của tấm là D. Ở độ dày nào của tấm thì đường kính của điểm đầu ra sẽ bằng D/2?

Khoa Cơ học và Toán học

1. Một quả lựu đạn có khối lượng m=1 kg nổ ở độ cao H=6 m so với mặt đất thành hai quả cói. Ngay trước khi vỡ, vận tốc của hạt hướng theo phương ngang và có độ lớn v = 10 m/s. Một trong hai chiếc cói có khối lượng m₁=0,4 kg bay thẳng đứng xuống dưới và rơi xuống đất nơi bị đứt với vận tốc v₁=40 m/s. Vận tốc mô hình của cói thứ hai ngay sau khi đứt là bao nhiêu?

2. Giữa các khối có khối lượng m và M có một giá trị tiên lượng bị nén (hình 9). Nếu một khối khối lượng M được giữ cố định và một khối khác được thả ra thì nó sẽ bay đi với vận tốc v. Một khối khối lượng m sẽ chuyển động với tốc độ bao nhiêu nếu nó thả khối lập phương đó cùng lúc? Biến dạng của kẹp là như nhau trong cả hai trường hợp. Chạy trốn khỏi sự yên tĩnh và khối lượng thức ăn.

3. Một chiếc kim đan bằng nhôm có chiều dài L=25 cm và tiết diện S=0,1 cm2 được treo trên một sợi chỉ ở đầu trên (hình 10). Đầu dưới nằm ngang trên bình chứa nước. Chiều dài phần kim đan nhúng trong nước là l=10cm. Tìm lực mà kim đan ấn vào bình nếu biết sợi chỉ nằm thẳng đứng. Mật độ nhôm Q_a=2,7 g/cm³, mật độ nước Q_b=1 g/cm³.

4. Đổ nước có nhiệt độ t=10°C vào ấm và bật nguồn điện. Sau một thời gian τ₁=10 phút, nước bắt đầu sôi. Sẽ mất bao lâu để nước bay hơi hoàn toàn? Nhiệt độ riêng của nước c=4,2 kJ/(kg·K), nhiệt độ hóa hơi riêng r=2,3 MJ/kg. Nhiệt độ sôi của nước là t_k=100°C.

5. Bình hình trụ thẳng đứng được đóng kín bằng pittông chuyển động

71

khối lượng $M=2$ kg, chứa một loại khí lý tưởng ở nhiệt độ $T_1=300$ K. Một vật nặng $m=100$ g được đặt trên pít-tông và khí được đốt nóng để pít-tông về vị trí ban đầu. Tìm nhiệt độ của khí nóng. Bầu không khí không tính đến áp lực.

6. Với một chất khí lý tưởng có khối lượng $m=20$ g và khối lượng mol $\mu=28$ g/mol, một quá trình tuần hoàn được thực hiện, được minh họa ở hình 11. Khí thực hiện bao nhiêu công trong một chu trình? Hằng số khí phổ quát $R=8,3$ J/(mol K), $T_1=300$ K, $T_2=496$ K. Khi khí giãn nở ở phần 2-3, thể tích của nó tăng gấp đôi.

7. Trong mạch hiển thị ở hình 12, trong đó $R_1=60$ ohm, $R_2=20$ ohm, $R_3=40$ ohm và $R_4=20$ ohm, pin và tụ điện được đặt ngược lại. Điện tích trên tụ sẽ thay đổi bao nhiêu lần?

8. Trong hai tụ điện phẳng giống hệt nhau, không gian giữa các bản chứa đầy một chất điện môi có hằng số điện môi $\varepsilon=3$: theo một hướng, hoàn toàn theo hướng kia (hình 13). Tìm tỉ số điện dung của các tụ điện này.

9. Một tia sáng chiếu vào tâm của cạnh trên của khối thủy tinh. Góc tới cực đại mà tại đó tia khúc xạ vẫn chạm tới giới hạn dưới của hình lập phương là bao nhiêu? Chiết suất của thủy tinh là $n=1,5$.

10. Hai tia sáng song song, khoảng cách giữa chúng bằng bán kính $R$ của đáy của một hình trụ tròn phát năng lượng thẳng, chiếu vào mặt bên của hình trụ này (hình 14). Chùm tia song song với đáy của hình trụ. Tìm chiết suất của vật liệu hình trụ tại đó các tia giao nhau trên bề mặt của nó.

Khoa Toán tính toán và Điều khiển học

1. Xác định lực mà búa tác dụng lên chiếc đinh khi va chạm, dựa trên số liệu sau: khối lượng của búa là $m=1$ kg, tốc độ của búa ngay trước khi va chạm là $v=5$ m/s, do va chạm là chiếc đinh đi vào cây đến độ sâu $l=2,5$ cm. Xét lực cản của cây không đổi, bỏ qua khối lượng của cái đinh so với khối lượng của búa.

2. Một khối gỗ có khối lượng $M=4$ kg nằm trên mặt phẳng nằm ngang, được gắn vào một bức tường thẳng đứng bằng một lò xo có độ cứng $k=100$ N/m (hình 15). Một viên đạn có khối lượng $m=10$ g bay theo phương ngang và song song với lò xo, chạm vào tâm khối và mắc kẹt trong đó. Xác định vận tốc của viên đạn nếu lò xo lăn cực đại sau va chạm là $\Delta l=30$ cm. Bỏ qua ma sát của vật trên mặt phẳng.

3. Cánh nặng $M=80$ g được làm bằng hợp kim vàng và bạc. Tính khối lượng vàng chứa trong vòng tay bằng cách sử dụng dữ liệu sau: mật độ vàng $\rho_1=19,3$ g/cm$^3$, mật độ ở giữa $\rho_2=10,5$ g/cm$^3$. Khi nhúng một chùm tia vào nước trong một bình có thành thẳng đứng và diện tích đáy $S=25$ cm$^2$ thì mực nước dâng lên $h=2$ mm.

