Khúc xạ ánh sáng

49

Khúc xạ ánh sáng

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. A. GORDYUNIN,
P. L. GORBKOV

Chúng ta hãy nhớ lại các định luật cơ bản về hình học của tia sáng.

Trong một môi trường đồng nhất, ngoài trời, ánh sáng truyền theo đường thẳng. Đặc tính quang học của môi trường là chiết suất $n > 1$, biểu thị tốc độ ánh sáng trong môi trường nhỏ hơn tốc độ ánh sáng trong chân không bao nhiêu lần. Một môi trường có chiết suất cao hơn được gọi là đậm đặc hơn về mặt quang học (hoặc đơn giản là đậm đặc hơn).

Khi một tia sáng rơi vào mặt phân cách giữa hai môi trường, nó bị chia thành hai tia (trong trường hợp chung có cường độ khác nhau) - phản xạ và khúc xạ (tia $1'$ và $2$ trên hình 1), nằm trong cùng một mặt phẳng với tia ký sinh. Trong trường hợp này, góc $\gamma$ giữa pháp tuyến với giao diện và chùm tia phản xạ (góc phản xạ) bằng góc $\alpha_1$ giữa pháp tuyến và chùm tia tới (góc tới). Góc tới $\alpha_1$ với góc khúc xạ $\alpha_2$ (tức là góc giữa tia thường và tia khúc xạ) có liên hệ với nhau bởi một mối quan hệ gọi là định luật Sneglius:

$$n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2.$$

Định luật này rõ ràng chứa đựng một thực tế là các tia sáng có tính nghịch đảo: nếu một tia sáng rơi khỏi môi trường thứ nhất một góc $\alpha_1$, sau đó nó được nâng lên trong môi trường thứ hai một góc $\alpha_2$và nếu chùm tia rơi từ môi trường thứ hai một góc

50

α₂ thì nó sẽ chuyển động trong môi trường thứ nhất một góc α₁.

Nếu một tia truyền từ môi trường loãng hơn sang môi trường đậm đặc hơn (hình 1, a), thì nó sẽ bị ép so với pháp tuyến (α₂ < α₁) và nếu từ môi trường đậm đặc hơn sang môi trường loãng hơn (hình 1, b), nó sẽ chuyển động ra xa pháp tuyến (α₂ > α₁). Góc tới lớn nhất (90°) có tia trượt, do đó tia khúc xạ trong môi trường đậm đặc hơn (n₂ > n₁) không thể tạo thành góc có góc pháp tuyến lớn hơn α₀ = arcsin (n₁/n₂). Ngược lại, khi truyền từ môi trường chiết quang hơn sang môi trường chiết quang hơn, tia tới có góc lớn hơn α₀ sẽ bị phản xạ toàn phần. Vì vậy góc này còn được gọi là góc phản xạ toàn phần. Về mặt toán học, điều này thể hiện ở chỗ phương trình (*) không có lời giải cho α₁ cho α₂ > α₀ và n₂ > n₁.

Những hiện tượng này có thể được hình dung rõ ràng như sau. Nếu bạn che toàn bộ bề mặt tiếp xúc giữa các môi trường bằng một màn mờ, chỉ để lại một lỗ nhỏ và chiếu sáng màn hình bằng ánh sáng khuếch tán chứa các tia từ mọi hướng, thì trong môi trường đậm đặc hơn, tất cả các tia đi qua lỗ sẽ tập trung thành một hình nón có góc 2α₀ (hình 2, a). Nó thường được gọi là hình nón phản xạ toàn phần. Bên ngoài hình nón này trời sẽ tối. Nếu, ở một khoảng cách nhất định h tính từ ranh giới phẳng trong một môi trường dày đặc hơn, một nguồn sáng chính xác được đặt, thì người quan sát, nhìn từ một môi trường kém đậm đặc hơn, sẽ không thấy toàn bộ bề mặt được chiếu sáng mà chỉ thấy một vòng tròn có bán kính (hình 2, b)

$$R = h \mathrm{tg} \alpha_0 = \frac{hn_1}{\sqrt{n_2^2 - n_1^2}}.$$

Vì vậy, từ định luật khúc xạ tia sáng (*), có hai sự thật cơ bản sau - sự hiện diện của sự phản xạ toàn phần và sự lệch hướng không thẳng của ánh sáng trong một môi trường rẻ tiền. Khoảng cách của thực tế thứ hai chi tiết hơn.

