Задачи М1086—М1090; Ф1098—Ф1102

26

Задачи

M1086—M1090, Ф1098—Ф1102

M1086. С числом разрешается произведение две операции: «увеличить в 2 раза» и «увеличить на 1». За какое наименьшее число из числа 0 получить: a) число 100? b) число n?

M1087. Расстоянием треугольник ABC, точку M в плоскости этого треугольника и проекции A₁, B₁, C₁ точки M на высоты, проведенные из вершин A, B, C соответственно. Доказите, что a) существует одна и только одна точка M, для которой отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ равны;
b) для такой точки M длины отрезков AA₁, BB₁, CC₁ равны диаметру вписанной в треугольник ABC окружности.

A. Х. Джафаров

M1088. Доказите, что если числа p, q, r рациональны и pq+qr+pr=1, то (1+p²)(1+q²)(1+r²) — квадрат рационального числа.

Иштван Варга (Румыния)

M1089. В выпуклом четырехугольнике ABCD площадью S диагонали пересекаются в точке O. Пусть K, L, M, N — центры окружностей, вписанных в треугольники AOB, BOC, COD и DOA. Доказите, что произведение перimetров четырехугольников ABCD и KLMN не меньше 4S.

Д. Ю. Бураго, Ф. Л. Назаров

M1090. Доказите, что a) для любых положительных чисел a, b и c справедливо неименным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результат проверки решения).

Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте помещите: «Задачик «Квата», новая задача по физике или «…новая задача по математике»).

В начале каждого письма просим указывать номер школа и класс, в котором вы учитель.

Ф1098. Детский пистолет, который можно представить в видеружины конечной массы, прикрепленной к неподвижной стене, выстреливает шариком, сообщая ему скорость v. Если выстрелить шариком вдвое больше массы, его скорость будет v√2/3. Какова будет скорость шарика утроенной массы?

П. И. Зубков

Ф1099. В горизонтальном закрепленной открытой с концов трубе сечением S нахождения два поршня (рис. 1). В исходном состоянии левый поршень соединин с неподвижной стенкой недеформированнойружиной жесткостью k. Давление p₀ газа между поршнями равно внешнему давлению, расстояние H от правого поршня до края трубы равно расстоянию между поршнями. Правый поршень медленно вытягают к краю трубы. Какую силу нужно приложить к поршню, чтобы удержать его в крайнем положении? Треннее претензioso мало, температура постоянна.

В. П. Бородин

27

We have been publishing Kvant’s contest problems every month from the very first issue of our magazine. The problems are nonstandard ones, but their solution requires no information outside the scope of the USSR secondary school syllabus. The more difficult problems are marked with a star (*). After the statement of the problem, we usually indicate who proposed it to us. It goes without saying that not all these problems are first publications. The solutions of problems from this issue (in Russian or in English) may be posted no later than May 1st, 1988, to the following address: USSR, Moscow, 103006. Москва K-6, ул. Горького, 32/1, «Квант».

Please send the solutions of physics and mathematics problems, as well as problems from different issues, under separate

Ф1100. Достаточно длиной капитляр, погруженный в сосуд с водой, герметически закрывают сверху. При этом уровень жидкости в капитляре попирается на $\Delta h=4$ см. Чему равна относительная влажность воздуха у поверхности воды в сосуде, если температура окружающей воздуха $20^{\circ}\text{C}$?

Л. Г. Маркович

Ф1101. Легкий горизонтальный стержень длиной $2a$ может свободно врашаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. Одинаковые массивные шары насажены на стержень и могут перемещаться вдоль него без трения и упруго отражаться от упоров на его концах (рис. 2). Сначала шары закреплены на расстояниях $a/2$ от оси. Стержень раскручивают до угловой скорости $\omega_0$, после чего шары одновременно освобождают. По каким траекториям будут двигаться шары? За какое время стержень совершит полный оборот? Построить график зависимости $\omega(t)$. Размеры шаров много меньше длины стержня.

А. Ю. Алексеев

Ф1102. Лазерный луч падает на проэрачную плоскопаралельную пластину, одна поверхность которого закрашена так, что может рассеивать свет во всех направлениях. На пластине видна следующее картина: светлая точка в центре, темный круг с резко очерченной границей, а вокруг — светлый ореол. Объясните явление.

А. М. Шалазин

Problems

M1086—M1090, P1098—P1102

M1086. Two operations may be carried out with numbers: doubling and adding 1. In what least number of these operations can the number 0 be transformed into the number a) 100? b) n?