4. Bột kim loại được nung nóng được trộn thành chất lỏng có khối lượng $m_1$, nằm ở nhiệt độ $T_1$. Khối lượng của bột là $m_2$, nhiệt độ riêng của nó là $c_2$. Khi trạng thái cân bằng nhiệt được thiết lập, hóa ra nhiệt độ của hệ là $T$ và khối lượng chất lỏng giảm $\Delta m$. Nhiệt độ riêng của chất lỏng là $c_1$, nhiệt độ hóa hơi riêng của nó là $r$ và điểm sôi của nó là $T_k$. Tìm nhiệt độ của khối bột đã đun nóng.

5. Trong một hình trụ đặt thẳng đứng có tiết diện không đổi, đặt dưới một pít-tông cố định đặt trên một chiếc đinh có khối lượng $m=10$ kg. Piston chuyển động được bao xa nếu nhiệt độ của không khí trong xi lanh được giữ không đổi? Áp suất khí quyển $p_0=10^5$ Pa, diện tích mặt cắt ngang của piston $S=100$ cm$^2$, khoảng cách từ piston không tải đến đáy xi lanh $h_0=100$ cm.

6. Hai bình có thể tích là $V_1$ và $V_2$, chứa cùng một loại khí đơn nguyên tử có khối lượng mol $M$. Trong bình có thể tích $V_1$, khối lượng khí bằng $m_1$ ở nhiệt độ $T_1$, và trong bình có thể tích $V_2$ thì khối lượng khí bằng $m_2$ ở nhiệt độ $T_2$. Các tàu kết nối các ống. Bỏ qua thể tích ống và sự truyền nhiệt

72

với môi trường, tìm áp suất được thiết lập trong bình.

7. Hai đèn có công suất $P_1=20$ W và $P_2=40$ W ở điện áp nguồn tiêu chuẩn. Khi chúng được nối nối tiếp với một mạng có điện áp khác, hóa ra nguồn điện được giải phóng ở đèn đầu tiên giống như ở điện áp tiêu chuẩn. Công suất nào được giải phóng trong đèn thứ hai? Điện trở của dây tóc đèn thay đổi theo nhiệt độ của công bố.

8. Một tụ điện có công suất $C=10$ μF được phóng điện qua mạch gồm hai điện trở song song có điện trở $R_1=10$ Ohm và $R_2=40$ Ohm. Lượng nhiệt nào sẽ được tỏa ra bởi điện trở có điện trở thấp hơn nếu tụ điện được tích điện đến điện áp $U=100$ V?

9. Một chùm tia song song có chiều rộng $a=3$ cm chiếu tới một góc $a=45^\circ$ từ không khí lên một mặt phẳng của môi trường có chiết suất $n=1,5$. Chiều rộng của chùm tia trong môi trường (hình 16) sẽ là bao nhiêu?

10. Một tia sáng phản xạ từ gương phẳng, chiếu tới nó một góc $a=30^\circ$. Chùm tia phản xạ sẽ dịch chuyển một khoảng bằng bao nhiêu nếu bề mặt gương được phủ một tấm kính dày $d=3$ cm? Chiết suất của thủy tinh là $n=1,5$.

Khoa Địa chất

1. Hai cơ thể bắt đầu chuyển động đồng thời từ điểm $A$ đến điểm $C$. Vật thể đầu tiên di chuyển từ điểm $A$ đầu tiên đến điểm $B$, sau đó đến điểm $C$; lần thứ hai - ngay lập tức tới điểm $C$ với tốc độ không đổi $v$ (hình 17). Tại bất kỳ thời điểm nào, các vật đều nằm trên một đường thẳng vuông góc với $AC$. Tìm vận tốc trung bình của vật thứ nhất nếu trong tam giác ABC có góc BAC là $30^\circ$ và góc ABC là $90^\circ$.

2. Một khối không trọng lượng được đặt trên một mặt phẳng nghiêng đứng yên có góc $a$, có thể quay không ma sát (hình 18). Một sợi dây không trọng lượng và không co dãn được ném xuyên qua khối, nối với vật có khối lượng $m$. Một tải trọng có thể trượt không ma sát dọc theo mặt phẳng nghiêng. Tải trọng thứ hai chịu tác dụng của một lực $F$. Xác định lực ép lên trục khối.

3. Một quả cầu bằng gỗ sồi nằm trong một bình chứa nước sao cho đáy của nó chìm trong nước và chạm vào đáy. Quả bóng ép vào đáy bình với lực bao nhiêu nếu trọng lượng của nó trong không khí là $P=6$ N? Mật độ của gỗ sồi là $q=800$ kg/m³, mật độ của nước là $q_b=1000$ kg/m³.

4. Để đốt nóng một lượng khí lý tưởng nhất định có khối lượng mol $M=28$ kg/kmol lên $\Delta T=14$ K ở áp suất không đổi, cần một lượng nhiệt $Q_1=10$ J. Để làm lạnh khí đến nhiệt độ ban đầu ở một thể tích không đổi, cần phải trừ đi một lượng nhiệt $Q_2=8$ J khỏi nó. Thêm một khối khí. Hằng số khí phổ quát là $R=8,31\times 10^3$ J/(kmol·K).

5. Trong một bình chứa $m_1=0,6$ kg nước ở nhiệt độ $t_1=10^\circ$ C, thả $m_2=0,8$ kg nước đá lấy ở $t_2=-20^\circ$ C. Bỏ qua sự trao đổi nhiệt với môi trường và nhiệt dung của bình, xác định nhiệt độ và thành phần của các chất trong bình. Nhiệt dung riêng của nước $c_1=4,2\cdot 10^3$ J/(kg K), nhiệt dung riêng của nước đá $c_2=2,1\cdot 10^3$ J/(kg K), nhiệt dung riêng của nước đá $\lambda=3,3\times 10^5$ J/kg.

