Trường học yêu thích bài toán

56

Hình vuông tạo thành một thùy - một phần của hình cầu được giới hạn bởi hai hình bán nguyệt lớn. Diện tích của một tiểu thùy như vậy rõ ràng tỷ lệ thuận với góc giữa các mặt phẳng của các hình bán nguyệt này: diện tích của một tiểu thùy có góc $\theta$ bằng $2\theta$ ($\theta=2\pi$ tương ứng với một hình cầu hoàn chỉnh). Vì vậy $S+a=2\alpha, S+b=2\beta, S+c=2\gamma$. Bây giờ hãy lưu ý rằng 8 hình tam giác trên hình cầu đối xứng từng cặp với nhau, vì vậy $a+b+c+S=2\pi$. Cộng ba đẳng thức đầu tiên và trừ đi tổng của bốn, chúng ta nhận được $2S=2\alpha+2\beta+2\gamma-2\pi$, từ đó $S=\alpha+\beta+\gamma-\pi$. Đây là công thức cần thiết cho một hình tam giác hình cầu.

Góc vững chắc. Trong vật lý (ít thường xuyên hơn, trong hình học), đỉnh của “góc đặc” được hình thành bởi một bề mặt đa diện (và nói chung là hình nón) có đỉnh $O$ rất hữu ích: góc khối thay đổi theo diện tích được khắc bởi bề mặt này trên hình cầu đơn vị có tâm $O$. (Đơn vị của đỉnh này được gọi là “steradian.”) Định lý của chúng tôi biểu diễn đỉnh của một góc đa diện đặc theo các đỉnh của góc nhị diện của nó.

Đối với bản đồ trên một mặt cầu tạo bởi hai đường tròn lớn, định lý Euler cũng có thể được chứng minh bằng cách tính tổng các góc. Trong trường hợp này, bạn cần sử dụng công thức biểu thị tổng các góc của đa giác thông qua diện tích và số cạnh của nó, $S=(сумма углов)-\pi(n-2)$, đồng thời lưu ý rằng tổng của tất cả các góc với nhau là $2\pi B$, trong đó $B$ là số đỉnh của bản đồ: $4\pi=2\pi B-\pi(2P-2\Gamma)$.

Trường học yêu thích bài toán

lớp tám

1. Tổng số tiền $A$ rúp $B$ kopecks có thể là số nguyên $k$ lần số tiền $B$ rúp $A$ kopecks ($0\leq A<100, 0\leq B<100$) không? Nếu có thì bao nhiêu lần?
2. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên có tổng bình phương là 16.000.
3. Tìm hệ phương trình dương lời giải
   $$\begin{cases} xy(x+y)=6, \\ yz(y+z)=12, \\ zx(z+x)=30. \end{cases}$$
4. Dùng thước hai mặt $a$) vẽ đường phân giác của một góc cho trước, 6) nhân đôi một góc cho trước.
5. Trong một tam giác nhọn có các đỉnh khác nhau, hãy vẽ đường trung tuyến, đường phân giác và đường cao. Giao điểm của chúng có thể nằm ở các đỉnh của một tam giác đều không?
   lớp chín
6. Giải phương trình $(16x^{200}+1)(y^{200}+1)=16(xy)^{100}$.
7. Trên một mặt phẳng có hai đường tròn không cắt nhau. Tìm tập hợp các điểm $A$ trên mặt phẳng sao cho bất kỳ đường thẳng nào đi qua $A$ cắt ít nhất một trong các đường tròn.
8. Trong một tam giác, $ABC$ có cạnh trung bình cách các cạnh còn lại bằng 1. Tìm các cạnh này nếu phân giác của góc $C$ cắt đường trung bình của góc $B$ theo một góc vuông.
9. Chứng minh rằng $\cos(\alpha)>\sin(\alpha)$ với mọi $\alpha$.
10. Các số tự nhiên $a, b, c, d$ thỏa mãn đẳng thức $a+b=c+d=1000$. Khi nào tổng $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}$ đạt giá trị lớn nhất?
    lớp mười
11. Tìm giá trị gần đúng của nghiệm của phương trình
    $$0,001x^3+x^2-1=0$$
    với độ chính xác 0,1.
12. Tìm thể tích của một hình không gian được hình thành bởi giao điểm của hai bề mặt hình trụ tròn có bán kính $R$, các trục của chúng cắt nhau $a$) một góc vuông, 6) một góc $a$.
13. Có thể đánh dấu 120 hình vuông có kích thước $1\times 1$ trong một hình chữ nhật có kích thước $20\times 25$ sao cho bất kỳ hình tròn nào có đường kính 1 bên trong hình chữ nhật cắt ít nhất một trong các hình vuông này không?
14. Chứng minh rằng nếu các số dương $x$ và $y$ liên hệ với nhau bởi $x^y+y^x=x^x+y^y$ thì $x=y$.
15. Các tiếp tuyến tại điểm $x=0$ của đồ thị hàm số $f(x), g(x)$ và $f(x)/g(x)$ cắt trục x một góc. Tìm giá trị lớn nhất của $f(0)$.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi G. A. Galperin