M. V. Sapir

M1087. The point $M$ in the plane of triangle $ABC$ is perpendicularly projected to the points $A_1, B_1, C_1$ of the altitudes drawn from the vertices $A, B, C$ respectively. Prove that

a) there exists one and only one point $M$ for which the line segments $AA_1, BB_1, CC_1$ are equal;

b) the lengths of the segments $AA_1, BB_1, CC_1$ for such a point $M$ equal that of the diameter of the incircle of ABC.

A. H. Djafarov

M1088. Prove that if $p, q, r$ are rational numbers and $pq+qr+pr=1$, then $(1+p^2)(1+q^2)(1+r^2)$ is the square of a rational number.

Ishtvan Varga (Rumania)

M1089. In the convex quadrilateral $ABCD$ of area $S$ the diagonals intersect at the point $O$. Suppose $K, L, M, N$ are the centres of the incircles of triangles $AOB, BOC, COD, DOA$. Prove that the product of the perimeters of $ABCD$ and $KLMN$ is no less than $4S$.

D. Yu. Burago, F. L. Nazarov

29

что из них можно выбрать три точки, попарные расстояния между которых строюемые 1.

Используя рис. 1, we can see that the triangle ABC is a right triangle with vertices A, B, and C. The sides AB and AC are equal, and the angle ACB is 90 degrees.

M1067. Докажите, что для неотрицательных чисел x, y, z, удовлетворяющих условию $x^2 + y^2 + z^2 = 1$, выполняем неравенство

$$\frac{x}{1-x^2} + \frac{y}{1-y^2} + \frac{z}{1-z^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

Докажем, что

$$\frac{t}{1-t^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2} t^2$$

при всех $t, 0 \leq t < 1$. На этом интервале неравенство (*) равносильно неравенству

$$f(t) = \frac{3\sqrt{3}}{2} t(1-t^2) \leq 1,$$

которое доказывается с помощью стандартного исследования функции $f(t)$. (Производная $f'(t) = \frac{3\sqrt{3}}{2}(1-3t^2)$ имеет на [0; 1] единственный корень $t = 1/\sqrt{3}$, причем $f(0) = f(1) = 0 < f(1/\sqrt{3}) = 1$. Следовательно $1/\sqrt{3}$ — точка максимума $f(t)$ на [0; 1].).

В силу (*) левая часть доказывается неравенства неравенстве, чем

$$\frac{3\sqrt{3}}{2}(x^2 + y^2 + z^2) = \frac{3\sqrt{3}}{2};$$

равенство достигается лишь при $x = y = z = 1/\sqrt{3}$.

В. Э. Матизен

M1068. Дан угол AOB (А и В — точки на сторонах угла). Построите прямую l, проходящую через вершину O, так чтобы

Эта задача имеет изящное геометрическое решение с неожиданной интерпретацией на языке комплексных чисел. Но сначала приведем самое бесхитрное — тригонометрическое решение.

Заметим, что рассматриваемые площики не изме-

31

= KB cos α · BL sin α, но KB · BL = BQ₁² = OA², а OA² sin α = AC = CO = 2S₀OAC.

Как же связаны все эти столбные построения? Найти объяснение помогают комплексные числа. (Мы рассчитываем здесь на читатель, знакомых с комплексными числами и их геометрической интерпретацией.) Пусть точкам O, A и B отвеют числа нуль, a и b. Искомую прямую l будем задавать ее точкой z, |z|=1 (рис. 6). Поскольку 2OC = |a/z + a/ē|, 2AC = |a/z - ē/ē|, площадь S_AOC = |a²/z² - ē²/ē²|/8 и, аналогично, S_BOD = |b²/z² - ē²/ē²|/8. Числа под знаком модели в двух последних равенствах число минимы, поэтому равенство S_AOC = S_BOD эквивалентно условию ē²/ē² — ē²/ē² ± (b²/z² - b²/ē²), или (b²±a²)/z² = (b²±a²)/ē².

А это значит, что z² = ±t(b²±a²), где t — неокоторое положительное действительное число, т. е. z₁,₂ = r√b²±a² и z₃,₄ = ir√b²±a², где r = 1/|√b²±a²|. Числа b¹+a² и b²−a² задают, соответственно, прямую, содержащую медиану треугольника OAB₁, и прямую, параллельную AB₁, из первого построения (см. рис. 2); известную квадратного корня отвецет проведение bicсектрис углов AOM и AOM’. Второе построение (см. рис. 4, 5) получим, если разложить подкоренные выражения на множители: b²−a² = (b−a)(b+a), b²+a² = (b−ia)(b+ia). Числа b±a и b±ia — это точки P₁, P₂, Q₁ и Q₂, а среднее геометрическое √uv двух чисел u и v задает bicсектрису угла между векторами u и v. Например, z₁ = r√b²+a² лежит на bicсектрисе угла Q₁OQ₂.