6. Một electron lắng đọng ở giữa các bản của tụ điện phẳng song song với các bản với tốc độ $v=10^7$ m/s. Khoảng cách giữa các bản là $d=3$ cm, chiều dài của các bản là $L=8$ cm, hiệu điện thế giữa các bản là $U=300$ Q. Liệu một electron có thể thoát ra khỏi tụ điện không? Một electron chuyển động trong chân không. Tỷ số điện tích của một electron trên khối lượng của nó là $e/m=1,76\cdot 10^{11}$ C/kg. Lực hấp dẫn tuyên bố.

7. Điện trở $R_1$ của vôn kế là bao nhiêu nếu trong mạch điện như hình hình 19, vôn kế chỉ $U=50$ V? Số đọc của ampe kế $I=0,1$ A. Điện trở $R=1000$ Ohm. Yêu cầu về điện trở của ampe kế.

8. Một thanh kim loại nằm ngang có chiều dài $l=0,5$ m quay đều dọc theo trục thẳng đứng đi qua một đầu của nó với tần số $n=5$ s$^{-1}$. Xác định hiệu điện thế giữa hai đầu thanh nếu thành phần thẳng đứng của từ trường Trái đất là $B=5\cdot 10^{-5}$ T.

73

9. Một nguồn sáng điểm $S$ nằm trên phân giác của góc giữa hai gương phẳng (hình 20). Tìm khoảng cách $x$ từ nguồn sáng đến đỉnh của góc nếu khoảng cách giữa ảnh của nguồn là $l=0,35$ m và góc $a=60^\circ$.

10. Có một khoảng cách tuổi tác nhỏ giữa hai tấm kính phẳng song song. Một chùm ánh sáng đơn sắc truyền qua hai tấm gương tới phân giác của góc giữa hai gương phẳng (hình 20). Tìm khoảng cách $x$ từ nguồn sáng đến đỉnh của góc nếu khoảng cách giữa ảnh của nguồn là $l=0,35$ m và góc $a=60^\circ$.

Về thước thơ

1. a) Một từ như vậy không thể chứa hai từ mạnh nên trọng âm của nó phải mạnh. 6) Vì không có từ nào chứa nhiều hơn một từ mạnh nên điều kiện của chúng ta có dạng: nếu một từ chứa một âm tiết mạnh thì âm tiết được nhấn mạnh của nó trùng với âm tiết mạnh này.

2. a) Nếu một từ chứa nhiều hơn một từ thì từ đó chứa cả âm tiết iambic mạnh và âm tiết trochaic mạnh. Điều này có nghĩa là âm tiết được nhấn mạnh của nó phải là một âm tiết mạnh của cả iambic và trochee, nhưng không có những từ như vậy. 6) Tương tự như từ trước, không có từ nào chứa các từ mạnh ở cả hai kích cỡ. Khi đó, không có từ nào chứa đựng dù chỉ hai từ mạnh ở cả hai kích cỡ, bởi vì giữa các từ mạnh ở cả hai kích cỡ nhất thiết phải có một âm tiết mạnh có kích cỡ khác nhau. Điều này có nghĩa là dòng từ chứa không ít hơn các từ mạnh có hai kích cỡ, tức là không nhỏ hơn 6.

3. Nếu một từ chứa âm tiết thứ 4 không phải là đơn âm tiết thì từ đó chứa âm tiết thứ 3 hoặc thứ 5, tức là nó chứa một âm tiết trochaic mạnh. Điều này có nghĩa là âm tiết được nhấn mạnh của từ này phải là âm tiết mạnh của trochee và dactyl, nghĩa là từ này có âm tiết thứ 1 hoặc thứ 7.

4. a) Không có từ mạnh mẽ - điều kiện được đáp ứng tự động. 6) Có một âm tiết mạnh trong dòng, số lượng âm tiết là $k$ và không phụ thuộc vào $n$

5. a) Trochee. 6) Dòng lẻ là dòng apest, dòng chẵn là dòng apest biến đổi (nhấn mạnh vào âm tiết thứ 3, 6, 10 và 13). ở Anapaest (tuy nhiên, dòng lẻ chỉ chứa 5<3+3 âm tiết). d) (5,3)-kích thước. e) (5,3)-mét (mặc dù dòng 1 và 5 chỉ chứa 7<5+3 âm tiết).

Ôi phép toán hoàn chỉnh cho những con bò cái

1. Công thức $\frac{a}{c} = \frac{b}{d} \left(2 - \frac{b}{d}\right)$ có thể được rút gọn thành dạng $\frac{a}{c} = 1 - \left(\frac{b}{d} - 1\right)^2$. Vì bình phương của bất kỳ số nào đều không âm nên vế phải của công thức không lớn hơn 1, do đó $a \leq c$ (và $c$ là số dương).

2. Đẳng thức ban đầu $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a-c}{b-d}$ có thể rút gọn về dạng

$$ad^2 = 2bcd - b^2c.$$

(1) Ngược lại, giả sử $(a, b) = 1$ và $(c, d) = 1$ (ký hiệu $(x, y)$ biểu thị ước số chung nhất của các số $x$ và $y$). Hãy biểu thị nó bằng $(a, c) = A, (b, d) = B$. Sau đó $a = aA, c = cA, b = bB, d = dB$, trong đó $(a, c) = 1$ và $(b, d) = 1$. Thay thế các biểu thức này vào (1), rồi giảm $AB^2$, chúng ta thu được

$$\bar{a}\bar{d}^2 = 2\bar{b}\bar{c}\bar{d} - \bar{b}^2\bar{c}.$$

Vế phải chia hết cho $b$. Do đó $\bar{a}\bar{d}^2$ chia hết cho $b$. Nhưng $(\bar{a}, \bar{b}) = 1$ và $(\bar{d}^2, \bar{b}) = 1$. Vì vậy, $\bar{b} = 1$. Tương tự, người ta chứng minh rằng $\bar{d} = 1$. Do đó $b = d$ và, theo (1), $a = c$. Nhưng sau đó

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a}{b} - \frac{a}{b} \neq \frac{a-a}{b-b},$$

bởi vì bạn không thể chia cho số 0.

