Bài toán cho nghiên cứu

36

tụ điện $C_1$. Sự không hoàn chỉnh của các phần tử mạch có thể được chuyển đổi.

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

$$\frac{LI^2_{\max}}{2} + \frac{C_1 U_0^2}{2} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \frac{U_0^2}{2} + A_1.$$

Điện tích chạy qua pin bằng độ thay đổi điện tích trên tụ điện $C_1$, và

$$A_1 = \Delta q \cdot U_0 = \left( C_1 U_0 - \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U_0 \right) U_0.$$

Như vậy,

$$I_{\max} = \frac{C_1 U_0}{\sqrt{L(C_1 + C_2)}}.$$

Câu hỏi thứ hai phức tạp hơn một chút. Tổng điện áp trên tụ điện bằng điện áp pin và không đổi. Do đó, tại thời điểm điện áp $U_1$ trên tụ $C_1$ là cực đại thì điện áp $U_2 = U_0 - U_1$ trên tụ $C_2$ phải nhỏ nhất (và âm), có nghĩa là tại thời điểm này dòng điện qua cuộn dây phải bằng 0 (hình 3). Hãy viết lại định luật bảo toàn năng lượng:

$$\frac{C_1 U_1^2}{2} + \frac{C_2 (U_0 - U_1)^2}{2} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \frac{U_0^2}{2} + A_2,$$

Ở đâu

$$A_2 = \left( C_1 U_1 - \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U_0 \right) U_0.$$

Từ đây tìm được giá trị điện áp cực đại trên mỗi tụ điện $C_1$:

$$U_{1\max} = U_0 \left( 1 + \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right).$$

A.R. Zilberman

Vấn đề nghiên cứu

Phép biến đổi bậc nhị thức

Chứng minh rằng với $n$ lẻ thì hiệu $(x + y)^n - x^n - y^n$ được biểu diễn dưới dạng đa thức $P_n(u, v)$ của hai biến $v = x^2 y + y^2 x$, $u = x^2 + y^2 + xy$. (Đối với một số $n$ các đa thức này được liệt kê trong bảng. Lưu ý rằng $P_n$ chỉ có khoảng $n/6$ hệ số khác 0 và tất cả chúng đều dương.) Suy ra sự tương ứng giữa các hệ số của đa thức, cho phép bạn tính thứ tự tuần tự của chúng; Chúng tôi sẽ hiển thị một sự tương ứng như vậy bằng cách sử dụng ví dụ lấy từ bảng: $196 = 2 \cdot 133 - 85 + 15$.

Cố gắng tìm các mẫu khác thỏa mãn các hệ số của đa

các thành viên. Sẽ rất thú vị khi tìm thấy các cách biểu diễn tương tự cho số chẵn $n$, cũng như cho các đa thức có số lượng biến lớn.

Cửa Farrai, Budapest