Р. О. Бурдин, В. Н. Дубровский

M1069. В некоторых городах разрешены только парные объемы квадратами (если две семьи обменывают квадратами, то в тот же день они не участвуют в других обменах). Доказите, что любой сложный объем квадратами не скольких семей можно осуществить за два дня. (Предполагается, что и до, и после обмена каждой семья живет в отдельной квадрате.)

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 1.

Изображим каждую квадратную квадратную точкой на плоскости, а переезд из одной квадраты в другую — стрелкой, соединяющей соответствующие точки. Ясно, что в любой точке одна стрелка начинается и одна кончается. Поэтому, если выйти из любой вершины и движутся по стрелкам, мы все время будем попадать в новые точки, пока не вернемся к началу пути (это неизбежно, так как число точек конечно). Проделаем то же самое, исходя из других точек. Мы обнаружим, что все стрелки образуют несколько непересекающихся замкнутых колес — циклов (рис. 1). Следовательно, достаточно доказать утверждение задачи для «циклического обмена» квадрат.

Пусть надо осуществить обмен A₁→A₂→…→Aₙ→A₁ — пересечить жилцов квадратных A₁ в квадратную A₂, A₂ — в A₃ и т. д. В первый день произведем парные обмена A₁↔A₁−1, A₂↔A₁−2, …, т. е. A₁↔A₁−k (мы считаем, что A₀=A₁); жилцы квадрати Aₙ и, при четном n, Aₙ/2 пока никакая не перезжают. Во второй день — обмена A₁↔Aₙ, A₂↔A₁−1, …, т. е. A₁↔A₁−k. В результате жилцы квадрати Aₙ переедут в квадратную Aₙ+1−(n−k)=Aₙ+1 при k=1, …, n−1, а из квадрати Aₙ — в Aₙ+1−n=A₁, что нам и нужно. Это схему обменов наглядно иллюстрирует рисунок 2. Если

32

Ф1078. Длиная точка путь с грузом на конце переброшена через блок и прязывана к носу модели лодки, которая может плыть по длиному прямолинейному каналу с водой (рис. 1). Лодку и груз отпускают, и скорость лодки (в см/c) записьют как дуную секунду. К сожалению, сохранялся только конец этой записи: 5, 65; 6, 44; 6, 96; 7, 31; 7, 54; 7, 70; 7, 80; 7, 86; 7, 91. Определите по этим данным скорость лодки через 0,1 секунды после того, как ее отпускили.

Рис. 2.

А1, …, An — вершины правильно n-угольника с центром O, то первый серий обменов отвечает симметрия относительно оси OAn, а второй — симметрия относительно оси OM, где M — середина стороны AnA1. Нетрудно доказать, что композиция (последовательное выполнение) двух симметричных относительных осей, пересекающих в точке O под углом α, есть поворот вокруг O на угол 2α; в нашем случае на угол 2π/n. При этом вершины многоугольника переставляются по циклу.

Н. Н. Константинов, А. И. Ширельман

При движении тела обтекаемой формы с небольшой скоростью в жидкости возникнет сила сопротивления, прямо пропорциональная скорости этого тела. Если массы лодки и груза равны соответствующего M и m, скорость движения лодки в данной момент времени — v, а ее ускорение — a, то (по второму закону Ньютона) уравнение движения лодки имеет вид:

(M+m)a=mg-Av, (*)

где A — некоторая константа, характеризующая силу сопротивления.

Уравнение () описывает движение с переменным по величины ускорением. Для нахождения зависимости скорости от времени необходимо, вообще говоря, интеррировать (). Однако нам требуется найти скорость лодки спустя весь короткое время после начала движения. При этом вкладом второго члена в правой части уравнения () можно пренебречь и считать, что лодка движется с некоторым начальным ускорением a0. Само уравнение движения на мысль, как использовать данные задачи для ее решения. Зависимость ускорения a от скорости v есть уравнение прямой в координатах a, v. Поэтому, экстраполиру () к значениям v→0, мы и получим начальное ускорение a0.

Для построения зависимости a(v) можно приращение скорости на каждом промежутке времени длительного 1 с считать равным ускорению. За скорость движения на каждом из указанных промежутков времени можно приять ее среднее значение. Полученная таким образом зависимость a(v) —

a (см/c²) 0,79 0,52 0,35 0,23 0,16 0,1 0,06 0,05
v (см/c) 6,04 6,71 7,14 7,42 7,62 7,75 7,83 7,88

— приведена на рисунке 2 (сплошная линия). Начальное ускорение a0, получающей из графика при v→0, равно ~3,5 см/c².