3. Hãy biểu thị $ab = 10a+b; \sqrt{bc} = 10b+c$, trong đó $a, b, c$ là các chữ số khác 0. Theo điều kiện bài toán

$$\frac{ab}{bc} = \frac{10a+b}{10b+c} = \frac{a}{c}.$$

Từ đây

$$9ac = 9ab + b(a-c).$$

(2) Do đó, $b(a-c)$ chia hết cho 9. Vì $a$ và $c$ là các chữ số khác 0 nên $|a-c| \leq 8$. Do đó, $a-c=0$ hoặc $b$ đều chia hết cho 3. Trong trường hợp đầu tiên, từ (2) cả hai $b=a$ đều giống nhau. Phần dư như sau: a) $b=3, c = \frac{10a}{3a+1}$; b) $b=6; c = \frac{20a}{3a+2}$; c) $b=9; c = \frac{10a}{a+1}$.

Cho $a$ các giá trị 1, 2, …, 9, ta thu được tất cả các phân số chẵn mong muốn $\frac{16}{64}, \frac{26}{65}, \frac{19}{95}, \frac{49}{98}$. Đối với các giá trị khác của $c$, biểu thức cho $c$ dẫn đến giá trị phân số của $c$ hoặc khớp với tất cả các chữ số của các ngoại lệ.

4. Điều kiện tương tự (2) có thể được viết lại thành

$$9a+b = 10\frac{ab}{c}.$$

Hãy biểu thị $p=1,1,...,1$ (pedunits). Sau đó $9p+1 = 10^n$. Đặt $x=abb,...b$ ($n$ chữ số $b$), $y=bb,...bc$ ($n$ chữ số $b$). Sau đó $y=10bp+c; x=10^n a+bp = (9p+1)a+bp = (9a+b)p+a = \frac{10ab}{c}p+a = \frac{a}{c}(10bp+c) = \frac{a}{c}y$. Vì vậy, $\frac{x}{y} = \frac{a}{c}$.

74

5. $$\sqrt{a + \frac{a}{a^2 - 1}} = a \sqrt{\frac{a}{a^2 - 1}}$$ là công thức mô tả căn bậc ngoài của phần nguyên của một số.

6. $$\frac{a + 1/b}{b + 1/a} = \frac{a}{b}$$.

Trường học yêu thích bài toán

1. $k = 1$ ($A = B$) hoặc $k = 100$ ($B = 0$). Lời giải. Đặt $k = (100A + B)/(100B + A)$ là một số nguyên. Rõ ràng đáp số $k = 1$, $A = B$. Hãy để $k \neq 1$, $A \neq B$. Sau đó $A/B = (100k - 1)/(100 - k)$; Chúng tôi đếm $k \neq 100$. Có thể giảm phân số $(100k - 1)/(100 - k)$ sao cho cả tử số và mẫu số đều nhỏ hơn 100 không? Nếu có thể thì phân số $(100k - 1)/(100 - k) - 1 = 101(k - 1)/(100 - k)$ cũng có thể rút gọn theo cách tương tự. Nhưng 100-k và 101 không có ước chung, vì 101 là số nguyên tố và 100-k < 100. Do đó, sau khi rút gọn, chúng ta thu được một phân số tối giản có dạng $101 \cdot a/b$, tử số của nó lớn hơn 100 - một mâu thuẫn. Điều này để lại trường hợp $k = 100$, trong đó $B = 0$.

2. $104^2 + 72^2 = 120^2 + 40^2 = 16000$. Lời giải. Bình phương của một số chẵn chia hết cho 4, bình phương của số lẻ khi chia cho 4 còn dư bằng 1. Do đó, nếu $x^2 + y^2 = 16000$ thì $x = 2m, y = 2n$. Sau đó $m^2 + n^2 = 4000$ và tương tự $m = 2m_1$, $n = 2n_1$, $m_1^2 + n_1^2 = 1000$, $m_1 = 2m_2$, $n_1 = 2n_2$, $m_2^2 + n_2^2 = 250 = 4 \cdot 62 + 2$. Điều này có nghĩa là $m_2$ và $n_2$ đều là số lẻ và nếu $m_2 \geq n_2$ thì $125 \leq m_2^2 < 250$. Tuy nhiên, trong khoảng trống này có đúng hai ô vuông số lẻ: $m_2 = 13$ và $m_2 = 15$. Từ đây bạn có thể dễ dàng nhận được đáp số.

3. $x = 2$, $y = 1$, $z = 3$. Gợi ý. Tổng của tất cả các phương trình sẽ cho đẳng thức $x^2 + y^2 + z^2 + 2z^2 + x^2 + zx^2 = 48$ và tích của chúng sau khi mở ngoặc và tính đến đẳng thức được tính sẽ cho $(xyz)^2(48 + 2xyz) = 2160$. Biểu thị $t = xyz$, chúng ta thu được phương trình bậc ba $t^3 + 24t^2 - 1080 = 0$, có nghiệm $t_1 = 6$. Phương trình $t^3 + 24t^2 - 1080 = (t - 6)(t^2 + 30t + 180) = 0$ có thêm hai nghiệm: $t_2, t_3 = -15 \pm 3\sqrt{5}$, không phù hợp với chúng ta vì chúng ta đang tìm kiếm hệ lời giải dương. Bằng cách thay thế $xy = \frac{6}{z}$, $yz = \frac{6}{x}$, $zx = \frac{6}{y}$, hệ thống ban đầu được rút gọn thành hệ thống tuyến tính, từ đó $y = x/2$, $z = 3x/2$.

4. a) Lời giải được thể hiện ở hình 1. 6) Đầu tiên, dùng thước kẻ lên một cạnh của góc có đỉnh $O$ và tìm điểm $M$ giao điểm của cạnh thứ hai của thước với cạnh thứ hai của góc (hình 2, a). Sau đó lớp dòng

thước sao cho các điểm $O$ và $M$ nằm ở hai phía khác nhau của thước và vẽ hai đường thẳng song song ở hai bên thước. Kết quả là chúng ta thu được các phương trình (hình 2, b).