Dễ dàng nhất để nghiên cứu đường đi của tia trong môi trường nhiều lớp, trong đó chiết suất thay đổi dọc theo một trục tọa độ (ví dụ: X). Một môi trường như vậy có thể được biểu diễn dưới dạng một tập hợp các tấm mỏng có chiết suất nᵢ nhất định. Việc so khớp được thực hiện ở ranh giới giao diện.

n₁ sin α₁ = n₂ sin α₂ = … = nₙ sin αₙ, vì góc khúc xạ trong mỗi lớp là góc tới của lớp tiếp theo (hình 3, a). Nói cách khác, việc khớp được thực hiện theo hướng đã chọn.

n(x) sin α(x) = const.

Định luật đỏ và quan trọng này (được gọi là định luật Snell tổng quát) chỉ ra rằng sự có mặt của các từ trung gian không ảnh hưởng đến mối quan hệ giữa góc tới từ môi trường thứ nhất và góc khúc xạ trong môi trường sau. Tất nhiên, nếu tia nhìn chung phải chạm tới môi trường cuối cùng và không quay, đã trải qua sự phản xạ hoàn toàn (hình 3, b). Trên thực tế, khi tính toán các hệ thống quang học khác nhau, người ta có thể không tính đến sự hiện diện của các lớp mỏng giữa các môi trường - lớp keo giữa các thấu kính trong thấu kính phức tạp, thành thủy tinh của bình chứa nước, v.v.

Bây giờ chúng ta hãy giải quyết một số bài toán cụ thể. Hầu hết chúng được lấy từ các lựa chọn thi quan trọng

51

tại Viện Vật lý-Kỹ thuật Moscow.

Bài tập 1. Một tia sáng rơi vào một tấm phẳng song song có độ dày $H=1$ cm từ một ống khói có chiết suất $n=1,73$ (hình 4). Do có nhiều phản xạ từ các cạnh của tấm nên một số điểm sáng được hình thành trên màn E. Tìm khoảng cách giữa các điểm nếu góc hội tụ là $\alpha=60^\circ$ và chùm tia phía trên vuông góc với khúc xạ của màn. Mặt phẳng của chùm tia trùng với mặt phẳng hình.

Sau một lần khúc xạ trên cả hai mặt của tấm, chùm tia đi ra khỏi tấm song song với chùm dù. Vì trong quá trình phản xạ và khúc xạ tiếp theo, các góc tập trung trên khuôn mặt là như nhau, nên tất cả các tia chiếu vào màn hình đều song song với tia dù. Ta tìm khoảng cách $d$ giữa các tia này bằng khoảng cách giữa các điểm trên màn hình, từ hình:

$$d = AC \cos \alpha, \ AC = 2H \ tg \beta,$$

$$tg \beta = \frac{\sin \beta}{\sqrt{1-\sin^2 \beta}}, \ sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n},$$

Ở đâu

$$d = \frac{H \sin 2\alpha}{\sqrt{n^2-\sin^2 \alpha}} \approx 0,58 \text{ см.}$$

Bài tập 2. Ước tính sai số khi cố định vị trí góc của một ngôi sao nhìn thấy từ Trái đất một góc $\beta=45^\circ$ so với đường chân trời. Chiết suất của không khí trên bề mặt Trái đất là $n=1,0003$.

Vị trí của ngôi sao có thể nhìn thấy từ Trái đất khác với vị trí thực do sự biến đổi của các tia khí quyển. Độ dày của khí quyển, tức là độ cao mà ở đó thực tế không có không khí và do đó chiết suất bằng 1, là vài chục km. Giá trị này nhỏ hơn nhiều so với bán kính Trái đất, vì vậy trong trường hợp này bầu khí quyển có thể được coi là phẳng. Chiết suất của nó sau đó thay đổi từ đơn vị ở các lớp trên sang giá trị $n>1$ ở bề mặt Trái đất. Các tia song song phát ra từ ngôi sao, biểu thị các tầng trên của khí quyển ở một góc $\pi/2-\alpha$, trong đó $\alpha$ là vị trí góc thực sự của ngôi sao phía trên đường chân trời. Và chúng ta nhìn thấy ngôi sao ở một góc $\beta>\alpha$ (hình 5). Theo định luật khúc xạ trong môi trường voi

