Trường học yêu thích bài toán

38

Vì $\beta_0 \approx 90^\circ$, chúng tôi nhận được

$$\sin \alpha_0 = \frac{c(h)}{c_0} = 1 - ah.$$

Tiếp theo, chúng ta biết rằng sự thay đổi tốc độ ánh sáng theo độ cao là rất nhỏ và do đó độ cong của tia sáng cũng rất nhỏ. Vậy để tính khoảng cách $H$ tia có thể coi là đường thẳng. Từ hình rõ ràng là $H = h \cdot tg \alpha_0$. Từ đây, sử dụng định luật khúc xạ, ta có

$$H = \frac{h(1 - ah)}{\sqrt{ah(2 - ah)}}.$$

V. I. Klyachin

Trường học yêu thích bài toán

lớp tám

1. Các số $p$ và $q$ là số nguyên tố. Tìm chúng nếu bạn biết rằng phương trình $x^4 - px^3 + q = 0$ có ​​nghiệm nguyên.
2. Chứng minh rằng nếu $xyz = 1$ thì

$$\frac{1}{1+x+xy} + \frac{1}{1+y+yz} + \frac{1}{1+z+zx} = 1.$$

3. Hai đường tròn có bán kính khác nhau tiếp xúc nhau tại điểm $P$. Dây $BC$ của vòng tròn lớn chạm ít hơn vào điểm $A$. Chứng minh rằng $PA$ là phân giác của góc $BPC$.
4. Trong hình chữ nhật $ABCD$ đường vuông góc $BK$ được thả xuống đường chéo $AC$. Điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $AK$ và $CD$. Chứng minh góc $BMN$ đúng.
5. Bên trong tam giác $ABC$ đã cho, hãy dựng một điểm $M$ sao cho diện tích của các tam giác $ABM, BCM, CAM$ sẽ tỉ lệ $k:l:m$, trong đó $k, l, m$ là các đoạn đã cho.
6. Chứng minh rằng phương trình

$$x^{1987} + y^{1987} = x^{1988} + y^{1988}$$

có vô số lời giải tính theo số radio.
7. Dãy số $x_1, x_2, \dots, x_n$ … thỏa mãn sự tương ứng $x_{n+1} = x_n^3 - 3x_n^2 + 3x_n$ ($n = 1, 2, \dots$). $x_1$ phải như thế nào để các chuỗi $x_{100}$ và $x_{1000}$ bằng nhau?
8. Một cấp số nhân vô hạn với các số hạng dương và mẫu số $q$ có đặc tính là mỗi số hạng của nó, bắt đầu từ số hạng thứ hai, lớn hơn tổng của tất cả các số hạng trước đó. $q$ có thể nhận những giá trị nào?

9. Từ mỗi đỉnh của hình ngũ giác vẽ các vectơ chỉ ra trung điểm của ba cạnh không kề với đỉnh này. Chứng minh rằng tổng của tất cả 15 vectơ được xây dựng theo cách này bằng 0.
10. Trong tam giác $ABC$ vẽ đường phân giác $AF$ của góc $A$. Gọi $D, E$ là giao điểm của $AF$ với đường tròn nội tiếp trong tam giác. Chứng minh rằng $AD > EF$.

Lớp thứ mười
11. Giải bất đẳng thức

$$|x^9 - x| + |x^8 - x^7| \leq |x^9 - x^8 + x^7 - x|.$$

12. Gọi $M$ là một điểm tùy ý của đáy $ABC$ tứ diện $SABC$. Qua điểm $M$ các đoạn thẳng song song với các cạnh bên được vẽ cho đến khi chúng giao nhau với các cạnh bên. Đặt độ dài của các cạnh bên bằng $a, b, c$ và độ dài của các cạnh song song và các đoạn tương ứng bằng $x, y, z$. Chứng minh rằng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.
13. Tứ diện dan $ABCD$. Một quả bóng chạm vào các cạnh $AB$ và $CD$ tại các điểm $A$ và $C$, còn quả bóng kia chạm vào các cạnh $B$ và $D$. Chứng minh rằng hình chiếu của các cạnh $AC$ và $BD$ lên đường thẳng đi qua tâm của các quả bóng này là bằng nhau.
14. Giải phương trình $tg x - 2[tg x] - 3 = 0$ (dấu ngoặc vuông biểu thị phần nguyên của số).
15. Chứng minh rằng với mọi $a$ phương trình

$$10ax^4 - 4ax^3 + a^2x^2 + 6x - 2 = 0$$

có ít nhất một nghiệm trong khoảng [0; 1].

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi Yu. V. Tomilov, V. A. Yasinsky