5. Gọi $AH$ là chiều cao, $BM$ là đường trung tuyến, $CK$ là đường phân giác trong tam giác $ABC$. Nếu tam giác $XYZ$ là đều (hình 3), thì từ tam giác $XHC$ có $\angle XCH = 30^\circ$. Sau đó $\angle ACB = 2 \cdot \angle XCH = 60^\circ$. Từ tam giác $BYH$ đến $\angle CBM = 30^\circ$. Do đó, $\angle BMC = 90^\circ$, tức là $BM$, là đường trung tuyến và chiều cao trong tam giác $ABC$. Vì vậy, $AB = BC$. Điều này có nghĩa là tam giác $ABC$ là tam giác cân có một góc ở đáy là 60° nên nó là tam giác đều, và khi đó các điểm $X, Y, Z$ phải trùng nhau - một điều mâu thuẫn.

6. $x = \pm 1/\sqrt{50}$, $y = \pm 1$ (4 lời giải). Gợi ý. Hãy chia phần o của phương trình cho $4(xy)^{100}$:

$$\left(4x^{100} + \frac{1}{4x^{100}}\right)\left(y^{100} + \frac{1}{y^{100}}\right) = 4.$$

Vì mỗi trạng thái là từ một điểm trên mặt phẳng, nên nó thuộc về ảnh của một đường tròn và một tam giác cong màu đỏ bốn REM được hình thành bởi các đường tròn và tất cả các tiếp tuyến trong và ngoài của chúng (hình 4).

8. Đặt $CK$ là đường trung tuyến, $BM$ là đường trung tuyến, $BM$ và $CK$ vuông góc. Hãy biểu thị nó bằng $BC = a$. Tam giác $MBC$ là tam giác cân, vì $CO$ vừa có chiều cao vừa có hình lưỡng giác trong đó (hình 5). Vì vậy, $AC = 2a$, và sau đó là $2a - a < AB < 2a + a$. Các cạnh $AC$ và $BC$ có thể khác nhau 1, tức là $AC$ có ​​thể là một cạnh trung bình không? Nếu $AC - BC = 1$ thì $a = 1$, rồi $1 < AB < 3$, tức là cạnh ở giữa là $AB$ chứ không phải $AC$. Vì vậy, $AC - BC \neq 1$. Vẫn xảy ra trường hợp $AB$ là mặt ở giữa. Sau đó $AC - BC = 2$, tức là $a = 2$, do đó $AC = 2a = 4$, $BC = a$ và $AB = 3$. Đối với tam giác $ABC$ ở cạnh 2, 3, 4, tất cả các điều kiện bài toán ($\angle BCA = \arccos 11/16$) đều được đáp ứng.

9. Lưu ý rằng khi thay $\alpha$ bằng $(-\alpha)$ và phương trình $\alpha$ bằng $2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$), cả hai vế của bất đẳng thức đều không thay đổi. Vì vậy, việc giới hạn bản thân ở các góc $\alpha$ từ hình vuông I và II là đủ. Nhưng với $\alpha \in [0; \frac{\pi}{2}]$ chúng ta có

$$\sin \alpha \leq \alpha \Rightarrow \cos (\sin \alpha) \geq \cos \alpha \geq \sin (\cos \alpha),$$

vì cosin giảm trong khoảng này; và với $\alpha \in ]\frac{\pi}{2}; \pi]$ chúng ta có $\sin \alpha \geq 0$, $\cos \alpha \leq 0$ và $\cos (\sin \alpha) \geq 0$ tội lỗi ($\cos \alpha$). còn lại

75

lưu ý rằng trong các bất đẳng thức kép đã chỉ ra, ít nhất một bất đẳng thức là nghiêm ngặt.

10. Tổng $\frac{a}{c} + \frac{b}{d}$ lớn nhất khi một trong các số hạng bằng 999. Lời giải. Hãy để $\frac{a}{c} \geq \frac{b}{d}$. Sau đó $\frac{b}{d} \leq \frac{a+b}{c+d} \leq \frac{a}{c}$, tức là $\frac{b}{d} \leq 1$. Đặt $a \leq 998$, sau đó $\frac{a}{c} \leq 998$, vì vậy $\frac{a}{c} + \frac{b}{d} \leq 999$. Nhưng nếu $\frac{a}{c} = 999$ (tại $a = 999$, $c = 1$), thì $\frac{a}{c} + \frac{b}{d} > 999$.

11. $0,9 < x_1 < 1; -1,1 < x_2 < -1; -1000 < x_3 < -999,9$. Lời giải. $f(x) = 0,001x^3 + x^2 - 1 = f_1(x) + f_2(x)$, ở đâu $f_1(x) = 0,001x^3, f_2(x) = x^2 - 1$. Căn nguyên của $f_2(x) = 0$ là $(+1)$ và $(-1)$, và cho $|x| < 2, |f_1(x)| < 0,01$. Do đó, hai căn $f(x)$ bằng $x_1 \approx +1, x_2 \approx -1: f(+1) = 0,001 > 0, f(0,9) < 0 \Rightarrow 0,9 < x_1 < 1$, và tương tự, $-1,1 < x_2 < -1$. Bây giờ chúng ta hãy lưu ý rằng phương trình $0,001x^3 + x^2 = 0$ có gốc $(-1000)$, $f(-1000) = -1 < 0$ và $f(-999,9) > 0$, do đó, $-1000 < x_3 < -999,9$.

12. a) Chúng ta bắt đầu di chuyển mặt phẳng trong đó cả hai hình trụ nằm song song với chính nó và tại mỗi vị trí chúng ta cố định mặt cắt ngang của hình trụ. Đầu tiên, chúng ta nội tiếp một quả cầu có bán kính $R$ vào giao điểm của các hình trụ. Mỗi lần gieo sẽ tạo ra các hình vuông có treo các vòng tròn (hình 6). Theo đó, phần thân, là giao điểm của các hình trụ, giống như quả bóng lơ lửng trong đó, được “dệt” từ các phần đã chỉ định; do đó, thể tích của vật thể này liên hệ với thể tích của quả bóng treo trong nó, cũng giống như diện tích của một hình vuông có liên hệ với diện tích hình tròn treo trong đó: $\frac{V}{4\pi R^3} = \frac{(2R)^2}{\pi R^2}$. Do đó $V = \frac{16R^3}{3\sin \alpha}$.