Таким образом, спустя 0,1 с после начала движения скорость лодки равна примерно 0,35 см/c.

А. А. Шеронов

34

$$T = \frac{V}{v} = \frac{1 + R_{\text{ш}} / R_{\text{x}} + R_{\text{ш}} / R_{\text{r}}}{p_{\text{x}} / R_{\text{x}} + p_{\text{r}} / R_{\text{r}}} = \frac{t_1 t_3}{t_1 + t_3} \left( \frac{t_2}{t_1} + \frac{t_4}{t_3} - 1 \right) = 10.8 \text{ min.}$$

В. Е. Скороваров

Ф1080. Тонкостенный соуд непрерывно откачают насосом, однако из-за наличия микротресины в стенке соуда в нем установляется неизменное давление $p_y = 0.001$ мм рт. ст. Снаружи нормальное атмосферное давление $p_0 = 760$ мм рт. ст., относительная влажность воздуха $\varphi = 80\%$. Найдите давление паров воды в соуде. Давление насыщенных паров воды при данной температуре $p_n = 17.5$ мм рт. ст.

Рассмотрим Staционарный режим, когда давления паров воды и сухого воздуха в сосуде не меняются со временем. Обозначим установившееся давление паров воды в сосуде через $p_{y\pi}$, а через $p_{yB}$ — установившееся давление сухого воздуха. Установившееся давление влажного воздуха в сосуде $p_y$ равно сумме этих парциальных давлений:

$$p_y = p_{y\pi} + p_{yB}.$$

(1)

Поскольку температура воздуха остается неизменной, то условие сохранения давления для каждой из двух компонент требует, чтобы количество молекул каждого газа ( паров или сухого воздуха), попадающих в сосуд за единицу времени, было равно количество молекул газа, уходящих за сосуда за это же время. Число молекул газа, проходящих через микротресину, пропорционально произведению их концентрации на среднюю скорость теплового движения молекул этого газа. В свою очередь, это произведение пропорционального нарушения давления, деленному на $\sqrt{\mu}$, где $\mu$ — молярная масса газа. Число молекул газа, забираемых на сосудом за единицу времени, пропорционально давлению этого газа в сосуде. Таким образом, пренебрегая молекулами, которые покидают сосуд через микротресину ($p_y \ll p_H \frac{\varphi}{100}$), для молекул паров воды и сухого воздуха можно записать:

$$\frac{p_{0\pi}}{\sqrt{\mu_{\pi}}} \sim p_{y\pi}, \frac{p_{0B}}{\sqrt{\mu_{\beta}}} \sim p_{yB}.$$

(2)

Подставляя $p_{yB}$ из (2) в (1), найдем установившееся давление паров воды в сосуде:

$$p_{y\pi} = \frac{p_y}{1 + \frac{p_{0B}}{p_{0\pi}} \sqrt{\frac{\mu_{\pi}}{\mu_{\beta}}}} = \frac{p_y}{1 + \sqrt{\frac{\mu_{\pi}}{p_{0}} - \frac{p_H \varphi}{100}}} \approx \frac{\varphi p_H p_y}{100 p_0} \sqrt{\frac{\mu_{\beta}}{\mu_{\pi}}} \approx 2.34 \cdot 10^{-5} \text{ мм рт. ст.}$$

В. В. Можаев

35

Ф1081. Для очистки воздуха от пыли, которая в обычных условиях оседает очень медленно, можно использовать тот факт, что пылики загрязены.
В первом опите стеклянный цилиндр (рис. 1) с пыльным воздухом помещают в электрическое поле напряженное $E_1=1\times 10^4$ В/m, направленное вдоль оси цилиндра. Через время $t_1=2$ мин все содержащаяся в цилиндре пыль осела на дно. Во втором опите вдоль оси цилиндра натягивает тонкую проволоку и соединяет ее с источником высокого напряжения. Известно, что в этом случае напряжение поля $E \sim 1/r$, где $r$ — расстояние до оси. Напряжение источника подбирают так, чтобы напряжение электрического поля у стенок цилиндра была, как и в первом опите, $1 \cdot 10^4$ В/m. Считая пылики одинаковыми, а заряды пылинок равны, определяйте время оседания всей пыли на стенки цилиндра во втором опите. Пыли в воздухе немного, так что объемзарядом можно пренебреть.

Ф1082. В схеме, приведенной на рис. 1, замыкают ключи K. Найти максимальный ток через катушка. Найти максимальное напряжение на