Задача на исследование

36

конденсатор $C_1$. Неодельностью элементов схемы можно преобразить.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

$$\frac{LI^2_{\max}}{2} + \frac{C_1 U_0^2}{2} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \frac{U_0^2}{2} + A_1.$$

Заряд, протекший через батарею, равен изменению заряда конденсатора $C_1$, и

$$A_1 = \Delta q \cdot U_0 = \left( C_1 U_0 - \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U_0 \right) U_0.$$

Таким образом,

$$I_{\max} = \frac{C_1 U_0}{\sqrt{L(C_1 + C_2)}}.$$

Второй вопрос немного сложнее. Сумма напряжения на конденсатора равна напряжению батареи и постоянна. Поэтому в тот момент, когда напряжение $U_1$ на конденсатор $C_1$ максимальное, напряжение $U_2 = U_0 - U_1$ на конденсатор $C_2$ должна быть минимально (и отрицательно), а значит, в этот момент ток через катушка должен быть равен нулю (рис. 3). Снова запишем закон сохранения энергии:

$$\frac{C_1 U_1^2}{2} + \frac{C_2 (U_0 - U_1)^2}{2} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \frac{U_0^2}{2} + A_2,$$

где

$$A_2 = \left( C_1 U_1 - \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U_0 \right) U_0.$$

Отсюда находится максимальное значение напряжения на конденсатор $C_1$:

$$U_{1\max} = U_0 \left( 1 + \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right).$$

А.Р. Зильберман

Задча на исследование

Преобразование степени бинома

Докажите, что для нечетных $n$ разность $(x + y)^n - x^n - y^n$ представляется в виде многочлена $P_n(u, v)$ от двух переменных $v = x^2 y + y^2 x$, $u = x^2 + y^2 + xy$. (Для некоторых $n$ эти многочлены указываны в таблице. Заметим, что $P_n$ имеет лишь около $n/6$ отличных от 0 коэффициентов, и все они положительные.) Выведите соответствия между коэффициентами многочленов, позволяющие вычислять их последовательное; одно такое соответствие показем на примере, взятом из таблицы: $196 = 2 \cdot 133 - 85 + 15$.

Попробуйте найти другие закономерности, которые удовлетворяют коэффициентами этих много-

гочленов. Выло бы интересно найти аналогичные представления для четного $n$, а также для многочленов с большим числом переменных.

Дверь Фарраи, Будапешт