13. Đáp số: không thể được. Rằng trong một hình chữ nhật gồm các hình vuông sẽ có một hình tròn có đường kính bằng 1 không cắt các hình vuông. Để làm điều này, tâm của nó không được đặt gần hơn 1/2 so với các cạnh của hình chữ nhật hoặc một trong các hình vuông. Gắn vào mỗi hình vuông có kích thước $1 \times 1$ các điểm nằm cách nó một khoảng không quá 1/2, chúng ta thu được một hình (hình vuông có các đỉnh tròn) có diện tích $3+0,25\pi$. Những hình dạng này không thể che hình chữ nhật $19 \times 24$, mặc dù chúng sẽ không chồng lên nhau nhiều như $120(3+0,25\pi) < 19 \times 24$. Do đó, vẫn còn khoảng trống trong hình chữ nhật cho tâm của vòng tròn loại trừ.

14. Nếu $x > y$ thì $x^2 - x^y = y^x - y^y \Rightarrow x^y(x^x - y^y) - 1 = y^y(y^x - y^y) - 1 = y^y(y^x - y^y) - 1 = y^y(y^x - y^y) - 1 = y^y(y^x - y^y) - 1 = y^y(y^x - y^y) - 1 = y^y(y^x - y^y) - 1 = y^y(y^x - y^y) - 1$.

15. Chúng ta hãy ký hiệu $k = tg \alpha$, trong đó $\alpha$ là góc nghiêng của các tiếp tuyến. Sau đó

$$f'(0) = g'(0) = \frac{f'(0)g(0) - f(0)g'(0)}{g^2(0)} = k,$$

từ đâu $\frac{k \cdot g(0) - k \cdot f(0)}{g^2(0)} = k$ và $g(0) - f(0) = g^2(0)$. Chúng ta ký hiệu $g(0) = t$ thì đẳng thức cuối cùng được viết lại thành $t^2 - t + f(0) = 0$. Phương trình này có lời giải $t = g(0)$. Vậy biệt thức của nó là $D = 1 - 4f(0) \geq 0$. Do đó $f(0) \leq 1/4$; tối đa $f(0) = 1/4$.

Các kết nối động học trong bài toán động

1. $a_1 = \frac{m_1 \sin^2 \alpha}{m_1 \sin^2 \alpha + m_2 \cos^2 \alpha} g$,
   $a_2 = \frac{m_1 \sin \alpha \cos \alpha}{m_1 \sin^2 \alpha + m_2 \cos^2 \alpha} g$.

Puc. 6.

76

2. $T = \frac{4m_1m_2m_3}{4m_1m_3 + m_2(m_1 + m_3)} g$.

3. $a_1 = a_2 = g$.

4. $a = \frac{m \sin \alpha}{M + 2m(1 - \cos \alpha)} g$.

Steoremia bài toán
với những quả bóng

1. $a/8$.
3. $(\varrho^2 - (R - r)^2)/4(\sqrt{R} + \sqrt{r})^2$.
4. $(7 \pm 3\sqrt{3})/4$; $(5 \pm \sqrt{3})/4$.
5. $(1 + 2\sqrt{2})^2\pi^3/3$.
6. $R(5 \pm \sqrt{13})/3$.

Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova
Toán học
Tùy chọn 1

1. $x = (-1)^n \arcsin \frac{3}{\pi(\pm 1 + 6m)} + \pi n, n \in \mathbf{Z}$.
2. $(-3; -1)$.
3. $3/4$. Gợi ý. Khoảng cách ba trường hợp vị trí của điểm $D$: ở phía bên $AB$ hoặc phần mở rộng của nó ngoài các điểm $A$ và $B$. Sau khi thực hiện tương ứng các mặt phẳng của các tam giác $ABC$, $ADC$ và $BDC$, hãy tìm $AB:BC$ trong trường hợp đầu tiên và chứng minh rằng hai trường hợp cuối là không thể.
4. 50 km/giờ, 40 km/giờ. Gợi ý. Nếu tốc độ của tàu là $u$ và $v$, với $u > v$ và thời gian di chuyển của chúng là $t$, thì sự bình đẳng công bằng
   $$\begin{cases} t(u - v) = 60, \\ (t - 2)((u + 25) - (v + 20)) = 60, \\ (t - 2)(u + 25) = tu \end{cases}$$
   (trường hợp $(t - 2)((u + 20) - (v + 25)) = 60$ không thể xảy ra, vì $(t - 2)(u - v - 5) < t(u - v) = 60$).
5. $[(1; -2); (-1; -2); (a; 2)]$, $a \in \mathbf{R}$. Gợi ý. Vì vậy mà hệ thống
   $$\begin{cases} (x - y + a)(x + y - 1) = 0, \\ x^2 + y^2 + bxy - 1 = 0 \end{cases}$$
   có ít nhất 5 lời giải, điều cần thiết và đủ là một trong các hệ thống
   $$\begin{cases} y = x + a, \\ (b + 2)x^2 + a(b + 2)x + (a^2 - 1) = 0 \end{cases}$$

