50
Математика 6—10
Публикуемые ниже заметки объединены общим сложетом: в них идет речь о сумме углов многоугольника — выпуклого и произвольного, плоского и «сферического». Попутно обсуждаются теорема Эйлера о карте на плоскости (и на сфере) и вытекающая из нее более известная теорема Эйлера о многоугольника. Хотя первая заметка адресована учащимся 6—8 классов, второй — деяктилассик, а третья — деяктилассик, мы рекомендуем все же читать их подряд. Все три заметки подготовлены Н. В. Васильевым и В. Л. Гутенмахером.
Сумма углов
Сумма углов треугольника
Один из первых геометрических фактов, которые мы узнали — теорема о том, что в любом треугольнике сумма углов равна 180°. Этот факт можно проверить экспериментально: вырезать из бумаги произвольный треугольник, оторвать от него два угла и приложить к третьему — они составляют вместе развернутый угол в 180°. На той же идее — собрать три угла в одной вершине — основано и доказательство теоремы (рис. 1): если через вершину треугольника проведится прямую, параллельную проиноположной стороне — основанию, то два образованшихся угла будут равны углам при основании.
О «пятом постулате» Евклида
В этом нашем рассуждении использован «пятый постулат» Евклида — аксиома, утверждающая единственное прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку. Пары накрест лежащих углов при параллельных прямых равны*), и отсюда следует теорема о сумме углов треугольника. Разумеется, из теоремы о сумме углов треугольника в свою очередь можно вывести «пятый постулат» — они эквивалентны друг другу. Более двух тысяч лет понадобилось, чтобы выяснить, что отрицание пятого постулата — возможноность проведения через точку более одной прямой, не пересекающий данной, — вместе со всеми
*) См. «Геометрию 6—10» (М.: «Просвещение», 1986), c. 41.
51
другими аксиомами геометрии приводит к новой непротиворечной теории: геометрия Лобачевского. В геометрия Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°. В этой геометрии чем больше треугольник, тем больше разность между 180° и суммой углов треугольника — эта разность пропорциональна площади треугольника.
Геометрия в близком нам мире вполне согласуется с общной геометрией Евклида. Оdnako геометрия Лобачевского оказывается глубоко связанной с теории относительнойности. О геометрия Лобачевского можно прочитать в стате К. Л. Самарова, В. М. Уроева «Модель Пуанкаре» в «Кванте» № 6 за 1984 год.
Teorema о внешнем угле
Можно собрать углы треугольника вместе иным, чем на рисунке 1, образом, продолжив одну его сторону за вершину и проведя из этой вершины луч, параллельный противоположной стороне (рис. 2). Таким образом доказывается, что внешний угол треугольника (смежный с внутренним) равен сумме двух не смешных с ним внутренних углов. По существу это — вариант теоремы о сумме углов треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника используется при доказательстве многохутверждений. Напомним лишь одно, применяющегося особенно часто: величины центрального угла равна половине величины дуги, на которой опирается этот угол, т. е. положение величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу (в учебнике А. В. Погорелов «Геометрия 6—10» этот факт завершает курс 6 класса).
О величины угла
В обиденной жизни под углом понятия острая геометрическая фигура (угол стола, угол дома). Говоря об экспериментальной проверке теоремы о сумме углов треугольника, мы имеем в виду угол как часть плоскости, заключенную между двумя лучами (кусок бумаги). Сложение углов — прикладывание одного угла к другому — приведо нас к необучному углу, стороны которого лежат на одной прямой: развернуту углу в 180°.
Прикладывание нескольких углов может привести к тому, что начнет получаться какая-то двух-слойная фигура. Возникает естественный вопрос: что такое угол, например, в 380°? Такие углы рассматривают в курс трионометрии (см. «Алгебру — 8», с. 131); их удобно использовать при измерении поворотов.
Рассмотрим в качестве примеравращение ручки радиоприемника, используемой для его настройки. Повернуть эту руку на сколько-то градусов, мы попадем на нужную волну. При этом поворот от какой-то метки на 20° — это для настройки радиоприемника не то же самое, что поворот на 380°, хотя соответствующие положения ручки совпадают. Более того, врашать руку можно в ту и другую сторону — поэтому нужно ввести кроме положительных (отвечающих, скажем, поворотам против часовой стрелки) еще и отрицательные углы. Суммой двух углов будет поворот, который получается, если повернуть руку сначала на один угол, а потом на второй.
Попробуем с такой точки зрения рассмотреть сначала сумму углов треугольника, а затем многоугольника.
Сумма углов многоугольника
Представим себе линейку, скользываю по сторонам треугольника (рис. 3, а). Возле каждой вершины линейка поворачивается на вершину, равную внешнему углу треугольника, а после полного обхода вокруг треугольника — скажем, против часов стрелки — линейка возвращается на прежнее место, сделав один полный оборот — на 360°. Итак, сумма внешних углов треугольника равна 360° (рис. 3, б).
Точно такое же рассужждение применимо к любому выпуклому -уголь-