Стереометрические задачи с шарами

Квант 1988, №2 с. 63-65 Тег EJQ7

Стеоремические задачи с шарами

Кандидат физико-математических наук
М. Р. ЛИБЕРЗОН

В этой статье обсуждаются задачи о комбинациях тел в пространстве, в которых входят один или несколько шаров. Указанную в задание совокупность тел бывают трудно изобразить на чертежке, но это и не нужно: для решения достагоно построить плоские чертежи, получающие в сечении данной пространственной фигуры плоскости или при проектировании ее на плоскости. При этом главное — правильное выбрать плоскости. Универсально способа для такого выбора не существует; нужно, конечно, стараться, чтобы секущие плоскости проходили через как можно большее количество узловых точек — центров шаров, точек касания и т. д., — а при проектировании сохранялись (или изменялись контролируемым образом) данные длины и углы.

Напомним несколько простых геометрических фактов, которые часто используются при выбреge плосостей.

Утверждение 1. Радуцы, проведенные в точку касания двух шаров, лежат на одной прямой. Расстояние между центрами касающей шаров равно сумме их разности их радиусов.

Утверждение 2. Если плоскость проходит через центры касающей шаров, то она содержит точку касания.

Утверждение 3. Пусть шар касается боковой поверхности прямого кругового цилиндра. Если плоскость проходит через цилиндра и центр шара, то она содержит точку касания.

Утверждение 4. Пусть шар касается боковой поверхности прямого кругового конуса. Если плоскость проходит высоту конуса и центр шара, то она содержит точку касания.

В качестве примеров разберем несколько задач, предлагавшихся в разное время на вступительных экземплярах в МГУ.

Задание 1. В пространство, заключенное между сферической поверхностью и плоскостью, проходящей через ее центр,ложено три одинаковых шара радиусом г так, что каждый шар касается двух других, сферической поверхности и указанной плоскости. Надите радиус сферического поверхности.

Решение. Проекции центров данных шаров на данную плоскость являются вершинами правильного треугольника со стороны 2r; центр сферического поверхности лежит в центре этого треугольника; расстояние от этого центра до любой вершины треугольника равно 2r/√3 (рис. 1).

Проведем плоскость через центр O сферического поверхности и центр A одного из данных шаров перепедикулярно к данной плоскости. В сечении получится фигура, изобразенная на рисунке 2. На этом рисунке точка M — проекция точки A на данную плоскость, P — точка касания данного шара с центром A и данной сферического поверхности. В прямойном треугольнике AOM известны длины катетов: AM=r, MO=2r/√3. Следо-

Вательно, $AO = \sqrt{r^2 + \frac{4r^2}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}r$ и мы можем найти нужный радиус: $OP = OA + AP = \frac{\sqrt{21}}{3}r + r = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}r$ .

Задча 2. В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна 2, сторона $BC$ равна 4 и $\angle B = 60^\circ$ . При шара касаются плоскости треугольника $ABC$ соответственно в точках $A, B, C$ и попарно касаются между собой. Определите радиус этих шаров.

Решение. По теореме косинусов находим длину стороны $AC$ : она равна $\sqrt{12}$ . Пусть шары, касающиеся плоскости треугольника в точках $A, B, C$ , имеют свои центрами точки $O_1, O_2, O_3$ , а их радиусы равны $x, y, z$ . Проведем три вспомогательные секущие плоскости, перепределительные к плоскости треугольника $ABC$ : одну через точки $O_1$ и $O_2$ (сечение этой плоскостью нашей фигуры изображено на рисунке 3), другую через точки $O_2$ и $O_3$ и третью через точки $O_1$ и $O_3$ (сечения этих плоскостей устройства аналогино). В каждом сечении лежит прямогольный треугольник, у которого длина гипotenузы равна сумме радиусов двух шаров, один катет равен разности этих радиусов, а другой катет равен длине соответствующего стороны треугольника.