hoặc $\begin{cases} y = 1 - x, \\ (2 - b)x^2 + (b - 2)x = 0 \end{cases}$
có ít nhất 3 lời giải. Điều này chỉ có thể thực hiện được với
$b + 2 = a(b + 2) = a^2 - 1 = 0$ hoặc $2 - b = b - 2 = 0$.
6. 9. Lời giải. Trước tiên chúng ta hãy lưu ý rằng các điểm $K, L, M, N$ nằm trong cùng một mặt phẳng. Thật vậy, vẽ mặt phẳng $\alpha$ (hình 7) đi qua điểm $S$, song song với mặt phẳng $LMN$ và cắt các đường thẳng $AC$ và $BC$ tại các điểm $E$ và $F$. Khi đó, do các đoạn tiếp tuyến tương ứng bằng nhau và sự song song của các đường thẳng tương ứng nên ta có $AK = AN$ và $KS = SL = SB - LB = FB - MB = FM = CM - CF = CN - CE = NE$. Do đó, $NK \parallel \alpha$ và điểm $K$ thuộc mặt phẳng $LMN$. Vì vậy, tứ giác $KLMN$ là nội tiếp và $KL = LM$, từ đó $\angle LNK = \angle LNM = \varphi$. Sử dụng định lý cosin cho tam giác $LNK$ và $LNM$ ta thu được
$$KL^2 = 116 + 25 - 4\sqrt{29} \cos \varphi \cdot 5 = 116 + 49 - 4\sqrt{29} \cos \varphi \cdot 7,$$
theo,
$$4\sqrt{29} \cos \varphi = 12, KL^2 = 81.$$

Tùy chọn 2

1. $(9; 2)$.
2. Không tồn tại.
3. $(0; \sqrt{2} - 1) \cup (63; \infty)$.
4. $x = (-1)^n \arcsin \sqrt{5/6} + \pi n, n \in \mathbf{Z}$.
5. 20 độ phân giải. Lời giải. Chỉ cần xem xét 3 loại khối máy tải là đủ:

1. 0 khối lớn và 44 khối nhỏ, 2) 1 khối lớn và 30 khối nhỏ; 3) 2 khối lớn và 14 khối nhỏ. Nếu $m_1, m_2, m_3$ là số quyết định tương ứng với 1, 2 và 3 phương pháp nạp máy thì $44m_1 + 30m_2 + 14m_3 \geq 510, m_1 + 2m_2 \geq 24$. Chúng ta cần tìm tập hợp có giá trị cao nhất $m_1 + m_2 + m_3$. Nếu bộ được yêu cầu chứa $m_1 \geq 1$ và $m_3 \geq 1$, thì một cặp độ phân giải có tải loại 1 và 3 có thể được thay thế bằng một cặp độ phân giải có tải thứ hai và đồng thời 2 khối nhỏ sẽ tăng lên. Do đó, chúng ta có thể giả sử rằng $m_1 = 0$ hoặc $m_3 = 0$. Nếu $m_3 = 0$ thì $m_2 \geq 24$. Nếu $m_1 = 0$ thì
   $$\begin{cases} 15m_1 + 7m_2 \geq 255, \\ m_1 + 2m_2 \geq 24. \end{cases}$$
   Nhân bất đẳng thức thứ hai với 8 và cộng nó với bất đẳng thức thứ nhất, ta được $m_1 + m_2 \geq 20$. Với $m_2 = 16, m_3 = 4$ chúng ta nhận được $m_1 + m_2 + m_3 = 20$.

77

Hình 10.

6. 213/67. Gợi ý. Bổ đề. Nếu trong tam giác HGT (hình 8) HE:EH₁ = λ, TE:ET₁ = μ, thì
   $$\frac{GT}{T_1H} = \frac{\mu + 1}{\lambda \mu - 1}.$$ (*)

Bằng chứng. Hãy làm FT₁ || G.T. Sau đó
$$\frac{GT_1}{T_1H} = \frac{FH_1}{HF} = \frac{EH_1 + EF}{HE - EF} = \frac{1 + \frac{EF}{EH_1}}{HE}{EH_1} - \frac{EF}{EH_1} = \frac{\mu + 1}{\lambda \mu - 1}.$$
Cho các đường thẳng KN và ML (hình 9) cắt nhau tại một điểm P nằm trên đường thẳng BD. Điểm B nằm giữa điểm D và P (điều này tuân theo bổ đề). Từ tam giác PKM sử dụng (*) ta thu được PN:NK = 21/4 và PN:PK = 21/25; PL:LM = 6 và PL:PM = 6/7. Cho AN:NB = x thì
$$DK:KA = \frac{25}{21x - 4} \text{ и } \frac{25}{21x - 4} - \frac{1}{x} = 1,$$
từ đó x = 2/3, sau đó chúng ta tìm thấy $\frac{DB}{BP} = \frac{x + 1}{\frac{21}{4}x - 1} = \frac{2}{3}$ và DK:KA = 5/2. Từ $\triangle DPC$ chúng ta có DM:MC = 3, CL:LB = $\frac{5}{9}$. Hãy để $V_{ABCD} = V$. Vẫn cần lưu ý rằng
$$V_{PKDM} = \frac{DK}{DA} \cdot \frac{DP}{DB} \cdot \frac{DM}{DC} V = \frac{75}{56} V,$$
$$V_{PNBL} = \frac{PB}{PD} \cdot \frac{PL}{PM} \cdot \frac{PN}{PK} V_{PKDM} = \frac{81}{140} V,$$
từ đó $V_{PKDM} - V_{PNBL} = \frac{213}{280} V$, sau đó chúng tôi loại trừ mối quan hệ được tìm thấy mà không gặp khó khăn.
Tùy chọn 3

1. $(0; 1/3] \cup (1; \infty)$.
2. $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
3. $\cos \alpha = -\frac{2}{3}, \text{tg} \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{5}$.
4. $[-1/3; 0) \cup (2/3; 1]$.
5. $\sqrt{\frac{3a^2 + 8c^2}{35}}$. Gợi ý. Hãy để khoảng cách

78

$$S_{ERQ} = 2y \text{ получим систему}$$
$$\begin{cases} x + 3x + 2y = 2(y + z), \\ 3x + 2y + y = 3(x + z), \\ x + 3x + 2y + y = 40. \end{cases}$$

