Избранные школьные задачи

56

Угольник образует дольку — часть сферы, ограниченную двумя большими полукругами. Площадь такой дольки, очевидно, пропорциональна углу между плоскостями этих полукругов: площадь дольки с углом растора $\theta$ равна $2\theta$ ($\theta=2\pi$ соответствует полной сфере). Поэтому $S+a=2\alpha, S+b=2\beta, S+c=2\gamma$. Теперь заметим, что 8 треугольников на сфере попарно симметрины друг другу, поэтому $a+b+c+S=2\pi$. Сложив первые три равенства и вычтя из суммы четырех, получим $2S=2\alpha+2\beta+2\gamma-2\pi$, откуда $S=\alpha+\beta+\gamma-\pi$. Это и есть нужная формула для сферического треугольника.

Телесный угол. В физике (реже — в геометрии) былает полезно вершину «телесного угла», образуемого многогранной (и вообще, коничской) поверхностью с вершиной $O$: телесный угол изменяется площадью, высекаемой этой поверхности на единичной сфере с центром $O$. (Единца этой вершины называется «стерадиан».) Наша теорема выражает вершину телесного многогранного угла через вершины его двугранных углов.

Для карты на сфере, образованной двумя больших кругов, теорему Эйлера также можно доказать с помощью подсчета суммы углов. При этом нужно воспользоваться формулой, выражающей сумму углов многоугольника через его площадь и число сторона, $S=(сумма углов)-\pi(n-2)$, и учеть, что сумма всех углов вместе равна $2\pi B$, где $B$ — число вершин карты: $4\pi=2\pi B-\pi(2P-2\Gamma)$.

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Может ли денежная сумма $A$ рублей $B$ копеек в целое число $k$ раз превосходить денежную сумму $B$ рублей $A$ копеек ($0\leq A<100, 0\leq B<100$)? Если да, то во сколько раз?
2. Найдите все пары натуральных чисел, сумма квадратов которых равна 16 000.
3. Найдите положительные решения системы уравнения
   $$\begin{cases} xy(x+y)=6, \\ yz(y+z)=12, \\ zx(z+x)=30. \end{cases}$$
4. С помощью двусторонней линейки $a$) проведите бисекториус данного угла, 6) удвойте данный угол.
5. В остругольном треугольнике из разных вершин провел медиану, бисекториус и высоту. Могут ли точки их пересечения лежать в вершинах равностороннего треугольника?
   Девятый класс
6. Решите уравнение $(16x^{200}+1)(y^{200}+1)=16(xy)^{100}$.
7. На плоскости расположены два непересекающихся круга. Найдите множество точек $A$ на плоскости таких, что любая прямая, проходящая через $A$, пересекает хотя бы один из кругов.
8. В треугольнике $ABC$ средняя по величины сторона от каждой из остальных сторон на 1. Найдите эти стороны, если бисекториус угла $C$ пересекается с мединой угла $B$ под прямым углом.
9. Докажите, что $\cos(\alpha)>\sin(\alpha)$ при всех $\alpha$.
10. Натуральные числа $a, b, c, d$ удовлетворяют равенству $a+b=c+d=1000$. Когда сумма $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}$ принимает наибольшее значение?
    Десятельный класс
11. Найдите приближенные значения корней уравнения
    $$0,001x^3+x^2-1=0$$
    с точностью до 0,1.
12. Найдите объем пространственной фигуры, образованной пересечением двух круговых цилиндрических поверхностей радиусом $R$, оси которых пересекаются $a$) под прямым углом, 6) под углом $a$.
13. Можно ли в прямой угольнике размер $20\times 25$ разметить 120 квадратов размер $1\times 1$ так, чтобы любая окружность диаметром 1 внутри прямой угольника пересекала хотя бы один из этих квадратов?
14. Докажите, что если положительные числа $x$ и $y$ связаны равенством $x^y+y^x=x^x+y^y$, то $x=y$.
15. Касательные в точке $x=0$ к графикам функций $f(x), g(x)$ и $f(x)/g(x)$ пересекают ось абсцисс под одним и тем же углом. Найдите наибольшее значение $f(0)$.

Публикацию подготовил Г. А. Гальперин