О разрезаниях многоугольников и теореме Эйлера

52

нику: сумма внешних его углов равна 360° (рис. 4).

Поскольку каждый внешний угол в сумме со смежным ему внутренним дает 180°, сумма всех внутренних углов n-угольника равна 180°n−360°=180°(n−2).

Этот результат в учебнике доказывается иначе: выпуклый n-угольник можно разить диагоналями, проведенными из одной вершины, на n−2 треугольника; сумма всех их углов, равная, очевидно, сумме всех n углов n-угольника, в (n−2) раза больше суммы углов одного треугольника.

Такую же сумму углов имеет и любой, не обязательно выпуклый n-угольник. Но доказательство несколько сложнее.

Если пытается обойти «сложный» многоугольник по контуру и подсчитывать сумму внешних углов — углов поворота, то, во-первых, нужно будет учитывать направления поворота: углы поворота против часовой стрелки считать положительными, а по часовой стрелке — отрицательными (такие повороты соответствуют внутренним углам, большем 180°); во-вторых, не так уж очевидно, что в результате обхода многоугольника (несямопересекающей ломаной) общий поворот составит один полный оборот на 360°. Заметим, что при обходе самопересекающей ломаной на рисунке 5 — пятную угловой звезды — линейка делает два полных оборота, т. е. сумма внешних углов при вершинах звезды

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

правна 720° (а значит, сумма внутренних ее углов всегда равна 180°×5−720°=180°; проверьте этот результат, рассмотрев треугольники и выпуклый пятную угловик, из которых состоит звезда).

Доказать теорему о сумме углов любого многоугольника (не обязательно выпуклого) можно методом разрезания. Но об этом — в следующей заметке.

О разрешениях многоугольников и теореме Эйлера

Под многоугольником мы теперь понимаем кусок плоскости, вырезаем несямопересекающей ломаной. Начнем с того, что, как и побециальы в предыдущей заметке, доказем теорему о сумме углов любого многоугольника (не обязательно выпуклого) методом разрезания.

Конечно, найти вершину, из которого «видны» все остальные вершины (как для выпуклого многоугольника) в общем случае уже нельзя. Не совсем очевидно даже, что можно найти хотя одну диагональ, целиком лежащую внутри n-угольника. Но этот факт верен.

Лемма. Из любой вершины новыхугольника, угол при которой больше 180°, можно проверти диагональ, целиком лежащую внутри этого многоугольника.

Рассмотрим всевозможные лучи, идущие из такой вершины внутри многоугольника (рис. 1). Они «освещают», быть может, частично, по

53

крайней mere две стороны многоугольника. В самом деле, все лучи, которые освещают одну сторону, заполют угол, меньший 180°. Итак, угол многоугольника (больший 180°) разбивает по крайней мере на два угла, которые образаны лучами, освещющими разные стороны многоугольника. Тогда луч, разделяющий два таких угла, направлен в вершину многоугольника — по диагонали, целиком находящейся внутри многоугольника.

С помощью многократного использования леммы любой $n$-угольник можно разрезать на треугольники. Но мы должны проследить еще за количеством треугольников. Как и многие другие теоремы, в которых участвует произвольное натуральное число $n$, оформить доказательство удобнее всего с помощью математической индукции.

О математической индукции

Здесь принципи математической индукции мы используем в таком виде. Пусть неокторое утверждение, в формулировке которого участвует натуральное число $n$, справедливо для $n=n_0$ и из того, что оно справедливо для всех $n$ таких, что $n_0 \leq n < N$, следует его справедливо для $n=N$. Тогда оно верно для всех натуральных $n \geq n_0$.

Докажем по индукции нужное нам утверждение.

Теорема. Сумма углов произвольного (не обязательного выпуклого) $n$-угольника равна 180°($n-2$).

Для $n=3$ это верно. Пусть нашей утверждение справедливо для всех $n<N$ ($n \geq 3$). Рассмотрим неокторий $N$-угольник. По лемме его можно разрезать диагональю на два многоугольника. Пусть в одном из них $K$ сторон от большого $N$-угольника — т. е. он $(K+1)$-угольник, в другом $N-K$ остальных сторон — и он тем самым $(N-K+1)$-угольник. По предположению индукции их суммы углов равны $180^\circ(K-1)$ и $180^\circ(N-K-1)$. Складывая, получаем, что сумма всех углов $N$-угольника составляет $180^\circ(K-1)+180^\circ(N-K-1)=180^\circ(N-2)$. Теорема доказана.

Задно мы можем сделать такой вывод: при любом разрезании

54

Рис. 2.

Теорема Эйлера о карте. Пусть на плоскости выбрано В точек, и они соединены P отрезками так, что образовался многоугольник, разбитый на M других многоугольников правильным образом (рис. 2). Тогда B—P+M=1.

Доказательство. Пусть большой (внешний) многоугольник имеет n сторон (и n вершин), а число сторон тех M многоугольников, на которые он разрезан, — n1, n2, …, nM. Из B вершин карты n вершин лежат на границе, а (B—n) — внутри большого многоугольника. Подсчитав двумя способами обшную сумму углов всех M многоугольников, получим равенство $180^\circ(n_1-2)+...+180^\circ(n_M-2) = 180^\circ(n-2)+360^\circ(B-n)$,

откуда
$$n_1+n_2+...+n_M-2M=2B-n-2.$$

Заметим теперь, что в сумме $n_1+n_2+...+n_M+n$ каждый из P отрезков участвует дважды — он служит сторон двух многоугольников (ли-
	B	P	Γ
Куб	8	12	6
Тетраэдр	4	6	4
5-угольная пирамида	6	10	6
Октаэдр	6	12	8
Додекаэдр	20	30	12

Рис. 3.

Рис. 4.