5. $$\left[ \frac{2}{3} - \sqrt{2}; \frac{2}{3} + \sqrt{2} \right].$$
   Lời giải. Hệ thống được rút gọn về dạng
   $$\begin{cases} (3x - y + 2)^2 = 3(2x + 3y + \frac{1}{3}), \\ (3x - y + 2)^2 + (2x + 3y + 1 - a)^2 = 2, \end{cases}$$
   và sau khi giới thiệu các ký hiệu $u = 3x - y + 2$, $v = 2x + 3y + \frac{1}{3}$, $b = a - \frac{2}{3} - k$ trong biểu mẫu
   $$\begin{cases} u^2 = 3v, \\ u^2 + (v - b)^2 = 2. \end{cases}$$

Để tồn tại lời giải của hệ cuối cùng, điều cần thiết và đủ là phương trình
$$3v + (v - b)^2 = 2$$
có ít nhất một nghiệm không âm, nghĩa là giá trị của tam thức bậc hai $v^2 + (3 - 2b)v + b^2 - 2$ tại $v = 0$ là không dương. Do đó, chúng ta thu được điều kiện $b^2 \leq 2$ hoặc $-\sqrt{2} \leq a - \frac{2}{3} \leq \sqrt{2}$.

Tùy chọn 6

1. $x = \pi n/2, n \in \mathbb{Z}$.
2. $[-1, 5; 3]$.
3. 4km/giờ.
4. 8. Gợi ý. Chứng minh rằng góc giữa các đường nối điểm $B$ với tâm của các đường tròn là đúng và độ dài của đoạn $AB$ bằng trung bình hình học của bán kính.
5. 1. Lời giải. Bình phương khoảng cách giữa các điểm $(x; y)$ và $(0; 0)$ là
      $$f(x) = x^2 + \left(4 - 2x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3\right) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 4$$
      cho tất cả các giá trị của $x \in [-1; 2]$ mà $4 - 2x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 \geq 0$.

Vì $f'(x) = x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$, giá trị nhỏ nhất của hàm $f(x)$ trên đoạn $[-1; 2]$ đạt được tại điểm $x = 1$ (tại $x = 1$ biểu thức căn thức là $f(x) = f(1) > 0$).

Tùy chọn 7

1. 1. 2. $(-2; 2)$. 3. $5\sqrt{5}/3$. Gợi ý. Chứng minh tâm $O$ của đường tròn nằm trên phần kéo dài của cạnh $BC$ ngoài điểm $B$, $AF = BF$, rồi sử dụng tính đồng dạng của tam giác $AOC$ và $BFC$.
2. $(-\pi; -\pi)$, $(0; -2\pi)$, $(\pi; -\pi)$. Gợi ý. Trong số hệ thống lời giải
   $$\begin{cases} x = (n - 2m)\pi, \\ y = (4m - n)\pi \end{cases}, n, m \in \mathbb{Z}$$

chọn những điều kiện đáp ứng
$$\begin{cases} n - 2m = l, \\ 4m - n = k, \end{cases}$$

ở đâu $l \in \{-1; 0; 1\}, k \in \{-2; -1\}$.
5. 3, 4, 5, … Lời giải. Cần phải tìm tất cả các giá trị của $b$ mà hệ thống
$$\begin{cases} x + y = -3, \\ xy > b, \\ x < 0, \\ y < 0 \end{cases}$$

không có lời giải. Các giá trị $b = 1$ và $b = 2$ không phù hợp, vì tại $x = y = -1,5$ chúng ta có $xy > 2$. Nếu $b \geq 3$, thì hệ thống không tương thích hoặc xảy ra mâu thuẫn từ điều kiện của nó:
$$3 < xy \leq \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 = 2,25$$

Tùy chọn 8

1. $(6 + \sqrt{3})/4$.

2. $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3. $(- \infty; 1) \cup [4/3; \infty)$.

4. $[(6; 4/3); (2; 4)]$.

5. 4 km/giờ, 3 km/giờ. Gợi ý. Nếu $u$ và $v$ lần lượt là tốc độ của thuyền thứ nhất và thuyền thứ hai thì
   $$\begin{cases} \frac{8}{x} + \frac{5}{x + 2} \leq \frac{17}{6}, \\ \frac{8}{y} + \frac{5}{y + 2} \geq \frac{11}{3}, \\ y = \frac{3}{4} x. \end{cases}$$

6. $3\sqrt{41}$. Gợi ý. Vẽ một đường thẳng song song với $KL$ qua điểm $A$. Gọi $B$ là đáy của đường vuông góc hạ từ điểm $S$ lên đường thẳng này, $P$ điểm giao nhau của $KL$ và $SB$, $SPQ$ phần tương ứng của các đường $SMNKL$. Tìm chiều cao $PR$ của tam giác $SQP$ vẽ từ đỉnh $P$ và sử dụng sự giống nhau của tam giác $KSP$ và $ASB$ ($SP:SB = PR:24$).

Tùy chọn 9

1. $x = (-1)^n\pi/4 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. 5,5 t, 4 t, 2,5 t tương ứng với loại 1, loại 2.
3. $(- \infty; 2) \cup \{3\} \cup (4; \infty)$.
4. $(2; 5/2) \cup (5/2; 3)$.
5. 18/7. Gợi ý. Đặt $KL \parallel BC$ và $O$ là giao điểm của $BM$ và $KL$. Sau đó $BO:OM = LC:ML; LC:AL = KB:AK$.

Tùy chọn 10

1. $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi m; x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi n, m, n \in \mathbb{Z}$.
2. 6 t, 3 t, 1,5 t mỗi loại.
3. 27/10. Để $KL \parallel BM$ và chỉ $L$ nằm nghiêng về phía $AC$. Sau đó $BO:OM = (BM - OM):OM, OM:KL = MC:CL, AK:BM = AL:AM$.
4. 4/3. Gợi ý. Nếu $(x, y)$ là hệ thống lời giải thì $(-x, y)$ cũng là hệ thống lời giải. Số ít lời giải yêu cầu điều kiện $x = 0$.

Tùy chọn 11

1. 1/2.