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = n \sin \left( \frac{\pi}{2} - \beta \right),$$

hoặc

$$\cos \left( \beta - (\beta - \alpha) \right) = (1 + (n-1)) \cos \beta.$$

Cho rằng $n-1 \ll 1$ và do đó $\beta-\alpha \ll \beta$, phép tính gần đúng có:

$$\cos \beta + (\beta-\alpha) \sin \beta = \cos \beta + (n-1) \cos \beta.$$

Như vậy,

$$\beta-\alpha = (n-1) \text{ ctg } \beta = 3 \cdot 10^{-4} \text{ rad} \approx 1'.$$

Bài tập 3. Trong một lăng kính thủy tinh thẳng đều xếp thành chồng có chiết suất $n$, đáy AC và mặt cạnh BC nhẵn, mặt AB mờ (hình 6). Lăng kính đứng trên tờ báo. Phần nào của văn bản (theo diện tích) mà người quan sát sẽ nhìn thấy khi nhìn qua mặt phẳng BC?

Trong bài toán này chúng ta đang nói về việc kiểm tra một vật thể nằm ở

53

$$n = \frac{4}{3}$$

Điều rất quan trọng là $\alpha$ không được đưa vào biểu thức cuối cùng cho góc tới; Điều này có nghĩa là tất cả các tia của chùm tia sẽ hội tụ tại một điểm. Đây là một trong những định luật của quang học đồng trục - các tia hẹp của các tia song song được hệ khúc xạ thu lại tại một điểm - tiêu điểm (hoặc phần mở rộng của chúng được thu thập tại một điểm - tiêu điểm tối thiểu). Định luật quang học thứ hai của tia đồng trục là các tia phân kỳ từ một điểm ở các góc nhỏ thì bị hệ khúc xạ hội tụ tại một điểm (với cùng một lưu ý đối với ảnh cực tiểu). lời giải bài toán dựa trên các định luật này, trong đó một trong những thành phần quang học là mắt, do kích thước nhỏ của đồng tử nên sẽ tập trung các tia tới nó ở những góc nhỏ. Do đó, trong sự tồn tại, chúng ta coi một điểm là một điểm chứ không phải là một nguồn mở rộng.

Bài 5. Nếu bạn nhìn một ống thủy tinh có nắp từ một bên thì bán kính bên trong biểu kiến ​​sẽ bằng $r$. Giá trị thực sự của bán kính này là gì? Xếp chồng chỉ số khúc xạ $n$. Bán kính bên ngoài của thủ đô lớn hơn nhiều so với bên trong.

Gọi $OC$ là đường nối mắt và tâm ống, $A$ điểm cực trị của đường kính trong của mao quản (hình 8). Khoảng cách từ hình ảnh (tối thiểu) của điểm $A$ đến trục $OC$ bằng bán kính nhìn thấy của kênh bên trong $r$.

Chúng ta biết rằng mọi tia phát ra từ điểm $A$ với góc nhỏ sẽ hội tụ tại một điểm sau khi khúc xạ. Vì chúng ta không quan tâm đến vị trí chính xác của điểm này mà chỉ quan tâm đến khoảng cách của nó với $OC$, nên chỉ cần xem xét đường đi của một tia $ABD$ là đủ, đường đi tại lối ra của thủ đô song song với trục $OC$ - xét cho cùng, ảnh của điểm $A$ sẽ nằm trên phần tiếp theo của nó (xem hình 8). Khoảng cách giữa các tia $BD$ và $OC$ là $r$, khoảng cách cần thiết là $AO = r_0$. Vì đường kính ngoài lớn so với đường kính trong nên góc tới $\alpha$ sẽ nhỏ.

Từ tam giác $OEB$

$$r = R\alpha n$$

(R là bán kính ngoài của ống). Từ tam giác $OAB$, xét độ nhỏ của $\alpha$,

$$r_0 = R\alpha.$$

Như vậy,

$$r_0 = \frac{r}{n}.$$

Bài tập

1. Trong độ dày của chồng có chiết suất $n = 1,4$, một tấm phẳng song song có độ dày $d = 3$ cm với các đặc tính quang học khác đã được tạo ra. Sự phụ thuộc chiết suất của tấm này vào tọa độ $x$ được thể hiện trên đồ thị (hình 9). Ở góc tới $\alpha$ của một chùm ánh sáng hẹp lên tấm này thì chùm tia sẽ truyền qua tấm này một cách tự do?