КА $ABC$ . Записав теорему Пифагора для каждой из этих треугольников, мы получим систему трех уравнений с треями неизвестными, из которой находим $x = \sqrt{3}/2, y = 2\sqrt{3}/3, z = 2\sqrt{3}$ .

Задча 3. На плоскости лежит шар радиусом $R$ . Эту же плоскость пересекает прямой круговой цилиндр радиусом $r$ , причем образующие цилиндра перепendlukуляры к плоскости. Центр шара удален от оси цилиндра на расстояние $\rho > R + r$ . Найдите минимальное возможный радиус шара, который касался бы одновременного цилиндра, плоскости и заданного шара.

Решение. Проведем вспомогательную плоскость через оси цилиндра и центр $Q$ заданного шара. Центр $O$ шара, радиус которого мы ищем, лежит, оченьindo, в этой плоскости. В сечении (рис. 4) расположен прямогольный треугольник $OKQ$ , в котором длины всех сторон выражаются через данные задачи $R, r, \rho$ и искомый радиус $x$ . Теорема Пифагора дает уравнение для вычисления $x$ ; решая это уравнение, получаем $x = (\sqrt{R + \rho} - r) - \sqrt{R})^2$ .

Задча 4. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ( $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$ ). В угол $A$ куб висан шар радиусом $R = 0,5$ . Найдите радиус шара, висанного в угол $C$ куб и касающейся заданного шара, при условии, что ребро куба $a = 1,5$ .

Решение. Пусть $Q$ — центр шара, висанного в угол $A$ . Существуют три шара, висанных в угол $C$ и касающейся заданного шара. Однако из них касается основания куба $ABCD$

в той же точке, что заданный шар, и содержит его внутренние $O_1$ . Точка $O_1$ находится над точкой $Q$ . Еще два шара, радиусы которых мы должны найти, касаются шара $Q$ внешним образом и расположены по разные стороны от него: меньший ближе к вершине $C$ , больший дальше нее. Обозначим их центры буквами $O_2$ и $O_3$ соответственно.

(Заметим, что только самый маленький шар $O_2$ помещается внутри куба. Средний шар $O_1$ и большой шар $O_3$ «вылезают» за его пределы и могут касаться не граней куба, а их продолжений.)

Найдем радиусы этих трех шаров. Проведем вспомогательную плоскость через вертикальные ребра $AA_1$ и $CC_1$ . В этой плоскости лежат центры всех шаров, точки касания их между собой и с плоскостью $ABCD$ . Расмотримечение этой плоскостью шаров $O_2$ и $Q$ (рис. 5). В треугольнике $O_2KQ$ не известна только длина катета $KO_2$ . Но $KO_2=MN$ , а расстояние между точками $M$ и $N$ мы находим из проекции на плоскость основания $ABCD$ (рис. 6);

$MN=AC-AM-NC=a\sqrt{2}-R\sqrt{2}-x\sqrt{2}=\sqrt{2}(a-R-x).$

Воспользовавшись теоремой Пифгора для треугольника $O_2KQ$ , мы получим уравнение

$(R+x)^2=(R-x)^2+2(a-R-x)^2,$

которое имеет два корня (напомним, что по условию $R=0,5$ , $a=1,5$ ): $(3-\sqrt{5})/2$ и $(3+\sqrt{5})/2$ .

Что означает наличие двух корней? Нарисуйте сечение и проекцию для шаров $O_3$ и $Q$ , аналогичные показанным на рисунках 5 и 6. Убедитесь в том, что радиус большого шара $O_3$ находится из уравнения, которое отличается от написанного только знаками внутри скобок в правой части. Эта разница уничтожается при возведении в квадрат. Значит, полученные два корня — это длинные радиусов шаров $O_2$ и $O_3$ соответственно.

Для вычисления радиуса шара $O_1$ достаточно рассмотреть проекцию на плоскость основания $ABCD$ , показан-